1.1 Modelli economici

Un modello economico è una rappresentazione semplificata della realtà. Non cerca di riprodurre ogni dettaglio, ma isola i meccanismi causali essenziali.

Le variabili endogene sono determinate all'interno del modello; le variabili esogene sono prese come date. Nella domanda e offerta, prezzo e quantità di equilibrio sono tipicamente endogeni, mentre reddito, tecnologia, prezzi di altri beni e norme possono essere esogeni.

Il valore di un modello dipende dalla sua capacità di spiegare, confrontare scenari e produrre previsioni controllabili, non dal realismo letterale di ogni ipotesi.

Nota: Errore frequente: confondere 'semplificato' con 'falso'. Un modello è utile proprio perché omette ciò che non è rilevante per la domanda analizzata.

1.2 Ottimizzazione e vincoli

Gran parte della microeconomia può essere letta come una sequenza di problemi di ottimizzazione sotto vincolo.

Il consumatore massimizza l'utilità dato il reddito e i prezzi; l'impresa minimizza il costo per produrre un dato output oppure massimizza il profitto dato il prezzo o la domanda che fronteggia.

Le condizioni di primo ordine sono strumenti matematici; l'interpretazione economica resta centrale: all'ottimo, il beneficio marginale di una scelta deve essere coerente con il suo costo marginale.

Forma generale: max_x f(x) soggetto a g(x) ≤ b

1.3 Marginale, medio e totale

Il termine marginale indica l'effetto di una variazione infinitesima o di una unità aggiuntiva. Il termine medio indica un rapporto per unità. Il totale è la grandezza complessiva.

Se una funzione è differenziabile, il valore marginale è rappresentato dalla derivata. Ad esempio MC(q)=dC(q)/dq, MR(q)=dTR(q)/dq, MU_x=∂U/∂x.

Molte condizioni di ottimo sono uguaglianze tra grandezze marginali: P=MC in concorrenza perfetta; MR=MC nel monopolio; MRS=p_x/p_y nella scelta interna del consumatore.

2.1 Domanda diretta e inversa

La domanda diretta esprime la quantità domandata come funzione del prezzo; la domanda inversa esprime il prezzo massimo coerente con ciascuna quantità.

Con una domanda lineare Q_D=a-bP, con b>0, l'inversa è P=(a-Q)/b. Il segno negativo della relazione riflette la legge della domanda, a parità degli altri fattori.

Uno spostamento lungo la curva è causato da una variazione del prezzo del bene. Uno spostamento dell'intera curva è causato da variabili diverse dal prezzo: reddito, gusti, aspettative e prezzi di beni collegati.

Q_D = a - bP, b>0 ⇔ P(Q)=a/b - Q/b

2.2 Offerta

La curva di offerta descrive la quantità che i venditori sono disposti a produrre e vendere a ogni prezzo.

Una forma lineare è Q_S=c+dP, con d>0. A parità di tecnologia e costi, un prezzo maggiore rende profittevoli unità addizionali.

Costi degli input, tecnologia, imposte e numero di imprese spostano la curva di offerta.

Q_S = c + dP, d>0

2.3 Equilibrio

L'equilibrio concorrenziale di mercato si trova imponendo uguaglianza tra quantità domandata e quantità offerta.

Se Q_D>Q_S si ha eccesso di domanda, che esercita pressione al rialzo sul prezzo; se Q_S>Q_D si ha eccesso di offerta, che esercita pressione al ribasso.

La statica comparata confronta due equilibri prima e dopo una variazione esogena, senza descrivere necessariamente il percorso temporale di aggiustamento.

Equilibrio: Q_D(P*) = Q_S(P*) → P*; poi Q*=Q_D(P*)

2.4 Esempio lineare

Dati. Q_D=150-2P; Q_S=−6+P.

Procedimento. Uguagliare 150-2P=−6+P. Si ottiene 156=3P e quindi P*=52. Sostituendo: Q*=46.

Risultato. Equilibrio: P*=52, Q*=46.

