Economia industriale.

Notazione e strumenti di lettura

La condizione del primo ordine individua un candidato ottimo ponendo uguale a zero la derivata del profitto. La condizione del secondo ordine controlla che il candidato sia un massimo locale. Occorre poi verificare i vincoli: quantità non negative, capacità disponibile, partecipazione dei clienti, convenienza dell’entrata e validità del tratto di domanda utilizzato. Con funzioni definite a tratti, i punti di confine devono essere confrontati con gli ottimi interni.

Nelle formule, $max(0,z)$ significa che una quantità non può diventare negativa. Nelle soluzioni con consumatori indifferenti si assume, quando dichiarato, che l’acquisto o l’opzione prevista vengano scelti. Un piccolo sconto può rendere stretta la preferenza, ma modifica leggermente il profitto: un massimo esatto e un valore raggiungibile soltanto al limite non sono la stessa cosa.

Domanda, ricavo e costo marginale

La domanda diretta indica quanto viene acquistato a un certo prezzo; la domanda inversa indica il prezzo al quale il mercato assorbe una determinata quantità. Con $P(Q) = a - bQ$, dove $a > 0$ e $b > 0$, il parametro $a$ è il prezzo di riserva della domanda aggregata e $b$ misura quanto il prezzo diminuisce quando aumenta la quantità. La domanda economicamente ammissibile è $Q(p) = max(0,(a - p)/b)$.

Il ricavo totale di un’impresa monopolista è $R(Q) = P(Q)Q$. Vendere un’unità in più produce un ricavo aggiuntivo, ma, con prezzo uniforme, richiede anche di ridurre il prezzo sulle unità precedenti. Pertanto il ricavo marginale è inferiore al prezzo:

$$MR(Q) = P(Q) + QP'(Q) = a - 2bQ.$$

Il costo marginale è invece $MC(Q) = C'(Q)$: misura l’incremento del costo totale associato a un’unità aggiuntiva. Con $C(Q) = F + cQ$, il costo marginale è $c$, mentre il costo medio è $AC(Q) = F/Q + c$. Un costo fisso modifica il profitto e la convenienza a operare, ma non entra direttamente nella condizione marginale di produzione, purché sia già sostenuto o comunque inevitabile rispetto alla decisione considerata.

Questa precisazione conta: fisso non significa necessariamente irrecuperabile. Un canone annuale può essere fisso rispetto alla produzione ma evitabile non rinnovando il contratto. Un investimento specializzato già effettuato può invece essere un costo sommerso, o sunk cost, che non si recupera neppure uscendo dal mercato. La scelta di entrare considera i costi ancora evitabili; la scelta di quanto produrre dopo l’entrata considera i costi marginali rilevanti in quel momento.

Efficienza paretiana e surplus totale

Un’allocazione è pareto-efficiente quando non esiste un cambiamento realizzabile che migliori la situazione di qualcuno senza peggiorare quella di altri. Questa definizione non esprime un giudizio sulla distribuzione delle risorse: un’allocazione molto diseguale può essere pareto-efficiente.

Nei modelli di equilibrio parziale con utilità quasi-lineare, assenza di esternalità e costi correttamente misurati, è utile studiare il surplus totale. Esso corrisponde alla disponibilità complessiva a pagare meno il costo delle risorse impiegate:

$$W(Q) = \int_{0}^{Q}P(z)\, dz - C(Q).$$

Se il prezzo è uniforme, il surplus del consumatore è $CS = \int_{0}^{Q}P(z)dz - pQ$ e il profitto è $\Pi = pQ - C(Q)$. Sommando, il pagamento $pQ$ si cancella: rappresenta un trasferimento tra consumatori e impresa, non un consumo di risorse. La quantità che massimizza il surplus soddisfa, in un ottimo interno, $P(Q) = MC(Q)$.

Un aumento del surplus totale non è automaticamente un miglioramento paretiano. Il beneficio aggregato può aumentare mentre un gruppo perde. Per parlare di miglioramento paretiano servirebbe verificare che nessuno peggiori, eventualmente attraverso compensazioni effettive. Analogamente, la sola diminuzione del surplus dei consumatori non dimostra che la quantità prodotta sia meno efficiente: può dipendere da un trasferimento di rendita al venditore.

Concorrenza perfetta e monopolio

In concorrenza perfetta ogni impresa considera il prezzo come dato. Se decide di produrre, sceglie una quantità per la quale il prezzo coincide con il costo marginale, nel rispetto dei vincoli di convenienza. La domanda della singola impresa è perfettamente elastica al prezzo di mercato, mentre la domanda complessiva può essere decrescente. Con libera entrata, il profitto economico tende a essere nullo nell’equilibrio di lungo periodo: ciò non equivale a dire che l’imprenditore non riceva alcuna remunerazione, perché il profitto economico considera anche i costi opportunità.

Il monopolista fronteggia invece l’intera domanda. Sceglie $Q$ massimizzando $\Pi(Q) = P(Q)Q - C(Q)$ e, nell’ottimo interno, impone $MR = MC$. Con domanda lineare e costo marginale costante:

$$Q^{M} = \frac{a - c}{2b},\quad\quad P^{M} = \frac{a + c}{2},\quad\quad\Pi^{M} = \frac{(a - c)^{2}}{4b} - F.$$

Il benchmark concorrenziale è $Q^{PC} = (a - c)/b$ e $P^{PC} = c$, quando la struttura dei costi consente tale esito. Il monopolio a prezzo uniforme produce meno e applica un prezzo maggiore. Le unità comprese tra $Q^{M}$ e $Q^{PC}$ non vengono scambiate nonostante la loro disponibilità marginale a pagare superi il costo marginale: questa è la perdita secca di benessere.

Esempio guidato: un mercato lineare

Consideriamo $P = 56 - 2Q$ e $C = 8Q$. Il ricavo marginale è $56 - 4Q$. Ponendo $56 - 4Q = 8$ si ottengono $Q^{M} = 12$, $P^{M} = 32$ e $\Pi^{M} = 288$. In concorrenza il prezzo è 8 e la quantità 24. Il surplus dei consumatori in monopolio è $CS^{M} = (56 - 32)12/2 = 144$; in concorrenza è $CS^{PC} = (56 - 8)24/2 = 576$.

La differenza di benessere è 144, pari al triangolo $\frac{1}{2}(32 - 8)(24 - 12)$. Il trasferimento di surplus al monopolista è distinto dalla perdita secca: i 288 di profitto non sono, di per sé, risorse distrutte. Inoltre un monopolista con un costo fisso superiore a 288 registrerebbe una perdita complessiva, pur mantenendo un margine positivo sul costo marginale.

Definire il mercato rilevante: prodotto e territorio

Una quota di mercato ha senso soltanto dopo avere stabilito quali prodotti e quali territori appartengono al mercato. Due imprese possono produrre beni fisicamente diversi ma esercitare una forte pressione concorrenziale l’una sull’altra; viceversa, prodotti simili possono non essere sostituibili per ragioni di utilizzo, localizzazione o costo di trasporto.

Il test del monopolista ipotetico, nella versione SSNIP (Small but Significant and Non-transitory Increase in Price), chiede se un unico venditore dei prodotti inclusi nel mercato candidato troverebbe profittevole un piccolo aumento di prezzo significativo e non transitorio. Se molti clienti passassero a prodotti esterni rendendo l’aumento non conveniente, il perimetro candidato potrebbe essere troppo ristretto. Nell’impostazione statunitense del 2023 il test considera anche peggioramenti di altre condizioni, come qualità e servizio; il 5% è una dimensione frequentemente utilizzata, non una soglia universale di liceità.

Esempio guidato: perdita critica di vendite

Un prodotto viene venduto a 100 e ha un costo marginale di 60. Prima dell’aumento si vendono 100 unità: il profitto variabile è 4.000. Un rialzo del 5% porta il prezzo a 105 e il margine unitario a 45. L’aumento conviene se la nuova quantità supera $4.000/45 = 88,89$: la perdita massima compatibile con un profitto non inferiore è dunque l’11,11% delle vendite iniziali.

Indicando con $m = (p - c)/p$ il margine percentuale iniziale e con $t$ l’aumento percentuale di prezzo, il calcolo elementare fornisce:

$$\text{perdita critica} = \frac{t}{m + t}.$$

Questa è una soglia di pareggio, non una previsione delle vendite perse. Per applicarla servono informazioni sulla sostituzione effettiva. Il risultato non dimostra che un aumento sia ottimale: distingue soltanto un incremento profittevole da uno non profittevole nel modello ipotizzato. Se il prezzo di partenza incorpora già un forte potere di mercato, la sostituibilità osservata a quel prezzo può inoltre far apparire il mercato più ampio di quanto sarebbe usando un riferimento concorrenziale appropriato.

Indici di concentrazione: $\mathbf{C}\mathbf{R}_{\mathbf{k}}$ e HHI

Il rapporto di concentrazione delle prime $k$ imprese è la somma delle loro quote, ordinate dalla maggiore alla minore: $CR_{k} = \sum_{i = 1}^{k}s_{i}$. È immediato da leggere, ma non mostra come le quote siano distribuite all’interno del gruppo e ignora la distribuzione delle imprese restanti.

L’indice di Herfindahl-Hirschman, o HHI, somma invece i quadrati di tutte le quote:

$$H = \sum_{i = 1}^{n}s_{i}^{2},\quad\quad s_{i} = \frac{q_{i}}{Q}.$$

Usando quote comprese tra zero e uno, il monopolio ha indice 1; con $n$ imprese simmetriche si ha $H = 1/n$. Se si utilizzano quote percentuali, la scala va fino a 10.000: $H = 0,25$ equivale a un HHI di 2.500 punti. Il quadrato attribuisce maggior peso alle imprese grandi. Quote, grandezze utilizzate e periodo di osservazione devono essere coerenti: si possono usare ricavi, volumi o capacità a seconda della domanda analitica, ma non mescolarli senza giustificazione.

Esempio guidato: stessa concentrazione parziale, diversa distribuzione

Due mercati hanno quote rispettivamente $(40\%,30\%,20\%,10\%)$ e $(55\%,15\%,15\%,15\%)$. Entrambi hanno $CR_{2} = 70\%$. Il primo ha $H = 0,30$, il secondo $H = 0,37$: nel secondo mercato il peso dell’impresa maggiore è superiore. Il numero equivalente di imprese simmetriche, $1/H$, è circa 3,33 nel primo caso e 2,70 nel secondo. È una misura sintetica, non il numero effettivo di imprese.

Una fusione tra imprese con quote $s_{i}$ e $s_{j}$, mantenendo inizialmente invariate le altre quote, modifica l’indice di $\Delta H = 2s_{i}s_{j}$. Si tratta di un’identità aritmetica: le quote e il comportamento possono cambiare dopo l’operazione. L’HHI non prova da solo né l’esistenza di collusione né l’assenza di concorrenza.

L’indice di Lerner e l’elasticità della domanda

L’indice di Lerner misura il margine rispetto al prezzo:

$$L = \frac{p - MC}{p}.$$

Non coincide con il ricarico calcolato sul costo, che sarebbe $(p - MC)/MC$. Se prezzo e costo marginale sono 100 e 60, il Lerner è 40%, mentre il ricarico sul costo è 66,67%. L’indice riguarda il margine marginale, non il profitto netto dopo costi fissi, investimenti o spese finanziarie.