3.1 Elasticità-prezzo della domanda

L'elasticità-prezzo puntuale della domanda confronta la variazione percentuale della quantità con la variazione percentuale del prezzo.

Per una domanda differenziabile Q(P), ε_D=(dQ/dP)(P/Q). Di norma è negativa. In valore assoluto, |ε_D|>1 indica domanda elastica; |ε_D|<1 domanda inelastica; |ε_D|=1 elasticità unitaria.

L'elasticità dipende sia dalla pendenza sia dal punto della curva. Su una domanda lineare la pendenza è costante, ma l'elasticità varia lungo la curva.

3.2 Elasticità e ricavo totale

Il ricavo totale è TR=P·Q(P). La relazione tra ricavi e prezzo dipende dall'elasticità della domanda.

Se la domanda è elastica, un aumento di prezzo riduce il ricavo totale; se è inelastica, un aumento di prezzo lo aumenta. Con elasticità unitaria il ricavo totale è localmente massimo lungo una domanda lineare.

Questo risultato è fondamentale per monopolio, pricing e analisi dell'incidenza delle variazioni di prezzo.

dTR/dP = Q[1 + ε_D] → TR massimo quando ε_D = −1

3.3 Elasticità al reddito e incrociata

L'elasticità al reddito misura la risposta della quantità domandata al reddito. Un valore positivo identifica un bene normale; negativo un bene inferiore.

L'elasticità incrociata misura la risposta della domanda di x al prezzo di y. È positiva per sostituti, negativa per complementari e prossima a zero per beni indipendenti.

Queste elasticità aiutano a delimitare il mercato rilevante e a classificare i beni.

ε_M = (dQ/dM)(M/Q) ε_xy = (∂Q_x/∂P_y)(P_y/Q_x)

3.4 Esempio di elasticità puntuale

Dati. Q=160-2P.

Procedimento. dQ/dP=−2. A P=60, Q=40, quindi ε=−2·60/40=−3. A P=40, Q=80, quindi ε=−2·40/80=−1.

Risultato. La stessa curva è elastica nel primo punto e unitaria nel secondo.

4.1 Insieme e linea di bilancio

Con due beni x e y, prezzi p_x e p_y e reddito m, un paniere è accessibile se la sua spesa non supera il reddito.

La linea di bilancio contiene i panieri che esauriscono il reddito. Risolvendo per y si ottengono intercetta verticale m/p_y, intercetta orizzontale m/p_x e pendenza −p_x/p_y.

La pendenza è il costo opportunità di x espresso in unità di y: acquistare una unità aggiuntiva di x richiede rinunciare a p_x/p_y unità di y.

4.2 Variazioni di reddito e prezzo

Una variazione del reddito sposta parallelamente la retta perché non cambia il rapporto tra i prezzi.

Una variazione di un solo prezzo ruota la retta attorno all'intercetta dell'altro bene. Se entrambi i prezzi cambiano nella stessa proporzione, il vincolo si sposta parallelamente.

Prezzi e reddito contano solo in termini reali: moltiplicare contemporaneamente tutti i prezzi e il reddito per lo stesso fattore non modifica l'insieme di bilancio.

4.3 Tasse, sussidi, voucher e sconti quantità

Una tassa specifica su x aumenta il prezzo effettivo a p_x+t; una tassa ad valorem con aliquota τ lo porta a p_x(1+τ). Un sussidio produce l'effetto opposto.

Un voucher vincolato amplia l'insieme di scelta soltanto per il bene agevolato; uno sconto quantità rende il vincolo spezzato, perché il prezzo marginale cambia oltre una soglia.

Questi strumenti mostrano che il vincolo può essere non lineare e che l'ottimo può trovarsi in un punto angoloso.

Tassa specifica: (p_x+t)x + p_y y = m

Tassa ad valorem: p_x(1+τ)x + p_y y = m

5.1 Assiomi

Completezza significa che il consumatore può confrontare ogni coppia di panieri; riflessività che ogni paniere è almeno tanto desiderabile quanto sé stesso; transitività che l'ordinamento è coerente.

La non sazietà locale implica, per beni desiderabili, che 'di più è meglio'. La convessità delle preferenze esprime una preferenza per combinazioni bilanciate rispetto agli estremi.

Queste ipotesi consentono di rappresentare le preferenze con curve di indifferenza e, sotto condizioni regolari, con una funzione di utilità.

5.2 Curve di indifferenza

Una curva di indifferenza contiene tutti i panieri che forniscono lo stesso livello di soddisfazione.

Con due beni desiderabili le curve sono decrescenti, non si intersecano e curve più lontane dall'origine rappresentano livelli preferiti. La convessità verso l'origine riflette MRS decrescente.

Con un male la pendenza può essere positiva; con un bene neutrale le curve possono essere verticali o orizzontali a seconda del bene irrilevante.

5.3 Saggio marginale di sostituzione

Il MRS misura quante unità di y il consumatore è disposto a cedere per ottenere una unità addizionale di x mantenendo invariata l'utilità.

Formalmente è il valore assoluto della pendenza della curva di indifferenza. Se l'utilità è differenziabile, MRS_xy=MU_x/MU_y.

Un MRS decrescente significa che, accumulando x e perdendo y, il consumatore è disposto a sacrificare quantità via via minori di y per altro x.

6.1 Utilità ordinale

Se U(A)>U(B), il paniere A è preferito a B. Il valore numerico non misura 'quanto' A sia migliore.

Qualunque trasformazione strettamente crescente f(U) rappresenta le stesse preferenze. Per questo funzioni numericamente diverse possono descrivere la stessa mappa di indifferenza.

Le formule di domanda dipendono dall'ordinamento, non dalla scala numerica dell'utilità.

6.2 Utilità marginale

L'utilità marginale di x è la derivata parziale della funzione di utilità rispetto a x, tenendo fissi gli altri beni.

Lungo una curva di indifferenza dU=MU_x dx + MU_y dy=0; da qui segue dy/dx=−MU_x/MU_y.

La relazione collega il linguaggio delle preferenze con il calcolo differenziale e consente di costruire la condizione di tangenza.

MU_x = ∂U/∂x, MU_y = ∂U/∂y, dU = MU_x dx + MU_y dy

6.3 Funzioni di utilità ricorrenti

Le Cobb-Douglas U=x^α y^β, con α,β>0, generano preferenze convesse e quote di spesa stabili. I perfetti sostituti possono essere rappresentati da U=ax+by. I perfetti complementi da U=min{x/a, y/b}.

Per Cobb-Douglas, MRS=(α/β)(y/x). Per perfetti sostituti il MRS è costante. Per complementi l'ottimo tende a stare sul gomito della curva.

Riconoscere la forma della funzione è spesso il modo più rapido per scegliere il metodo di soluzione.

7.1 Soluzione interna

Con preferenze regolari e soluzione interna, l'ottimo è una tangenza tra curva di indifferenza e retta di bilancio.

La condizione MRS=p_x/p_y uguaglia il tasso soggettivo di scambio al tasso di scambio di mercato. In forma equivalente MU_x/p_x=MU_y/p_y.

Questa condizione deve essere utilizzata insieme al vincolo di bilancio; da sola non determina le quantità.

7.2 Metodo di Lagrange

Il problema max U(x,y) soggetto a p_x x+p_y y=m può essere scritto con una funzione lagrangiana.

Le condizioni di primo ordine sono U_x=λp_x, U_y=λp_y e il vincolo. Dividendo le prime due si ottiene il MRS.

Il moltiplicatore λ è interpretabile come utilità marginale del reddito: quanto aumenta l'utilità massima per un euro addizionale di reddito.

L = U(x,y) + λ[m - p_x x - p_y y]

FOC: U_x=λp_x ; U_y=λp_y ; p_x x+p_y y=m

7.3 Soluzioni d'angolo

La tangenza non è sempre applicabile. Con perfetti sostituti o vincoli non lineari, il consumatore può scegliere solo uno dei beni o un punto di spigolo.