Per un monopolista a prezzo uniforme, dalla condizione $Q + (p - c)Q'(p) = 0$ segue:

$$\frac{p - c}{p} = \frac{1}{\varepsilon},\quad\quad\varepsilon = - Q'(p)\frac{p}{Q} > 0.$$

A parità delle altre condizioni, una domanda più elastica limita il margine: un rialzo del prezzo fa perdere più vendite. La formula vale nell’ottimo interno del modello e usa l’elasticità al prezzo effettivamente scelto. Non si può attribuire automaticamente alla singola impresa l’elasticità della domanda dell’intero mercato. In Cournot la relazione diventa $L_{i} = s_{i}/\varepsilon$, come verrà derivato nel capitolo 3.

Tecnologia, economie di scala e di scopo

Si hanno economie di scala quando aumentando la produzione diminuisce il costo medio. Con $C(Q) = F + cQ$, la diminuzione dipende dalla ripartizione di $F$ su più unità: passando da $Q = 100$ a $Q = 200$, un costo fisso di 1.000 pesa rispettivamente 10 e 5 per unità. Le economie di scala possono rendere difficile sostenere molte imprese in un mercato piccolo, ma non escludono automaticamente la concorrenza.

Le economie di scopo riguardano invece la produzione congiunta di beni diversi. Esistono quando:

$$C\left( q_{A},q_{B} \right) < C\left( q_{A},0 \right) + C\left( 0,q_{B} \right).$$

La stessa rete distributiva, un’attività di ricerca condivisa o un impianto utilizzabile per più prodotti possono ridurre il costo congiunto. Il vantaggio non consiste necessariamente nel produrre più unità dello stesso bene, ma nel condividere risorse tra produzioni differenti.

Esempio guidato: scala, scopo e produzione flessibile

Supponiamo che due produzioni separate richiedano ciascuna un impianto da 500 e un costo variabile di 2 per unità. Producendo 100 unità di A e 100 di B, il costo separato è $500 + 200 + 500 + 200 = 1.400$. Una tecnologia congiunta richiede un solo impianto da 700 e mantiene gli stessi costi variabili: il costo scende a $700 + 400 = 1.100$. Il risparmio di 300 rappresenta un’economia di scopo.

La produzione flessibile permette di adattare un impianto a più varianti o di trasferire capacità da un prodotto a un altro. Può ridurre i costi di riconversione e rendere sostenibile una gamma più ampia, ma non è sinonimo di costo sempre inferiore: un impianto specializzato può risultare più efficiente per grandi volumi di un solo prodotto. Nell’esempio, se l’impianto flessibile costasse 1.200 invece di 700, la produzione congiunta costerebbe 1.600 e non sarebbe conveniente ai volumi considerati.

La struttura del mercato nasce dall’interazione tra domanda, tecnologia e decisioni. Le quote descrivono una distribuzione; l’elasticità descrive la sensibilità dei clienti; il margine riflette il comportamento e i vincoli. Nessuna di queste misure sostituisce le altre.

Perché discriminare il prezzo

Con un prezzo uniforme il monopolista incontra due limiti. Un prezzo elevato esclude i clienti con minore disponibilità a pagare; un prezzo basso lascia un surplus ai clienti che avrebbero accettato di pagare di più. La discriminazione di prezzo utilizza informazioni sui clienti oppure differenze nei contratti per separare queste disponibilità. Le differenze di prezzo non devono essere confuse con differenze spiegate interamente dai costi di fornitura.

La discriminazione richiede potere di mercato e la possibilità di limitare l’arbitraggio: se chi acquista a prezzo basso può rivendere liberamente a chi dovrebbe pagare di più, la separazione tende a indebolirsi. Le tre categorie fondamentali sono il primo grado, basato sulla conoscenza individuale delle preferenze; il secondo grado, basato sull’autoselezione; e il terzo grado, basato su gruppi osservabili. La forma del contratto non determina da sola il grado di discriminazione. Una tariffa a due parti può estrarre tutto il surplus con informazione completa oppure lasciare rendite informative quando i clienti non sono distinguibili.

Primo grado: prezzi personalizzati e quantità efficiente

Con discriminazione perfetta il venditore conosce la disponibilità a pagare di ogni cliente e può formulare un’offerta individuale non trasferibile. Se l’utilità lorda del cliente $i$ è $U_{i}(q)$ e la sua alternativa esterna vale zero, il pagamento massimo accettabile per una quantità $q_{i}$ è $T_{i} = U_{i}\left( q_{i} \right)$. Il profitto relativo al cliente diventa $U_{i}\left( q_{i} \right) - cq_{i}$; l’impresa sceglie quindi $U_{i}'\left( q_{i} \right) = c$.

La quantità è efficiente perché l’ultima unità vale esattamente il costo necessario a produrla. Il surplus netto del cliente è nullo, mentre tutto il surplus creato viene incassato dall’impresa. Questo risultato separa nettamente efficienza allocativa e distribuzione: scompare la perdita secca da restrizione della quantità, ma non è garantito alcun vantaggio per i consumatori rispetto al prezzo uniforme.

Una tariffa a due parti applica un pagamento $T_{i}(q) = F_{i} + p_{i}q$, composto da una quota di accesso e da un prezzo unitario. Se il tipo del cliente è noto, si può fissare $p_{i} = c$ per indurre la quantità efficiente e $F_{i} = U_{i}\left( q_{i} \right) - cq_{i}$ per assorbire il surplus. Se invece tutti possono scegliere la stessa tariffa destinata a un altro gruppo, questa costruzione non è generalmente realizzabile.

Esempio guidato: clienti con due intensità di domanda

Consideriamo due tipi, H e L, presenti in numero uguale $N$. Le domande inverse individuali sono $P_{H}(q) = 40 - q$ e $P_{L}(q) = 24 - q$; il costo marginale è 2. Le quantità efficienti sono $q_{H} = 38$ e $q_{L} = 22$. I surplus lordi del pagamento fisso, quando il prezzo unitario è 2, sono rispettivamente $38^{2}/2 = 722$ e $22^{2}/2 = 242$.

Se i tipi sono osservabili e non possono scambiarsi le tariffe, il venditore può applicare $\left( F_{H},p_{H} \right) = (722,2)$ e $\left( F_{L},p_{L} \right) = (242,2)$. Il profitto è $964N$ e il surplus netto dei clienti è zero. Il benchmark serve a misurare quanto l’asimmetria informativa impedisca di estrarre: non è un menu attuabile automaticamente con clienti anonimi, perché H preferirebbe pagare la quota fissa di L.

Secondo grado: pacchetti, autoselezione e rendita informativa

Quando il venditore non osserva il tipo, può offrire un menu di coppie quantità-pagamento $\left( q_{i},T_{i} \right)$. Un cliente deve poter rifiutare il menu e deve trovare conveniente l’opzione progettata per lui. I vincoli di partecipazione, indicati con IR, impongono un’utilità almeno pari all’alternativa esterna; i vincoli di compatibilità degli incentivi, indicati con IC, impediscono che un tipo preferisca l’offerta destinata all’altro.

Con due tipi e alternativa esterna nulla, i quattro vincoli sono:

$$\begin{matrix} U_{H}\left( q_{H} \right) - T_{H} \geq 0, \\ U_{L}\left( q_{L} \right) - T_{L} \geq 0, \\ U_{H}\left( q_{H} \right) - T_{H} \geq U_{H}\left( q_{L} \right) - T_{L}, \\ U_{L}\left( q_{L} \right) - T_{L} \geq U_{L}\left( q_{H} \right) - T_{H}. \end{matrix}$$

Nel caso standard in cui H attribuisce un valore marginale maggiore alla quantità e vengono serviti entrambi i tipi, il vincolo di partecipazione di L e il vincolo di incentivo di H sono attivi. Di conseguenza $T_{L} = U_{L}\left( q_{L} \right)$ e $T_{H} = U_{H}\left( q_{H} \right) - \lbrack U_{H}\left( q_{L} \right) - U_{L}\left( q_{L} \right)\rbrack$. La differenza tra parentesi è la rendita informativa lasciata a H: senza di essa H sceglierebbe il pacchetto piccolo.

Ridurre $q_{L}$ rende meno attraente il pacchetto basso anche per H. L’impresa sacrifica così parte del surplus producibile su L per ridurre la rendita che deve lasciare a H. Nel modello regolare con soluzione interna si ottiene assenza di distorsione al vertice (no distortion at the top) e distorsione verso il basso per il tipo inferiore. Se i parametri rendono troppo costoso servire L, può emergere l’esclusione; le proprietà interne non devono essere applicate senza controllarla.

Esempio guidato: menu di consumazioni

Un locale ha 25 clienti H con domanda $q_{H} = 18 - 3p$ e 75 clienti L con domanda $q_{L} = 10 - 2p$. Il costo marginale è 2. Le domande inverse sono $P_{H} = 6 - q/3$ e $P_{L} = 5 - q/2$; le utilità lorde, negli intervalli rilevanti, sono:

$$U_{H}(q) = 6q - \frac{q^{2}}{6},\quad\quad U_{L}(q) = 5q - \frac{q^{2}}{4}.$$

Prezzo uniforme. Finché $p < 5$, entrambi i tipi acquistano e la domanda totale è $Q = 25(18 - 3p) + 75(10 - 2p) = 1.200 - 225p$. Il profitto è $(p - 2)(1.200 - 225p)$. La derivata $1.650 - 450p$ si annulla in $p = 11/3$. A questo prezzo H compra 7 unità e L ne compra $8/3$: la quantità totale è 375 e il profitto 625. Sul tratto che esclude L, cioè $5 \leq p \leq 6$, il profitto massimo è 225 al confine $p = 5$. Il prezzo uniforme trovato è quindi preferibile.

Menu di pacchetti. La rendita informativa di H è $U_{H}\left( q_{L} \right) - U_{L}\left( q_{L} \right) = q_{L} + q_{L}^{2}/12$. Usando i due vincoli attivi, il profitto complessivo diventa:

$$\Pi = 25\left( 4q_{H} - \frac{q_{H}^{2}}{6} - q_{L} - \frac{q_{L}^{2}}{12} \right) + 75\left( 3q_{L} - \frac{q_{L}^{2}}{4} \right).$$

Raccogliendo i termini si ottiene $\Pi = 100q_{H} - 25q_{H}^{2}/6 + 200q_{L} - 125q_{L}^{2}/6$. Le condizioni marginali sono $100 - 25q_{H}/3 = 0$ e $200 - 125q_{L}/3 = 0$, da cui $q_{H} = 12$ e $q_{L} = 4,8$. H riceve la quantità efficiente; L riceve meno delle 6 unità efficienti.

Il pagamento di L è $T_{L} = 5(4,8) - (4,8)^{2}/4 = 18,24$. La sua offerta lascerebbe a H una rendita di $4,8 + (4,8)^{2}/12 = 6,72$. Poiché $U_{H}(12) = 48$, il pagamento di H è $T_{H} = 48 - 6,72 = 41,28$.

Il profitto totale è $25(17,28) + 75(8,64) = 1.080$, superiore a 625. Servire soltanto H con estrazione completa produrrebbe $25 \times 24 = 600$: l’esclusione di L non migliora il risultato. Per rendere H strettamente favorevole al pacchetto grande basta abbassarne il prezzo di un importo arbitrariamente piccolo; i valori riportati utilizzano l’indifferenza favorevole all’opzione prevista.