Occorre confrontare utilità marginale per euro o valutare direttamente i candidati ammissibili.

Un algoritmo corretto deve sempre controllare non negatività e fattibilità, non limitarsi alle FOC.

7.4 Cobb-Douglas simmetrica

Dati. U=xy, m=200, p_x=4, p_y=2.

Procedimento. MRS=y/x=4/2=2, quindi y=2x. Nel vincolo 4x+2(2x)=200, quindi 8x=200.

Risultato. x*=25, y*=50.

8.1 Domanda marshalliana

La domanda marshalliana x(p_x,p_y,m) massimizza l'utilità dato il reddito nominale.

Per U=x^α y^β, la quota di reddito destinata a x è α/(α+β) e quella destinata a y è β/(α+β).

Queste domande sono omogenee di grado zero in prezzi e reddito: moltiplicare tutti per lo stesso fattore non cambia le quantità.

8.2 Curva prezzo-consumo e curva di domanda

Variando p_x e ricalcolando l'ottimo si ottiene la curva prezzo-consumo. Proiettando le quantità ottimali di x nello spazio prezzo-quantità si ottiene la curva di domanda individuale.

La curva reddito-consumo nasce variando m; da essa si ricava la curva di Engel, che mette in relazione reddito e quantità domandata.

Per beni normali la curva di Engel è crescente; per beni inferiori può piegarsi all'indietro oltre una certa soglia.

8.3 Aggregazione

La domanda di mercato è la somma orizzontale delle domande individuali: a ogni prezzo si sommano le quantità.

Se alcuni consumatori hanno prezzi di riserva diversi, la funzione aggregata può essere a tratti.

La somma orizzontale è concettualmente distinta dalla somma verticale, usata tipicamente per beni pubblici.

Q_D(P) = Σ_i q_i(P)

9.1 Decomposizione

L'effetto di sostituzione isola la risposta dovuta alla variazione dei prezzi relativi mantenendo costante un livello di benessere o potere d'acquisto compensato.

L'effetto reddito cattura la variazione residua dovuta al cambiamento del reddito reale.

Per una riduzione di p_x, l'effetto di sostituzione aumenta sempre la domanda di x; l'effetto reddito aumenta x se x è normale e la riduce se x è inferiore.

Variazione totale = effetto di sostituzione + effetto reddito

9.2 Hicks e Slutsky

La decomposizione di Hicks mantiene costante l'utilità iniziale; quella di Slutsky mantiene acquistabile il paniere iniziale.

Le due misure sono diverse ma condividono l'idea di separare il cambiamento relativo dei prezzi dall'effetto di potere d'acquisto.

Per piccole variazioni di prezzo le due decomposizioni risultano molto vicine.

9.3 Bene di Giffen

Un bene di Giffen è un bene inferiore per il quale l'effetto reddito opposto domina l'effetto di sostituzione.

In tal caso un aumento del prezzo può aumentare la quantità domandata, violando la legge ordinaria della domanda.

È un caso teoricamente possibile ma richiede condizioni forti: bene inferiore, quota rilevante di bilancio e assenza di sostituti sufficientemente vicini.

Nota: Non tutti i beni inferiori sono beni di Giffen. Il bene di Giffen è un sottoinsieme molto particolare dei beni inferiori.

10.1 Lavoro e tempo libero

Un individuo dispone di una dotazione totale di tempo T, divisa tra lavoro N e tempo libero L=T-N.

Con salario w e reddito non da lavoro M, il consumo è c=M+wN=M+w(T-L). Il salario è il costo opportunità di un'ora di tempo libero.

Un aumento del salario genera un effetto di sostituzione verso più lavoro e un effetto reddito verso più tempo libero se quest'ultimo è normale; l'offerta di lavoro può quindi piegarsi all'indietro.

c + wL = M + wT

10.2 Scelta intertemporale

Con due periodi, il consumatore confronta consumo presente e futuro. Il tasso di interesse determina il prezzo relativo del consumo nei due periodi.

Se il reddito è y₁ oggi e y₂ domani, il valore attuale della dotazione è y₁+y₂/(1+r). Il vincolo può essere espresso in valore presente.

Un aumento di r rende relativamente più costoso consumare oggi, ma l'effetto reddito dipende dal fatto che il soggetto sia risparmiatore o debitore netto.

10.3 Introduzione all'incertezza

Quando gli esiti sono incerti, un paniere può essere rappresentato come consumo contingente nei diversi stati del mondo.

La scelta dipende da probabilità, ricchezza nei diversi stati e attitudine al rischio. La funzione di utilità attesa verrà ripresa in un capitolo dedicato.

Questa estensione prepara l'analisi di assicurazioni, selezione avversa e azzardo morale.

11.1 Breve e lungo periodo

Nel breve periodo almeno un input è fisso; nel lungo periodo tutti gli input sono variabili.

La distinzione non è cronologica in senso assoluto: dipende dal tempo necessario per modificare impianti, capitale, contratti e organizzazione.

La funzione di produzione q=f(L,K) descrive l'output massimo ottenibile da lavoro L e capitale K con la tecnologia disponibile.

q = f(L,K)

11.2 Tecnologia efficiente

Una combinazione di input è tecnicamente efficiente se non è possibile ridurre un input senza ridurre l'output, a parità degli altri.

L'impresa razionale sceglie sulla frontiera tecnologica, perché input sprecati aumentano il costo senza generare output.

La tecnologia è distinta dai prezzi degli input: la prima dice cosa è fisicamente possibile, i secondi quale combinazione è economicamente conveniente.

11.3 Forme funzionali

Una Cobb-Douglas produttiva q=A L^α K^β è flessibile e consente di leggere facilmente prodotti marginali e rendimenti di scala.

Perfetti sostituti produttivi possono essere rappresentati da q=aL+bK; perfetti complementi da q=min{L/a,K/b}.

La forma della tecnologia determina la geometria degli isoquanti e quindi la soluzione del problema di costo.

Cobb-Douglas: q = A L^α K^β

12.1 Prodotto marginale

Il prodotto marginale del lavoro MPL misura l'incremento di output ottenuto da una unità addizionale di lavoro.

In forma continua MPL=∂q/∂L. La legge dei rendimenti marginali decrescenti afferma che, oltre una certa soglia, aggiungere lavoro a capitale fisso produce incrementi via via minori.

La legge riguarda il prodotto marginale, non necessariamente il prodotto totale: quest'ultimo può continuare a crescere mentre cresce a ritmo decrescente.

12.2 Prodotto medio

Il prodotto medio del lavoro è APL=q/L. Confrontare MPL e APL consente di stabilire la dinamica della media.

Se MPL>APL, l'unità marginale è più produttiva della media e APL cresce; se MPL<APL, APL diminuisce.

MPL interseca APL nel punto di massimo di APL, come accade in generale tra grandezza marginale e media.

13.1 Isoquanto

Un isoquanto q̄ contiene tutte le combinazioni (L,K) tali che f(L,K)=q̄.

Con input produttivi è decrescente; con sostituibilità imperfetta è tipicamente convesso verso l'origine.

Isoquanti più lontani dall'origine rappresentano livelli di produzione più elevati.

13.2 Saggio marginale di sostituzione tecnica

Lo SMST o MRTS misura quanto capitale può essere ridotto aumentando il lavoro di una unità, mantenendo costante l'output.

Dalla differenziale dq=MPL dL+MPK dK=0 segue MRTS_LK=MPL/MPK in valore assoluto.

La convessità degli isoquanti corrisponde a MRTS decrescente: più lavoro si usa, meno capitale si può sostituire con un'ulteriore unità di lavoro.

13.3 Rendimenti di scala

I rendimenti di scala confrontano come varia l'output quando tutti gli input aumentano nella stessa proporzione.

Se f(tL,tK)>t f(L,K) si hanno rendimenti crescenti; se uguale, costanti; se minore, decrescenti.

Per Cobb-Douglas A L^α K^β, la somma α+β determina i rendimenti di scala.