Block pricing e consumo libero: contratti diversi

Il block pricing può assumere la forma di pacchetti con quantità prestabilita oppure di una tariffa a scaglioni. Nel primo caso il cliente sceglie tra alternative discrete; nel secondo decide quanto acquistare lungo una funzione di spesa. Occorre specificare se un prezzo ridotto si applica soltanto alle unità aggiuntive o a tutte le unità: le due strutture generano incentivi diversi.

Una tariffa a due parti senza limite di consumo non fissa la quantità del cliente che la sceglie. Se H seleziona la tariffa destinata a L, non è obbligato a consumare $q_{L}$: sceglie la propria quantità ottima al prezzo unitario di L. Il vincolo corretto deve quindi confrontare utilità indirette:

$$V_{i}\left( F_{j},p_{j} \right) = \max_{q \geq 0}(U_{i}(q) - p_{j}q) - F_{j}.$$

Con domanda individuale $q_{i}(p) = max(0,a_{i} - p)$, il surplus prima della quota fissa è $S_{i}(p) = max(0,a_{i} - p)^{2}/2$. Il cliente sceglie la tariffa che massimizza $S_{i}\left( p_{j} \right) - F_{j}$, purché il risultato non sia negativo. Questa distinzione è decisiva per non progettare un menu che apparentemente separa i clienti ma che viene eluso dalle loro scelte ottimali.

Esempio guidato: prezzo uniforme, pacchetti e tariffe a due parti

Riprendiamo $a_{H} = 40$, $a_{L} = 24$, $c = 2$ e $N$ clienti per tipo. Con prezzo uniforme, sul tratto in cui entrambi acquistano, $Q = N(64 - 2p)$. Il profitto $(p - 2)N(64 - 2p)$ è massimo in $p = 17$. Ne seguono $q_{H} = 23$, $q_{L} = 7$, $\Pi = 450N$ e $CS = N\left( 23^{2} + 7^{2} \right)/2 = 289N$. Il surplus totale è $739N$. Sul tratto $p \geq 24$, in cui L non compra, il massimo si trova al confine $p = 24$ e vale $352N$: il confronto conferma il prezzo 17.

Pacchetti a quantità fissa. La differenza di utilità è $U_{H}(q) - U_{L}(q) = 16q$. I pagamenti compatibili con i vincoli attivi sono $T_{L} = 24q_{L} - q_{L}^{2}/2$ e $T_{H} = 40q_{H} - q_{H}^{2}/2 - 16q_{L}$. Il profitto per una coppia H-L è:

$$\frac{\Pi}{N} = 38q_{H} - \frac{q_{H}^{2}}{2} + 6q_{L} - \frac{q_{L}^{2}}{2}.$$

La massimizzazione fornisce $q_{H} = 38$ e $q_{L} = 6$. Si ottengono $T_{H} = 702$ e $T_{L} = 126$; il profitto è $740N$ e la rendita di H è $96N$. Questi risultati appartengono a pacchetti che fissano le quantità, non automaticamente a tariffe con consumo libero.

Tariffe a due parti con entrambi i tipi serviti. Per H il prezzo marginale ottimo è 2. Se la tariffa bassa ha prezzo unitario $p_{L}$ e lascia a L surplus zero, allora $F_{L} = \left( 24 - p_{L} \right)^{2}/2$. Il surplus ottenibile da H copiando L è:

$$S_{H}\left( p_{L} \right) - F_{L} = \frac{\left( 40 - p_{L} \right)^{2} - \left( 24 - p_{L} \right)^{2}}{2} = 512 - 16p_{L}.$$

Indicando con $q_{L} = 24 - p_{L}$ la quantità effettiva di L, tale rendita è $128 + 16q_{L}$. La quota alta compatibile con gli incentivi è quindi $F_{H} = 722 - \left( 128 + 16q_{L} \right) = 594 - 16q_{L}$. Il profitto per coppia è $594 + 6q_{L} - q_{L}^{2}/2$: il massimo si ha ancora in $q_{L} = 6$, quindi $p_{L} = 18$.

Il menu separatore è $\left( F_{H},p_{H} \right) = (498,2)$ e $\left( F_{L},p_{L} \right) = (18,18)$. H ottiene $722 - 498 = 224$ scegliendo la tariffa alta e $22^{2}/2 - 18 = 224$ scegliendo quella bassa. L ottiene zero dalla propria tariffa e un valore negativo da quella alta. Il profitto complessivo è $N\lbrack 498 + 18 + (18 - 2)6\rbrack = 612N$.

La quota alta 626 non funzionerebbe in una tariffa con consumo libero: H avrebbe surplus 96 nella tariffa alta e 224 copiando quella bassa. Il consumatore che cambia tariffa cambia anche quantità. Il valore 626 è invece il margine ottenuto sul pacchetto fisso alto, pari a $702 - 2(38)$.

Scelta di escludere L. Se il venditore può rinunciare a servire L, una sola tariffa $(F,p) = (722,2)$ estrae da H tutto il surplus e produce $722N$. L non aderisce perché il suo surplus prima della quota è soltanto 242. Nella classe di tariffe a due parti qui considerata, questa soluzione supera il menu separatore che serve entrambi. Il confronto con l’esclusione è dunque indispensabile: il miglior menu condizionato a servire tutti non coincide necessariamente con la migliore politica disponibile.

Pacchetti fissi e menu a due parti che servono entrambi producono le stesse quantità, quindi lo stesso surplus totale, ma lo distribuiscono diversamente. Rispetto al prezzo uniforme, l’aumento di quantità di H crea $112,5N$ di surplus; la riduzione di L ne distrugge $15,5N$. Il saldo è $97N$. Il trasferimento di rendita e la variazione delle risorse create vanno contabilizzati separatamente.

Terzo grado: gruppi osservabili ed elasticità

Nel group pricing il venditore distingue gruppi sulla base di caratteristiche osservabili e impedisce la rivendita tra essi. Può quindi scegliere prezzi lineari diversi, senza dover indurre i clienti a rivelare indirettamente il proprio tipo. Con costo marginale comune, ogni gruppo soddisfa $MR_{i} = c$. In termini di elasticità:

$$\frac{p_{i} - c}{p_{i}} = \frac{1}{\varepsilon_{i}}.$$

Il gruppo con domanda meno elastica, valutata al rispettivo prezzo ottimo, sostiene un margine proporzionale maggiore. Dire che un gruppo è “più ricco” non sostituisce l’analisi della sua elasticità. La presenza di sostituti, l’urgenza del consumo e la possibilità di rinviare l’acquisto possono essere altrettanto importanti.

Nel mercato con domande $40 - q_{H}$ e $24 - q_{L}$, i prezzi separati sono $p_{H} = 21$ e $p_{L} = 13$. Le quantità individuali sono 19 e 11; i profitti sono $361N$ e $121N$, per un totale di $482N$. La quantità aggregata rimane $30N$, come con il prezzo uniforme, ma cambia la sua distribuzione. Il surplus dei clienti è $241N$ e il surplus totale $723N$: il profitto aumenta di $32N$, mentre il benessere complessivo scende di $16N$.

L’esempio mostra che discriminare non crea necessariamente più efficienza. Qui si spostano unità verso clienti con minore disponibilità marginale a pagare, senza espandere la produzione totale. In altri casi, invece, un prezzo differenziato può consentire di servire gruppi che con il prezzo uniforme sarebbero esclusi. Il segno dell’effetto complessivo non va assunto in anticipo.

Versioning: differenziare il contratto per separare i clienti

Il versioning offre varianti del prodotto o del contratto con qualità, servizi o vincoli differenti. La versione economica non serve soltanto a ridurre il costo: può funzionare come strumento di autoselezione. Il prezzo della versione superiore deve però tenere conto del vantaggio che i clienti più disponibili a pagare otterrebbero scegliendo la versione inferiore.

Esempio guidato: biglietti flessibili e vincolati

Una compagnia ipotetica vende a 50 clienti business e 50 turisti. Il costo è nullo e ciascun cliente compra al massimo un biglietto. Le disponibilità a pagare sono:

Vendendo soltanto biglietti flessibili, il prezzo 260 produce 13.000, mentre il prezzo 120 produce 12.000. Vendendo soltanto biglietti vincolati, il prezzo 80 produce 8.000. Con entrambe le versioni, la compagnia può porre il biglietto vincolato a 80. Un cliente business ricaverebbe da questa offerta un surplus di 20; il biglietto flessibile deve lasciargli almeno altrettanto. Il suo prezzo massimo è dunque $260 - 20 = 240$.

Il menu $\left( p_{F},p_{V} \right) = (240,80)$ produce $50(240) + 50(80) = 16.000$. Il cliente business ottiene una rendita informativa di 20; il turista ottiene zero e non desidera il biglietto flessibile. Le opzioni risultano compatibili con gli incentivi, usando la convenzione sull’indifferenza.

Se i clienti business diventano 85 e i turisti 15, il menu produce 21.600, mentre vendere soltanto il biglietto flessibile a 260 produce 22.100. Servire i turisti genera 1.200 di ricavo, ma obbliga a lasciare $85 \times 20 = 1.700$ ai clienti business. Ampliare il mercato non coincide sempre con aumentare il profitto.

Bundling puro, misto e vendite abbinate

Il bundling puro rende disponibili due beni soltanto insieme. Il bundling misto affianca il pacchetto alle vendite separate. La vendita abbinata, o tying, condiziona l’acquisto di un bene all’acquisto di un altro: è una nozione contrattuale vicina, ma non identica alla semplice offerta facoltativa di un pacchetto.

Il pacchetto può rendere meno disperse le disponibilità complessive a pagare. Se chi valuta molto A valuta poco B e viceversa, la somma delle valutazioni può risultare simile per clienti diversi. Il monopolista può così applicare un prezzo del pacchetto accettabile per molti clienti. Questa intuizione non è una legge universale: contano costi, complementarità, composizione della domanda e scelta tra singoli beni e pacchetto.

Esempio guidato: due contenuti e due sale

Le sale 1 e 2 valutano un contenuto A rispettivamente 9.000 e 10.000, e un contenuto B rispettivamente 3.000 e 2.000. I costi sono nulli. Vendendo separatamente, A a 9.000 produce 18.000 e B a 2.000 produce 4.000: il totale è 22.000. Il pacchetto vale invece 12.000 per entrambe le sale e, venduto a quel prezzo, produce 24.000.

Il totale delle disponibilità a pagare è proprio 24.000. Non esiste quindi una strategia che, rispettando la partecipazione delle due sale, produca ricavi superiori con questi dati. Il bundling puro raggiunge il limite; quello misto può replicarlo, ma non superarlo. Il risultato dipende dall’additività dei valori e dall’acquisto in caso di indifferenza.

Esempio guidato: quando il bundling misto migliora il risultato

Tre gruppi di 100 persone hanno valutazioni per due eventi A e B pari a $(30,15)$, $(20,25)$ e $(10,25)$. Le valutazioni del pacchetto sono quindi 45, 45 e 35. I costi sono nulli.

La vendita separata ottima applica $p_{A} = 20$ e $p_{B} = 25$, con profitti rispettivamente 4.000 e 5.000: totale 9.000. Nel bundling puro, il prezzo 35 serve tutti e produce 10.500; il prezzo 45 serve soltanto i primi due gruppi e produce 9.000.

Nel bundling misto si possono fissare $p_{A} = 30$, $p_{B} = 25$ e $p_{AB} = 45$. Con scelta favorevole al pacchetto in caso di indifferenza, i primi due gruppi acquistano entrambi gli eventi e il terzo acquista soltanto B. Il profitto è $200(45) + 100(25) = 11.500$.

L’indifferenza è sostanziale: il primo gruppo ottiene zero sia dal pacchetto sia da A; il secondo ottiene zero sia dal pacchetto sia da B. Per rendere stretta la selezione si può porre, per un piccolo $\eta > 0$, $p_{AB} = 45 - 2\eta$, $p_{B} = 25 - \eta$ e mantenere $p_{A} = 30$. Il profitto diventa $11.500 - 500\eta$ e si avvicina a 11.500 quando $\eta$ tende a zero. Il valore pieno richiede la convenzione sull’indifferenza; altrimenti è un valore limite.

Varietà nel monopolio: differenziazione orizzontale

La differenziazione orizzontale riguarda caratteristiche sulle quali i clienti hanno gusti diversi. A parità di prezzo alcuni preferiscono una varietà, altri un’altra; non esiste necessariamente un ordinamento condiviso dal peggiore al migliore. Nel modello di Hotelling una posizione lungo un segmento può rappresentare un luogo oppure una caratteristica del prodotto. La distanza dal punto preferito produce una disutilità.

Un monopolista multiprodotto deve confrontare il beneficio di una maggiore varietà con il costo di sostenerla. Aggiungere un punto vendita riduce la distanza di alcuni clienti, ma richiede un investimento. Inoltre parte delle vendite del nuovo prodotto può provenire da altri prodotti della stessa impresa: questa è la cannibalizzazione, che va distinta dalle vendite sottratte ai concorrenti.

Esempio guidato: scelta del numero di varietà

Consideriamo $N$ clienti uniformi su $\lbrack 0,1\rbrack$, valore del consumo $v$, costo marginale $c$ e disutilità di distanza $t$. Supponiamo copertura completa, un prezzo comune e $n$ varietà equidistanti, poste al centro dei rispettivi segmenti. La distanza massima dalla varietà più vicina è $1/(2n)$, quella media $1/(4n)$. Ogni varietà costa $F$ da mantenere.

Il prezzo più alto compatibile con la copertura completa è $p = v - t/(2n)$. Il profitto diventa $\Pi(n) = N\lbrack v - c - t/(2n)\rbrack - nF$. Trattando provvisoriamente $n$ come continuo, la condizione marginale dà $n_{M} = \sqrt{Nt/(2F)}$. La scelta finale deve confrontare i numeri interi ammissibili e verificare che non sia preferibile una copertura parziale.

Il surplus totale, con tutti serviti, è invece $W(n) = N(v - c) - Nt/(4n) - nF$. Il numero continuo che lo massimizza è $n_{W} = \sqrt{Nt/(4F)}$. In questo specifico modello il monopolista può offrire più varietà, non meno, del livello efficiente: aumentando la copertura qualitativa del cliente più distante può alzare il prezzo per tutti.

Con $N = 100$, $v = 30$, $c = 10$, $t = 8$ e $F = 150$, una varietà permette prezzo 26 e profitto 1.450; due varietà permettono prezzo 28 e profitto 1.500. Il surplus totale è però 1.650 con una varietà e 1.600 con due. Ai parametri indicati la copertura completa è compatibile con l’ottimo di prezzo. L’esempio dimostra che la relazione tra monopolio e varietà dipende dal meccanismo di prezzo, non da una regola secondo cui la varietà sarebbe sempre insufficiente.

Qualità e differenziazione verticale

Nella differenziazione verticale tutti i clienti, a parità di prezzo, preferiscono una qualità superiore. Cambia però quanto ciascuno è disposto a pagare per ottenerla. Una rappresentazione è $u(\theta,s) = \theta s - p$, dove $s$ è la qualità e $\theta$ misura l’apprezzamento individuale. Il monopolista può offrire una sola qualità oppure un menu di qualità e prezzi.

Con $\theta$ uniforme tra zero e uno, prezzo $p$ e qualità positiva $s$, compra chi ha $\theta \geq p/s$. Se il costo unitario è $k(s)$, il profitto con una massa $N$ di consumatori è $\Pi = \left( p - k(s) \right)N(1 - p/s)$, per $0 \leq p \leq s$. A qualità data, il prezzo ottimo è $p(s) = \lbrack s + k(s)\rbrack/2$. La qualità viene poi scelta tenendo conto sia del maggiore valore per i clienti sia del suo costo.

Per esempio, con $k(s) = s^{2}/2$, la sostituzione del prezzo ottimo dà $\Pi(s) = Ns(1 - s/2)^{2}/4$ nell’intervallo economicamente rilevante. Il massimo positivo si trova in $s = 2/3$: il prezzo è $4/9$, compra un terzo dei clienti e il profitto è $2N/27$. La soluzione richiede scegliere congiuntamente qualità e prezzo, non presumere che la qualità più alta sia sempre la migliore.

Un menu di qualità reintroduce i vincoli di autoselezione: la qualità inferiore deve essere abbastanza economica da attrarre i clienti meno interessati, ma non così conveniente da attirare tutti. Il collegamento con il versioning è diretto. La qualità del prodotto, la quantità acquistata e le restrizioni del contratto possono essere strumenti diversi per affrontare lo stesso problema informativo.

Teoria dei giochi ed equilibrio di Nash

In un oligopolio le imprese non prendono soltanto decisioni sul mercato: prendono decisioni tenendo conto delle decisioni altrui. Un gioco specifica i giocatori, le azioni disponibili, l’ordine delle mosse, le informazioni e i risultati economici, chiamati payoff. La strategia descrive cosa fare; in un gioco sequenziale deve indicare anche la risposta alle situazioni che potrebbero verificarsi.

Un equilibrio di Nash è un insieme di strategie tali che nessun giocatore possa migliorare il proprio risultato modificando unilateralmente la propria scelta, ferme quelle degli altri. Non richiede che i giocatori siano soddisfatti del risultato, né che il profitto congiunto sia massimo. Può esistere un esito migliore per entrambi che nessuno abbia incentivo a rispettare unilateralmente.

La funzione di reazione associa a ogni scelta dei concorrenti la risposta che massimizza il proprio profitto. In un modello simultaneo, l’equilibrio si ottiene rendendo queste risposte reciprocamente coerenti. In un gioco sequenziale si usa l’induzione a ritroso: si risolve prima l’ultima decisione e poi la scelta iniziale che la anticipa. L’equilibrio perfetto nei sottogiochi richiede ottimalità anche nelle continuazioni che non vengono effettivamente raggiunte.

Cournot: competizione simultanea sulle quantità

Nel modello di Cournot ogni impresa sceglie la quantità considerando come date le quantità altrui. Il prezzo viene determinato dalla domanda complessiva. Con $P = a - bQ$, $Q = q_{i} + Q_{- i}$ e costo marginale $c_{i}$, il profitto è $\pi_{i} = \lbrack a - b\left( q_{i} + Q_{- i} \right) - c_{i}\rbrack q_{i} - F_{i}$. La derivata rispetto a $q_{i}$ è $a - c_{i} - 2bq_{i} - bQ_{- i}$, da cui:

$$BR_{i}\left( Q_{- i} \right) = max(0,\frac{a - c_{i} - bQ_{- i}}{2b}).$$

La pendenza negativa indica che le quantità sono sostituti strategici: se gli altri producono di più, la risposta ottima dell’impresa è produrre meno. Questa relazione riguarda la risposta ottima, non semplicemente il segno dell’effetto di una quantità sul profitto.

Con $n$ imprese simmetriche, costo marginale $c$ e tutte attive, la simmetria impone $q_{i} = q$ e $Q_{- i} = (n - 1)q$. Si ottiene:

$$q_{i}^{C} = \frac{a - c}{b(n + 1)},\quad\quad Q^{C} = \frac{n(a - c)}{b(n + 1)},\quad\quad P^{C} = \frac{a + nc}{n + 1}.$$

Il profitto operativo individuale è $(a - c)^{2}/\lbrack b(n + 1)^{2}\rbrack$. Aumentando $n$, la quantità totale cresce e il prezzo si avvicina al costo marginale. Il risultato non significa che il numero delle imprese possa aumentare senza limiti: con costi fissi, l’entrata dipende dalla copertura di tali costi e dalle aspettative sul profitto successivo.

Cournot, concentrazione e margini

Per una domanda inversa generica, la condizione di Cournot è $P(Q) + q_{i}P'(Q) = MC_{i}$. Poiché l’elasticità assoluta della domanda di mercato è $\varepsilon = - P/\lbrack QP'(Q)\rbrack$, si ricava:

$$L_{i} = \frac{P - MC_{i}}{P} = \frac{s_{i}}{\varepsilon}.$$

Ponderando i margini per le quote di produzione si ottiene $\overline{L} = \sum_{i}^{}s_{i}L_{i} = H/\varepsilon$. Questa relazione collega concentrazione e margine medio ponderato, non direttamente concentrazione e rendimento contabile del capitale. Vale sotto le ipotesi di Cournot: non è un’identità applicabile a qualsiasi settore.

Esempio guidato: tre imprese con costi differenti

La domanda è $P = 140 - Q$. I costi marginali sono $20 - x$, 20 e $20 + x$, con $x \geq 0$. Per mantenere tutti i costi non negativi consideriamo $0 \leq x \leq 20$. Le condizioni del primo ordine formano il sistema:

$$\begin{matrix} 2q_{1} + q_{2} + q_{3} = 120 + x, \\ q_{1} + 2q_{2} + q_{3} = 120, \\ q_{1} + q_{2} + 2q_{3} = 120 - x. \end{matrix}$$

Sommando, $4Q = 360$: dunque $Q = 90$ e $P = 50$. Sottraendo la quantità totale dalle singole equazioni si trovano $q_{1} = 30 + x$, $q_{2} = 30$ e $q_{3} = 30 - x$. I profitti sono $(30 + x)^{2}$, 900 e $(30 - x)^{2}$.

Le quote forniscono $H = \lbrack(30 + x)^{2} + 30^{2} + (30 - x)^{2}\rbrack/90^{2} = 1/3 + x^{2}/4.050$. La concentrazione aumenta con l’asimmetria, sebbene il numero delle imprese resti invariato. L’elasticità di mercato è $50/90 = 5/9$; i Lerner sono $(30 + x)/50$, $3/5$ e $(30 - x)/50$, coerenti con $L_{i} = s_{i}/\varepsilon$.

Per $x = 10$, le quantità sono 40, 30 e 20, i profitti 1.600, 900 e 400 e l’HHI è circa 0,358. L’impresa più efficiente produce di più e ha un margine maggiore. Ciò non dimostra una condotta anticoncorrenziale: la differenza nasce dai costi. La soluzione algebrica con tre produzioni non negative arriverebbe fino a $x = 30$, ma oltre 20 il primo costo marginale diventerebbe negativo; oltre 30 anche la soluzione interna delle quantità cesserebbe di essere ammissibile.

Bertrand: competizione simultanea sui prezzi

Nel modello di Bertrand con bene omogeneo, consumatori informati, costi marginali identici e capacità sufficiente a servire l’intero mercato, il venditore meno caro riceve tutta la domanda. Se i prezzi coincidono, una regola di ripartizione assegna la domanda tra le imprese. Un’impresa che osserva idealmente un prezzo rivale sopra costo ha incentivo a praticare un prezzo appena inferiore e a conquistare i clienti.

L’equilibrio è $p_{1} = p_{2} = c$. Nessuna impresa guadagna abbassando il prezzo sotto costo; alzandolo perde le vendite senza ottenere profitto positivo. Il paradosso di Bertrand consiste nel raggiungere il risultato concorrenziale anche con due sole imprese. I profitti sono nulli se non vi sono costi fissi; con costi fissi già sostenuti è nullo il margine operativo, non necessariamente il profitto netto.

Con prezzi continui, l’espressione “un prezzo appena più basso” non identifica sempre una migliore risposta esatta. Se il rivale pratica un prezzo compreso tra costo e prezzo monopolistico, si può migliorare il profitto scegliendo un prezzo sempre più vicino al suo, da sotto. Il limite non deve essere confuso con un prezzo ottimo effettivamente raggiunto. Questo dettaglio non cambia l’equilibrio simmetrico al costo marginale.

Esempio guidato: bene omogeneo e capacità illimitata

Con $P = 220 - 2Q$ e costo marginale 4, il prezzo di Bertrand è 4. La domanda totale è $(220 - 4)/2 = 108$; con ripartizione simmetrica ciascuna impresa vende 54 e ottiene profitto zero. Il monopolista, per confronto, sceglierebbe $Q = 54$ e prezzo 112. Le differenti previsioni di Cournot e Bertrand dipendono dalla variabile strategica e dai vincoli, non da un errore di calcolo.

Vincoli di capacità e razionamento

Se l’impresa più economica non può soddisfare tutta la domanda, alzare il prezzo non significa necessariamente perdere ogni cliente. Una parte dei consumatori non serviti si rivolge all’altra impresa. Per calcolare questa domanda residua occorre una regola di razionamento.

Con razionamento efficiente, i clienti con disponibilità a pagare più alta vengono serviti per primi dal venditore meno caro. Se quest’ultimo esaurisce una capacità $K_{j}$, il concorrente più caro fronteggia una domanda residua $max(0,D\left( p_{i} \right) - K_{j})$. Altre regole possono produrre risultati diversi; in alcuni intervalli di capacità non esiste un equilibrio in prezzi puri e occorrono strategie miste.

Nell’esempio $P = 220 - 2Q$, con costo marginale operativo 4 e capacità $K_{1} = K_{2} = 36$, il prezzo che assorbe le 72 unità è 76. Entrambe vendono 36 e guadagnano $(76 - 4)36 = 2.592$. Tagliare il prezzo non permette di vendere di più, perché la capacità è già esaurita. Aumentandolo, l’impresa affronta la domanda residua $\left( 148 - p_{i} \right)/2$ e il profitto $\left( p_{i} - 4 \right)\left( 148 - p_{i} \right)/2$, il cui massimo è proprio 76. Il candidato supera quindi il controllo delle deviazioni unilaterali.

Kreps-Scheinkman: capacità prima, prezzi dopo

La capacità può essere scelta prima della competizione sui prezzi. Nel modello di Kreps-Scheinkman, sotto specifiche ipotesi su domanda, costi, razionamento e struttura del gioco, la scelta iniziale di capacità seguita dalla competizione di prezzo produce un esito di tipo Cournot. Il punto economico è che la quantità può essere determinata indirettamente da una decisione irreversibile precedente.

Una versione coerente dell’esempio considera un costo di installazione pari a 4 per unità di capacità e un costo operativo successivo nullo. Nella regione in cui il prezzo del secondo stadio assorbe le capacità, la funzione di profitto iniziale è $\pi_{i} = \lbrack 220 - 2\left( K_{i} + K_{j} \right) - 4\rbrack K_{i}$. La condizione marginale è $216 - 4K_{i} - 2K_{j} = 0$, quindi $K_{i} = 54 - K_{j}/2$. La soluzione simmetrica è $K_{i} = 36$, con prezzo 76 e profitto netto 2.592.

Questa costruzione distingue il costo anticipato della capacità dal costo operativo dell’esempio precedente. Il fatto che i numeri coincidano non rende i due problemi identici. Inoltre sostituire $p = P\left( K_{1} + K_{2} \right)$ per qualunque coppia di capacità non costituisce una dimostrazione generale: alcuni sottogiochi richiedono analisi differenti. L’equivalenza di Kreps-Scheinkman dipende dall’intero gioco, comprese le deviazioni fuori dalla regione dell’equilibrio.

Stackelberg: leadership di quantità

Nel modello di Stackelberg il leader sceglie una quantità osservabile e vincolante; il follower risponde successivamente. Con domanda $P = a - b\left( q_{L} + q_{F} \right)$ e costo comune $c$, la risposta del follower è $q_{F} = \left( a - c - bq_{L} \right)/(2b)$ quando positiva. Il leader sostituisce questa funzione nel proprio profitto prima di massimizzarlo.

Si ottengono $q_{L} = (a - c)/(2b)$ e $q_{F} = (a - c)/(4b)$. Il leader produce il doppio del follower e ottiene un profitto maggiore. Il vantaggio della prima mossa nasce dalla possibilità di influenzare la quantità successiva, non dal semplice annuncio di un’intenzione. Se il leader potesse modificare liberamente la produzione dopo la risposta del follower, il gioco sarebbe diverso.

Esempio guidato: confronto fra strutture

Con $P = 56 - 2Q$ e costo marginale 8, il follower risponde $q_{F} = 12 - q_{L}/2$. Il profitto del leader è $\left( 24 - q_{L} \right)q_{L}$, massimo in $q_{L} = 12$. Ne seguono $q_{F} = 6$, prezzo 20 e profitti 144 e 72.

Il leader migliora rispetto a Cournot, ma il profitto complessivo delle imprese scende da 256 a 216. La quantità aumenta e i consumatori beneficiano del prezzo minore. Il vantaggio di una singola impresa e il vantaggio dell’intera industria possono muoversi in direzioni opposte.

Hotelling: differenziazione e concorrenza di prezzo

Consideriamo $N$ consumatori uniformemente distribuiti su una strada di lunghezza $\mathcal{l}$, con imprese agli estremi, costo marginale $c$ e costo di distanza $t$ per unità. Un cliente in $x$ confronta i costi generalizzati $p_{1} + tx$ e $p_{2} + t\left( \mathcal{l -}x \right)$. Se tutti acquistano e il consumatore indifferente è interno:

$$x^{\text{*}} = \frac{\mathcal{l}}{2} + \frac{p_{2} - p_{1}}{2t},\quad\quad q_{1} = N\frac{x^{\text{*}}}{\mathcal{l}},\quad\quad q_{2} = N - q_{1}.$$

La differenziazione rende la domanda individuale continua: una piccola variazione di prezzo sposta alcuni clienti, non necessariamente tutti. Le funzioni di reazione simmetriche sono $p_{i} = \left( p_{j} + c + t\mathcal{l} \right)/2$. I prezzi sono complementi strategici, perché un rialzo del prezzo rivale rende ottimale aumentare il proprio. In equilibrio $p_{1} = p_{2} = c + t\mathcal{l}$.

Le domande interne devono essere troncate se $x^{\text{*}}$ esce dalla strada. La copertura completa richiede inoltre che il valore del bene superi prezzo e disutilità di distanza anche per il cliente meno favorito. Se queste condizioni non valgono, il modello va risolto con i tratti di domanda appropriati.

Esempio guidato: due negozi lungo una strada

Mille clienti vivono uniformemente lungo 10 km; il costo complessivo di spostamento è rappresentato da $t = 1$ per km di distanza. I negozi sono ai km 0 e 10. Le domande sono $q_{1} = 500 + 50\left( p_{2} - p_{1} \right)$ e $q_{2} = 500 + 50\left( p_{1} - p_{2} \right)$ negli intervalli interni. A prezzi uguali a 1, ciascuno serve 500 clienti; con $p_{1} = 1$ e $p_{2} = 1,40$, il primo ne serve 520 e il secondo 480.

Se $p_{1} = 3$, la domanda del negozio 2 è $q_{2} = 50\left( 13 - p_{2} \right)$. Per vendere 250 unità occorre prezzo 8; per venderne 500, prezzo 3. La formula raggiunge 1.000 unità al prezzo −7: è una soglia matematica, non una politica profittevole per un venditore con costi positivi.

Con costi $C_{i} = 250 + q_{i}$, il costo marginale è 1. La reazione è $p_{i} = \left( p_{j} + 11 \right)/2$, quindi il prezzo simmetrico è 11. Le quantità sono 500 ciascuna e i profitti $(11 - 1)500 - 250 = 4.750$. Si assume un valore di riserva almeno pari a 16 per assicurare copertura completa al prezzo di equilibrio.

Entrata di un terzo negozio

Un terzo negozio si colloca al km 5 con gli stessi costi. Mantenendo provvisoriamente i prezzi esterni a 11, la sua domanda è $q_{3} = 1.600 - 100p_{3}$. La massimizzazione di $\left( p_{3} - 1 \right)\left( 1.600 - 100p_{3} \right) - 250$ dà $p_{3} = 8,5$, quantità 750 e profitto 5.375. Questo è però una migliore risposta a prezzi fissi, non il nuovo equilibrio dell’industria.

Lasciando reagire tutti, le condizioni sono $p_{1} = p_{2} = \left( p_{3} + 6 \right)/2$ e $p_{3} = \left( p_{1} + p_{2} + 12 \right)/4$. La soluzione è $p_{1} = p_{2} = p_{3} = 6$. I negozi esterni vendono 250 ciascuno e quello centrale 500; i profitti diventano 1.000 per ciascun esterno e 2.250 per il centrale. L’entrata riduce il potere di mercato locale e induce una risposta di prezzo degli operatori già presenti.

Differenziazione di prodotto e costi asimmetrici

Lo spazio di Hotelling può rappresentare una caratteristica anziché una distanza fisica. Consideriamo 100 clienti su $\lbrack 0,1\rbrack$, valore del bene 30, disutilità $t = 5$ e imprese agli estremi. Con costi marginali 10, le domande sono $q_{1} = 50 + 10\left( p_{2} - p_{1} \right)$ e $q_{2} = 50 + 10\left( p_{1} - p_{2} \right)$. Il prezzo simmetrico è 15, ciascuna vende 50 e guadagna 250. La copertura completa richiede valore almeno $15 + 5/2 = 17,5$, condizione soddisfatta da 30.

Se il costo della seconda impresa sale a 20, le reazioni diventano $p_{1} = \left( p_{2} + 15 \right)/2$ e $p_{2} = \left( p_{1} + 25 \right)/2$. I prezzi sono $55/3$ e $65/3$, le quantità $250/3$ e $50/3$, i profitti $6.250/9$ e $250/9$. Anche l’impresa che non subisce lo shock alza il prezzo: la complementarità strategica trasmette parte dello shock all’intero mercato. L’impresa efficiente guadagna quota e aumenta il profitto, mentre quella più costosa perde clienti.

Prezzi sequenziali e vantaggio della seconda mossa

Riprendiamo il caso simmetrico con costo 10 e $t = 5$, ma supponiamo che l’impresa 1 fissi irrevocabilmente il prezzo per prima. La seconda risponde $p_{2} = \left( p_{1} + 15 \right)/2$. Sostituendo nella domanda della prima, $q_{1} = 125 - 5p_{1}$. Il leader massimizza $\left( p_{1} - 10 \right)\left( 125 - 5p_{1} \right)$, ottenendo $p_{1} = 17,5$; il follower sceglie $p_{2} = 16,25$.

Le quantità sono 37,5 e 62,5; i profitti 281,25 e 390,625. Il follower può posizionarsi sotto il prezzo del leader conservando un margine significativo. In questo modello emerge un vantaggio della seconda mossa. Entrambi ottengono più dei 250 del gioco simultaneo, ma chi muove dopo ottiene il risultato maggiore.

Non esiste una regola per cui muovere prima sia sempre vantaggioso o sempre svantaggioso. Contano la variabile strategica, la pendenza delle reazioni, la reversibilità della scelta e l’informazione. Cournot, Bertrand, Stackelberg e Hotelling sono strumenti per identificare questi meccanismi, non etichette intercambiabili.

Entrare in un mercato: profitti, costi irrecuperabili e reazioni

Un potenziale concorrente non confronta soltanto il prezzo corrente con il proprio costo. Deve prevedere come cambierà il mercato dopo il suo ingresso: quanto produrrà l’impresa insediata, quali prezzi emergeranno, quale domanda resterà disponibile e quali investimenti non potranno essere recuperati in caso di uscita. L’impresa già presente, detta incumbent, può influenzare queste aspettative attraverso decisioni che modificano realmente le condizioni della concorrenza.

L’entrata bloccata non richiede una particolare azione difensiva: le condizioni strutturali rendono già non conveniente l’ingresso. L’entrata accomodata si verifica quando l’incumbent accetta di condividere il mercato perché scoraggiare il concorrente sarebbe troppo costoso. L’entrata impedita nasce invece da un comportamento strategico che rende non profittevole un ingresso altrimenti conveniente. Questa classificazione descrive un esito economico: non stabilisce, da sola, la liceità o illiceità della condotta.

Un costo fisso di ingresso $F$ va trattato con particolare attenzione. Prima di entrare è evitabile: l’impresa può non sostenerlo. Dopo che l’investimento è stato effettuato ed è irrecuperabile, non influenza direttamente la condizione marginale di produzione. Occorre quindi distinguere la scelta discreta di entrare dalla quantità ottimale condizionata all’ingresso.

Prezzo limite e impegno sulla quantità

Il prezzo limite è, in un modello di deterrenza, il prezzo più alto compatibile con la non convenienza dell’entrata. Non esiste una formula universale: dipende dalle aspettative sulla concorrenza successiva e dalle azioni cui l’incumbent può impegnarsi. In un modello in cui quest’ultimo sceglie irrevocabilmente una quantità, la deterrenza può essere descritta come una produzione abbastanza elevata da comprimere la domanda residua dell’entrante.

Consideriamo $P = a - Q$, costo marginale comune $c$ e costo fisso di ingresso $F$ per il concorrente. Poniamo $A = a - c > 0$. Data la quantità impegnata $q_{I}$, un entrante attivo massimizza $\left( A - q_{I} - q_{E} \right)q_{E} - F$. La quantità ottimale condizionata all’ingresso e il relativo profitto sono:

$$q_{E}^{att}\left( q_{I} \right) = max(0,\frac{A - q_{I}}{2}),\quad\quad\pi_{E}^{att} = \left( q_{E}^{att} \right)^{2} - F.$$

Il costo fisso non si sottrae alla funzione di reazione come una riduzione continua della quantità. L’impresa prima calcola il profitto dell’attività e poi lo confronta con zero, che è il risultato della non entrata. Quando $0 \leq q_{I} < A$, il vincolo che rende l’ingresso non profittevole è $\left( A - q_{I} \right)^{2}/4 \leq F$. La quantità limite risulta:

$$q_{I}^{L} = A - 2\sqrt{F}.$$

Se $F \geq A^{2}/16$, già la quantità di monopolio $q_{I}^{M} = A/2$ impedisce un ingresso redditizio: l’entrata è bloccata in questo specifico schema di impegno sulle quantità. Per valori inferiori, l’incumbent confronta la deterrenza con l’accomodazione. Accomodando come leader di Stackelberg ottiene $q_{I}^{S} = A/2$, $q_{E}^{S} = A/4$ e profitto $A^{2}/8$. Impedendo l’ingresso con $q_{I}^{L}$ ottiene invece:

$$\pi_{I}^{L} = 2\sqrt{F}\,\left( A - 2\sqrt{F} \right).$$

Il confronto tra le due espressioni produce la soglia $F^{\text{*}} = A^{2}\left( 3 - 2\sqrt{2} \right)/32$. Ne segue una classificazione utile, sempre sotto le ipotesi del modello:

Alle soglie, un’impresa può essere indifferente. Per ottenere non entrata certa senza assumere una convenzione favorevole all’incumbent occorre rendere il profitto dell’entrante strettamente negativo, ad esempio impegnando una quantità appena superiore al valore limite. La presenza di costi fissi dell’incumbent da sostenere anche senza ingresso riduce i suoi profitti in entrambi gli scenari, ma non modifica questo confronto se il costo è identico e inevitabile.

Esempio guidato: quando impedire l’entrata costa troppo

In un mercato di apparecchi elettronici la domanda è $P = 50 - 0,1Q$. I costi sono $C_{I} = 0,025q_{I}^{2}$ per l’incumbent e $C_{E} = 10q_{E} + 0,025q_{E}^{2}$ per l’entrante. In monopolio il profitto dell’incumbent è $50q_{I} - 0,125q_{I}^{2}$, quindi la quantità ottimale è 200, il prezzo 30 e il profitto 5.000.

Se l’incumbent si impegna a produrre 200, l’entrante fronteggia $P = 30 - 0,1q_{E}$. Il suo profitto è $20q_{E} - 0,125q_{E}^{2}$, massimizzato in $q_{E} = 80$. Il prezzo scende a 22 e i profitti diventano 3.400 per l’incumbent e 800 per l’entrante. In generale, la risposta dell’entrante è $q_{E} = max(0,160 - 0,4q_{I})$. Per azzerare la sua produzione occorre dunque impegnare $q_{I} = 400$: il prezzo sarebbe 10 e il profitto dell’incumbent zero.

Accomodare l’ingresso è preferibile. Sostituendo la risposta del concorrente, il profitto del leader è $34q_{I} - 0,085q_{I}^{2}$, massimizzato proprio in 200. Senza un impegno preventivo, invece, le funzioni di reazione simultanee sono $q_{I} = 200 - 0,4q_{E}$ e $q_{E} = 160 - 0,4q_{I}$. Risolvendole si ottiene:

Il confronto mostra perché preservare il monopolio non è sempre la scelta più redditizia: conta il costo della strategia necessaria a conservarlo, non soltanto il numero finale di concorrenti.

Esempio guidato: una deterrenza conveniente, se l’impegno è possibile

Supponiamo ora $P = 100 - Q$ e costi $C_{i} = 4q_{i} + 64$. L’entrante attivo sceglie $q_{E} = \left( 96 - q_{I} \right)/2$. Il suo profitto si annulla quando $q_{I} = 80$: se entrasse produrrebbe 8 e coprirebbe esattamente tutti i costi. Assumendo che in tale situazione preferisca non entrare, l’incumbent vende 80 al prezzo 20 e ottiene $(20 - 4)80 - 64 = 1.216$.

Accomodando l’entrata da leader sceglie invece 48, l’entrante produce 24 e il prezzo è 28; il profitto del leader è 1.088. La deterrenza offre quindi 128 in più. Ma questo confronto è valido soltanto se produrre 80 è un impegno effettivo. Se l’incumbent può rivedere liberamente la propria produzione, occorre risolvere il gioco successivo all’ingresso, non trattare l’annuncio iniziale come una quantità già vincolante. Il livello monopolistico senza concorrenti sarebbe 48, con prezzo 52 e profitto 2.240; la soglia di costo fisso che bloccherebbe l’ingresso già a quel livello è 576.

Credibilità: perché un annuncio non equivale a una strategia

Una minaccia è credibile quando, raggiunto il punto del gioco in cui dovrebbe essere attuata, l’impresa trova ancora conveniente eseguirla. Per questo l’equilibrio perfetto nei sottogiochi richiede di esaminare anche i rami del gioco che la strategia vorrebbe evitare. Il punto decisivo non è soltanto che il monopolista cambierebbe quantità dopo una mancata entrata: è soprattutto quale comportamento sarebbe ottimale dopo un ingresso effettivo.

Consideriamo un entrante che può restare fuori, ottenendo zero, oppure entrare. Senza ingresso l’incumbent guadagna 80. Dopo l’ingresso può accomodare, con profitti 35 per ciascuno, oppure combattere, ottenendo 30 mentre l’entrante ottiene 20. L’incumbent preferisce accomodare, perché 35 supera 30; il concorrente lo anticipa ed entra. Inoltre, in questi dati neppure la guerra renderebbe l’ingresso non redditizio: l’entrante guadagnerebbe comunque 20.

Supponiamo adesso che un investimento anticipato di 40 obblighi, per un’ipotesi specifica sulla tecnologia o sulle condizioni di accesso, anche il concorrente a sostenere 40 per entrare. Non basta che l’incumbent spenda: deve esistere il meccanismo che rende necessario il costo del rivale. L’ingresso accomodato darebbe all’entrante $35 - 40 = - 5$, perciò esso resta fuori. L’incumbent ottiene $80 - 40 = 40$, più dei 35 che avrebbe guadagnato senza investimento. La deterrenza funziona perché cambia il rendimento dell’ingresso, non perché un annuncio rende improvvisamente razionale una guerra prima sconveniente.

Il modello di Dixit: capacità produttiva e costo marginale

La capacità produttiva è normalmente un massimo producibile, non un obbligo di vendere una quantità minima. Il suo valore strategico emerge quando l’investimento anticipato modifica i costi rilevanti nelle decisioni successive. Nel modello di Dixit l’incumbent paga in anticipo la capacità e sostiene, entro quel limite, soltanto il costo operativo marginale; per espandersi oltre deve pagare anche nuova capacità.

Consideriamo $P = 120 - q_{1} - q_{2}$, costo operativo unitario $w = 30$, costo unitario di capacità $r = 30$ e costi fissi di 200. La capacità installata dall’incumbent è $K$. La sua funzione di costo è:

$$\begin{matrix} C_{1}\left( q_{1};K \right) = 200 + 30q_{1} + 30K,\text{ se }q_{1} \leq K, \\ C_{1}\left( q_{1};K \right) = 200 + 60q_{1},\text{ se }q_{1} > K. \end{matrix}$$

L’entrante deve invece sostenere $C_{2} = 200 + 60q_{2}$. Condizionatamente all’ingresso, la sua risposta è $q_{2} = max(0,30 - q_{1}/2)$. Per l’incumbent, il costo marginale è 30 sotto la capacità e 60 sopra: tra i due ottimi interni si trova un tratto nel quale conviene saturare esattamente l’impianto. Per le quantità non negative e gli intervalli ammissibili:

$$\begin{matrix} BR_{1}\left( q_{2};K \right) = 30 - q_{2}/2,\text{ se }q_{2} < 60 - 2K, \\ BR_{1}\left( q_{2};K \right) = K,\text{ se }60 - 2K \leq q_{2} \leq 90 - 2K, \\ BR_{1}\left( q_{2};K \right) = max(0,45 - q_{2}/2),\text{ se }q_{2} > 90 - 2K. \end{matrix}$$

Con $K = 30$, l’equilibrio del sottogioco con entrata è $\left( q_{1},q_{2} \right) = (30,15)$, compatibile con il tratto centrale. Il prezzo è 75; il concorrente ottiene $15^{2} - 200 = 25$ e quindi entra. Il profitto dell’incumbent è $75 \cdot 30 - 200 - 30 \cdot 30 - 30 \cdot 30 = 250$.

Con $K = 32$, il sottogioco ipotetico con ingresso produce $(32,14)$. Il profitto dell’entrante sarebbe $14^{2} - 200 = - 4$, quindi esso non entra. Senza rivale, all’incumbent conviene produrre proprio 32: l’ottimo calcolato con costo marginale 30 sarebbe 45, oltre la capacità, mentre quello calcolato con costo 60 sarebbe 30, al di sotto della regione in cui quel costo vale. L’ottimo è dunque nel punto angoloso. Il prezzo è 88 e il profitto è $88 \cdot 32 - 200 - 60 \cdot 32 = 696$.

Nel tratto rilevante, la capacità limite è $K^{\text{*}} = 60 - 2\sqrt{200} \simeq 31,716$. Installare 32 rende la perdita dell’entrante strettamente negativa e supera la soglia senza dipendere dalla sua scelta in caso di indifferenza. La credibilità deriva dalla struttura dei costi: le quantità usate per valutare l’ingresso sono davvero risposte ottimali dell’incumbent. Non sarebbe corretto ottenere un presunto investimento ottimo mantenendo fisso il costo della capacità mentre si aumenta liberamente la quantità che richiede tale investimento.

Preemption: occupare prima lo spazio economico

La preemption consiste nell’occupare anticipatamente un’opportunità che sarebbe altrimenti disponibile a un concorrente: una localizzazione, una nicchia di prodotto, capacità produttiva, un diritto tecnologico o una relazione contrattuale. La decisione iniziale può ridurre la domanda residua o aumentare il costo dell’ingresso. La persistenza del monopolio può quindi dipendere da una scelta strategica, non soltanto da un vantaggio originario.

L’analisi deve separare tre questioni. La prima è se l’investimento modifica davvero le opportunità del rivale. La seconda è se l’impegno resta conveniente dopo l’ingresso. La terza è se il guadagno derivante dalla protezione della posizione supera il costo dell’azione. Un investimento che espande la capacità può anche abbassare i costi o migliorare il servizio: per valutarne gli effetti occorre un confronto con lo scenario alternativo, non una qualificazione basata esclusivamente sull’intenzione di difendere il mercato.

Prezzi predatori e regola di Areeda–Turner

La predazione si distingue dal prezzo limite perché riguarda tipicamente una condotta aggressiva diretta a escludere o indebolire concorrenti mediante prezzi particolarmente bassi. Il problema analitico consiste nel distinguere un sacrificio volto a ridurre la concorrenza da una riduzione di prezzo spiegata da efficienza, promozione, scorte o condizioni della domanda. Un concorrente danneggiato non dimostra, da solo, un danno alla concorrenza.

La proposta di Areeda–Turner collega la valutazione al costo marginale di breve periodo; poiché tale costo è difficile da misurare, il costo medio variabile viene utilizzato come approssimazione operativa. La regola nasce come criterio per rendere la valutazione più oggettiva, ma non costituisce una formula giuridica universale applicabile senza considerare il contesto. Vanno specificati il prodotto, l’orizzonte temporale, i costi evitabili e l’impresa di cui si misurano i costi.

Quadro europeo. Le linee guida della Commissione sull’articolo 102 TFUE, adottate il 3 settembre 2026, distinguono prezzi inferiori al costo medio variabile e prezzi compresi tra costo medio variabile e costo medio totale: nel secondo intervallo rileva l’esistenza di un piano diretto a eliminare o ridurre la concorrenza. Secondo il contesto possono essere appropriati il costo medio evitabile o quello incrementale medio di lungo periodo. L’analisi riguarda le condotte di imprese dominanti; non equivale a un divieto generale di qualsiasi vendita sottocosto. La dimostrazione del recupero successivo delle perdite non è un requisito necessario per accertare la predazione nel diritto dell’Unione.

Quadro statunitense. La guida della FTC evidenzia invece il ruolo della possibilità di escludere i concorrenti e recuperare le perdite attraverso successivi prezzi sovracompetitivi. Perciò non è corretto trasferire automaticamente una condizione richiesta in un ordinamento nell’altro. Questi criteri servono a comprendere il problema economico-giuridico; la valutazione di una condotta concreta richiede l’esame dei fatti e delle regole applicabili.

Il dilemma del cartello

Imprese concorrenti possono aumentare il profitto complessivo restringendo la produzione o sostenendo un prezzo più alto. Il risultato collettivamente più redditizio non è però necessariamente un equilibrio: ciascuna impresa può avere interesse a vendere di più, lasciando che le altre continuino a limitarsi. Il dilemma del cartello nasce da questa divergenza tra guadagno congiunto e incentivo individuale.

La collusione può essere esplicita, attraverso accordi, oppure descrivere in economia un coordinamento tacito sostenuto dall’interazione ripetuta. La distinzione economica non deve essere confusa con un giudizio giuridico su un singolo comportamento. Prima di discutere la sostenibilità occorre identificare tre profitti diversi: quello collusivo $\pi^{c}$, quello della migliore deviazione unilaterale $\pi^{D}$ e quello di punizione $\pi^{N}$. Usare il profitto complessivo al posto del profitto individuale altera il vincolo di incentivo.

Orizzonte finito e argomento di Selten

Supponiamo che un gioco venga ripetuto per un numero finito di periodi noto a tutti, che non esistano conseguenze successive e che il gioco di un singolo periodo abbia un unico equilibrio di Nash. Nell’ultimo periodo non resta alcuna punizione futura: si gioca l’equilibrio non cooperativo. Se l’ultimo esito è già determinato, anche il penultimo periodo non può influenzarlo, e lo stesso ragionamento procede all’indietro.

È il meccanismo di induzione a ritroso associato al risultato di Selten per la ripetizione finita e al paradosso della catena di negozi. Nelle condizioni indicate, la sola ripetizione non sostiene l’esito collusivo. Non significa che ogni relazione con una fine temporale escluda il coordinamento: informazione incompleta, reputazione, più equilibri del gioco di stadio, incertezza sulla fine o interazioni esterne al modello possono modificarne le conclusioni.

Orizzonte infinito o indefinito: il valore del futuro

Quando l’interazione non ha un ultimo periodo noto, una deviazione può ridurre i profitti futuri. Il fattore di sconto $0 \leq \delta < 1$ misura il peso attribuito al periodo successivo. Se il solo costo è il rinvio nel tempo a un tasso $r$, si può scrivere $\delta = 1/(1 + r)$. Se inoltre la relazione prosegue con probabilità costante $\rho$, indipendente dalle azioni, il fattore effettivo è $\delta = \rho/(1 + r)$.

Una strategia del grilletto (grim trigger) prescrive di cooperare finché nessuno devia e di tornare per sempre all’equilibrio non cooperativo dopo una deviazione osservata. Con osservabilità perfetta, il valore della cooperazione è $\pi^{c}/(1 - \delta)$. Deviando si ottiene $\pi^{D}$ subito e il profitto di punizione dal periodo successivo. Il vincolo è:

$$\frac{\pi^{c}}{1 - \delta} \geq \pi^{D} + \frac{\delta\pi^{N}}{1 - \delta}.$$

Quando $\pi^{D} > \pi^{c} > \pi^{N}$, questa condizione equivale a:

$$\delta \geq \delta^{\text{*}} = \frac{\pi^{D} - \pi^{c}}{\pi^{D} - \pi^{N}}.$$

La pazienza sostiene la cooperazione perché aumenta il peso della perdita futura. La minaccia deve però essere credibile: tornare a un equilibrio di Nash del gioco di stadio soddisfa questo requisito nel modello di base. Osservare imperfettamente prezzi, vendite o shock di domanda rende il problema più complesso, poiché un calo delle vendite può essere scambiato per una deviazione.

Esempio guidato: collusione in Bertrand e in Cournot

Con domanda $P = 14 - Q$ e costo marginale 2, il profitto congiunto è $(12 - Q)Q$. Il massimo si trova in $Q^{M} = 6$, prezzo 8 e profitto totale 36. Una divisione simmetrica assegna 18 a ciascuna impresa.

Se le imprese competono sui prezzi, una deviazione appena sotto 8 consente di catturare quasi tutto il mercato e ottenere un profitto arbitrariamente vicino a 36. La punizione Bertrand produce prezzo 2 e profitto zero. Il vincolo diventa $18/(1 - \delta) \geq 36$, dunque $\delta \geq 1/2$.

Se invece competono sulle quantità, in Cournot ciascuna produce 4 e guadagna 16. L’accordo assegna 3 unità a ciascuna; contro una rivale che produce 3, la migliore deviazione è $q_{i}^{D} = (12 - 3)/2 = 4,5$. Il prezzo è 6,5 e il profitto del deviante è 20,25. Di conseguenza:

$$\delta^{\text{*}} = \frac{20,25 - 18}{20,25 - 16} = \frac{9}{17} \simeq 0,5294.$$

In questi dati la collusione richiede meno pazienza in Bertrand. Il guadagno immediato della deviazione è maggiore, ma la punizione è molto più severa. Non basta confrontare la tentazione di deviare: occorre confrontarla con ciò che si perderebbe in futuro. Il risultato non è una graduatoria generale tra tutti i mercati di prezzo e di quantità.

Punizioni di durata limitata

Una punizione può durare $T$ periodi, dopo i quali si riprende la cooperazione. Se la deviazione avviene oggi, il valore corrispondente è:

$$V^{D} = \pi^{D} + \pi^{N}\frac{\delta\left( 1 - \delta^{T} \right)}{1 - \delta} + \frac{\delta^{T + 1}\pi^{c}}{1 - \delta}.$$

Il primo termine è il profitto immediato, il secondo raccoglie i $T$ periodi di punizione e il terzo è il ritorno alla collusione. Nel confronto $V^{c} \geq V^{D}$ bisogna specificare anche cosa accade a eventuali nuove deviazioni durante la punizione; una costruzione possibile riavvia il conteggio dei periodi punitivi. Quando la punizione utilizza l’equilibrio di Nash del gioco di stadio, rinviare il ritorno a profitti più alti non crea un incentivo a deviare.

Nell’esempio precedente, per Bertrand il vincolo si riduce a $2\delta - \delta^{T + 1} \geq 1$; per Cournot diventa $4,25\delta - 2\delta^{T + 1} \geq 2,25$. Per $T = 5$ i fattori critici sono rispettivamente 0,50866 e 0,54124. Sono maggiori dei valori con punizione perpetua, perché la perdita futura dura meno.

Con una sola fase di punizione, $T = 1$, nessuno dei due schemi sostiene la collusione per $\delta < 1$. Nel caso Bertrand la condizione equivale a $(1 - \delta)^{2} \leq 0$; nel caso Cournot il vantaggio massimo della minaccia resta insufficiente nell’intervallo ammissibile. Prolungare la punizione ne aumenta l’efficacia, ma una durata finita non va trattata come equivalente a una minaccia permanente.

Esempio guidato: due compagnie di trasporto

Consideriamo $P = 1.900 - 10Q$ e costo marginale 100. Le funzioni di reazione sono $q_{i} = 90 - q_{j}/2$. In Cournot ciascuna impresa produce 60, il prezzo è 700 e il profitto individuale è 36.000. Il monopolio congiunto produce 90 al prezzo 1.000, per un profitto di 81.000, cioè 40.500 a ciascuna se la quantità viene ripartita equamente.

Contro una rivale che produce 45, la migliore risposta è $90 - 45/2 = 67,5$. La quantità complessiva sale a 112,5, il prezzo scende a 775 e il deviante ottiene $(775 - 100)67,5 = 45.562,5$. Il fattore critico è ancora $9/17$: con $\delta = 0,5$ la collusione non è sostenibile mediante ritorno perpetuo a Cournot.

Una matrice ridotta alle sole quantità 45 e 67,5 non è equivalente al gioco originario, che ammette tutte le quantità non negative. In quella matrice, quando la rivale produce 67,5, produrre 45 oppure 67,5 dà in entrambi i casi 30.375. Ne derivano tre equilibri puri del gioco ristretto: entrambe a 67,5, oppure una a 45 e l’altra a 67,5. Nel gioco continuo, invece, l’equilibrio di Cournot è $(60,60)$. La scelta delle azioni ammesse cambia il gioco e può cambiare il numero degli equilibri.

Folk Theorem: molti esiti possibili, non una previsione unica

Il Folk Theorem raccoglie risultati secondo cui, con imprese sufficientemente pazienti e sotto opportune condizioni, molti profili di profitto possono essere sostenuti in equilibrio nei giochi ripetuti. I profitti devono essere fattibili e rispettare vincoli di razionalità individuale collegati a ciò che gli altri giocatori possono imporre mediante punizioni, ossia al valore minmax.

Il messaggio è più ampio della possibilità di un cartello perfetto. L’interazione ripetuta può sostenere esiti con prezzi diversi, ripartizioni asimmetriche e punizioni differenti. Il teorema non afferma che le imprese colluderanno necessariamente, né seleziona un unico prezzo osservabile. Per una previsione concreta servono informazioni su monitoraggio, coordinamento delle aspettative, ingresso, domanda e strategie effettivamente disponibili.

Fattori che possono facilitare la collusione

La struttura del mercato influenza i tre elementi del vincolo di incentivo: profitto cooperativo, guadagno da deviazione e perdita futura. Una maggiore concentrazione può ridurre il numero dei soggetti da coordinare e aumentare la quota di profitto che ciascuno perderebbe. Nel Bertrand simmetrico con $n$ imprese, divisione uniforme del profitto di monopolio e punizione a profitto zero, il vincolo è $\delta \geq 1 - 1/n$. È una conseguenza del modello, non una relazione universale tra indice HHI e probabilità di collusione.

Barriere all’ingresso possono proteggere i profitti futuri da nuovi concorrenti. Domanda stabile e prezzi osservabili possono rendere più semplice riconoscere le deviazioni. Ordini frequenti e relativamente piccoli, rispetto a ordini rari molto grandi, possono accorciare il tempo entro cui una deviazione viene punita. Imprese simili possono trovare più semplice concordare una ripartizione, mentre differenze nei costi o nella crescita desiderata possono rendere meno allineati gli interessi.

I contatti su più mercati possono estendere la punizione: un’impresa che devia in un mercato rischia reazioni anche altrove. L’effetto non è automatico. Se tutti i mercati sono perfettamente identici e simmetrici, moltiplicare tanto i guadagni della deviazione quanto le perdite della punizione per lo stesso numero può lasciare immutato il vincolo. Il coordinamento multimercato diventa particolarmente rilevante quando permette di compensare asimmetrie o di collegare mercati con incentivi diversi.

Teorema dell’indistinguibilità e identificazione della condotta

L’espressione teorema dell’indistinguibilità richiama un problema di identificazione: prezzi e quantità osservati possono essere compatibili con condotte diverse quando domanda, costi o aspettative non sono pienamente conosciuti. La difficoltà di inferire un accordo dai soli risultati di mercato è discussa anche nella letteratura sull’accertamento delle condotte anticoncorrenziali. Non implica che ogni forma di prova sia inutile, né che concorrenza e collusione siano sempre indistinguibili.

Un esempio chiarisce il punto. Si osservino domanda $P = 14 - Q$, prezzo 8 e due imprese che vendono 3 ciascuna. Con costo marginale 2, questa è la ripartizione del monopolio congiunto già calcolata. Ma con costo marginale 5, le stesse quantità sono un equilibrio di Cournot: la migliore risposta a 3 è $(14 - 5 - 3)/2 = 3$. Gli stessi prezzi e le stesse quantità descrivono collusione in un modello e concorrenza non cooperativa nell’altro.

Se il costo non è conosciuto, l’osservazione del prezzo 8 non risolve il problema. Informazioni sui costi, variazioni della domanda, reazioni agli ingressi, documenti e comunicazioni possono invece restringere l’insieme delle spiegazioni. Il compito dell’analisi è costruire e confrontare scenari verificabili, non identificare automaticamente un cartello ogni volta che i prezzi sono elevati o si muovono insieme.

Fusioni orizzontali: effetti strategici e paradosso delle fusioni

Una fusione orizzontale unisce imprese che operano nello stesso livello della filiera e competono tra loro. La riduzione del numero di concorrenti può aumentare il potere di mercato; al tempo stesso, l’operazione può modificare i costi e la capacità produttiva. Per valutarne la convenienza privata e gli effetti sul mercato bisogna confrontare gli equilibri prima e dopo l’operazione, includendo la risposta delle imprese rimaste indipendenti.

Il paradosso delle fusioni emerge nel modello di Cournot con prodotto omogeneo, domanda lineare, costi marginali identici e assenza di efficienze. La fusione può essere non conveniente per i partecipanti anche se aumenta il prezzo: la nuova impresa restringe la propria produzione e i concorrenti esterni reagiscono espandendosi. Parte del beneficio del minor numero di operatori va quindi agli estranei alla fusione.

Con $n$ imprese, domanda $P = a - bQ$ e costo marginale $c$, poniamo $A = a - c$. Ogni impresa ottiene inizialmente $A^{2}/\lbrack b(n + 1)^{2}\rbrack$. Se $k$ imprese si fondono in una sola e mantengono il medesimo costo, restano $n - k + 1$ operatori. Il profitto della nuova impresa va confrontato con la somma dei profitti precedenti dei partecipanti:

$$\pi_{fusione} = \frac{A^{2}}{b(n - k + 2)^{2}},\quad\quad\pi_{prima,partecipanti} = \frac{kA^{2}}{b(n + 1)^{2}}.$$

L’operazione è redditizia, in questo modello, se $(n + 1)^{2} > k(n - k + 2)^{2}$. Il numero delle imprese coinvolte conta perché una fusione molto ampia internalizza più concorrenza rispetto a una piccola, lasciando meno operatori esterni in grado di appropriarsi del beneficio.

Esempio guidato: da tre imprese a due

Con $P = 140 - Q$ e costo marginale 20, tre imprese simmetriche producono 30 ciascuna; il prezzo è 50 e ogni profitto è 900. Se due si fondono senza ridurre i costi, il mercato diventa un duopolio simmetrico: ciascun operatore produce 40, il prezzo è 60 e il profitto è 1.600.

La nuova impresa ottiene 1.600 contro i 1.800 complessivi dei due partecipanti prima dell’operazione. L’impresa esterna passa invece da 900 a 1.600. I consumatori pagano di più e acquistano meno, mentre la fusione non conviene nemmeno ai suoi partecipanti. Un aumento del prezzo non garantisce che la fusione sia redditizia per chi la realizza.

Una riduzione dei costi può cambiare il risultato. Se il costo della nuova impresa diventa $20 - d$ e quello del concorrente resta 20, le quantità sono $q_{M} = 40 + 2d/3$ e $q_{R} = 40 - d/3$, purché entrambe positive. Il profitto della fusa è $(40 + 2d/3)^{2}$. Supera 1.800 per $d > 3,640$ circa. Questa è una soglia di convenienza privata nell’esempio, non una soglia di autorizzabilità della fusione: gli effetti su prezzi, quantità e consumatori richiedono una valutazione separata.

Valutazione antitrust delle concentrazioni

Gli indici di concentrazione sono strumenti preliminari, non sostituti dell’analisi. Per una fusione tra imprese con quote $s_{i}$ e $s_{j}$, mantenendo ferme le quote delle altre, l’incremento meccanico dell’HHI è $2s_{i}s_{j}$. Le quote successive all’equilibrio possono però cambiare e l’effetto economico non è riassunto da quel solo numero. Le fonti delle autorità distinguono la misurazione della struttura dall’esame degli effetti della concentrazione.

In termini economici, le efficienze possono derivare da economie di scala, complementarità degli impianti, minori duplicazioni o sinergie organizzative. Una diminuzione del costo marginale incide direttamente sugli incentivi di prezzo e produzione; un risparmio di costo fisso può aumentare il profitto senza produrre lo stesso effetto marginale. Va inoltre distinto ciò che nasce realmente dall’operazione da ciò che le imprese potrebbero ottenere separatamente. La letteratura sulle fusioni sottolinea questa distinzione tra tipi di economie e meccanismi con cui potrebbero raggiungere i consumatori.

Riferimento europeo al 1° ottobre 2026. La revisione delle linee guida sulle concentrazioni ha prodotto una bozza pubblicata il 30 aprile 2026, con consultazione conclusa il 26 giugno. La pagina della Commissione indica l’adozione finale come fase successiva del processo; la bozza non va presentata come disciplina definitiva già sostitutiva degli orientamenti orizzontali del 2004 e non orizzontali del 2008. Occorre distinguere il regolamento applicabile, gli orientamenti delle autorità e i documenti ancora in consultazione o revisione.

Relazioni verticali e doppia marginalizzazione

Una relazione è verticale quando collega livelli diversi della filiera: produttore e distributore, fornitore di un componente e assemblatore, titolare di un marchio e affiliato. Il comportamento di ciascuno influenza non soltanto i propri profitti, ma anche le vendite e gli incentivi dell’altro. La doppia marginalizzazione si verifica quando due imprese successive, entrambe dotate di potere di mercato, applicano separatamente un margine sul proprio costo.

Consideriamo domanda finale $P = a - bq$, produttore con costo marginale $c$ e dettagliante senza costi aggiuntivi. Il produttore fissa il prezzo all’ingrosso $w$; il dettagliante sceglie poi la quantità. Il dettagliante massimizza $(a - bq - w)q$ e quindi risponde con:

$$q(w) = \frac{a - w}{2b},\quad\quad P(w) = \frac{a + w}{2}.$$

Il produttore anticipa tale risposta e massimizza $(w - c)(a - w)/(2b)$. Ottiene $w^{\text{*}} = (a + c)/2$. La quantità finale è $(a - c)/(4b)$ e il prezzo al consumatore è $(3a + c)/4$. Un’impresa integrata, invece, massimizzerebbe direttamente $(a - bq - c)q$, producendo $(a - c)/(2b)$ al prezzo $(a + c)/2$.

L’integrazione abbassa il prezzo, aumenta le vendite e aumenta il profitto complessivo nelle ipotesi considerate. Non porta però alla concorrenza perfetta: il prezzo integrato resta superiore al costo marginale. Eliminare il secondo margine corregge una distorsione, non tutte le distorsioni del mercato.

Esempio guidato: produzione e distribuzione di calzature

Con $P = 80 - 4q$ e costo di produzione 16, il dettagliante sceglie $q = (80 - w)/8$. Il produttore massimizza $(w - 16)(80 - w)/8$, ottenendo $w = 48$. Il dettagliante vende 4 unità al prezzo 64. I profitti sono 128 per il produttore e 64 per il dettagliante, per un totale di 192.