Cobb-Douglas: α+β >1 crescenti; =1 costanti; <1 decrescenti

14.1 Isocosto

Con salario w e costo del capitale r, il costo totale è C=wL+rK.

Una retta di isocosto contiene combinazioni di input con lo stesso costo: K=C/r-(w/r)L. La pendenza è −w/r.

Spostando l'isocosto parallelamente verso l'origine si cercano combinazioni sempre meno costose compatibili con l'isoquanto desiderato.

C = wL + rK

14.2 Condizione di tangenza

Per una soluzione interna con isoquanti regolari, la minimizzazione richiede MRTS=w/r.

Equivalentemente MPL/w=MPK/r: l'ultimo euro speso in ciascun input deve generare lo stesso prodotto marginale.

Se questa uguaglianza non vale, l'impresa può ridurre il costo riallocando spesa verso l'input con maggiore prodotto marginale per euro.

14.3 Domande condizionali e funzione di costo

Le quantità ottimali L*(q,w,r) e K*(q,w,r) sono domande condizionali di fattori: dipendono dall'output che si vuole produrre.

Sostituendole in wL+rK si ottiene la funzione di costo C(q,w,r).

Questa funzione riassume tecnologia e prezzi dei fattori ed è il ponte tra teoria della produzione e offerta dell'impresa.

C(q,w,r)=wL*(q,w,r)+rK*(q,w,r)

15.1 Costi totali, fissi e variabili

Il costo totale è TC(q)=FC+VC(q). I costi fissi non dipendono dall'output; i costi variabili sì.

Il costo medio totale è ATC=TC/q, il costo medio variabile AVC=VC/q, il costo medio fisso AFC=FC/q.

AFC diminuisce sempre all'aumentare di q; la forma di AVC e ATC dipende dalla produttività degli input variabili.

TC=FC+VC ; ATC=TC/q ; AVC=VC/q ; AFC=FC/q

15.2 Costo marginale

Il costo marginale MC=dTC/dq=dVC/dq misura il costo dell'unità addizionale.

MC interseca AVC e ATC nei rispettivi minimi. Se MC è sotto la media la trascina verso il basso; se è sopra la spinge verso l'alto.

La relazione tra prodotto marginale e costo marginale è inversa quando il salario è costante: maggiore produttività marginale implica minore costo marginale.

16.1 Costo medio di lungo periodo

Il costo medio di lungo periodo LRAC è l'inviluppo inferiore dei costi medi di breve periodo associati a impianti diversi.

Per ogni livello di output l'impresa sceglie la scala che consente il costo minimo.

La forma di LRAC riflette economie e diseconomie di scala, tecnologia e indivisibilità.

16.2 Economie di scala

Si hanno economie di scala quando il costo medio diminuisce con l'output; diseconomie quando aumenta.

Le economie possono derivare da specializzazione, indivisibilità, rete e migliore utilizzo di input fissi; le diseconomie da complessità organizzativa e coordinamento.

La scala efficiente minima è il livello di output al quale il costo medio raggiunge il minimo.

Economia di scala: dAC/dq < 0 ; diseconomia: dAC/dq > 0

16.3 Subadditività

Una funzione di costo è subadditiva quando produrre con una sola impresa costa meno che suddividere la stessa produzione tra più imprese.

La subadditività è il criterio economico più preciso alla base del monopolio naturale.

Costi medi decrescenti su un ampio intervallo sono una condizione frequente ma non l'unica possibile.

17.1 Profitto economico

Il profitto è π(q)=TR(q)-TC(q). I costi economici comprendono anche costi opportunità del capitale e del lavoro dell'imprenditore.

Per questo profitto economico nullo non significa che l'impresa 'non guadagni nulla': significa che remunera normalmente tutti i fattori.

La condizione marginale generale è MR=MC, purché il punto sia un massimo e l'attività sia preferibile alla chiusura.

π(q)=TR(q)-TC(q) ; FOC: MR(q)=MC(q)

17.2 Impresa price-taker

In concorrenza perfetta l'impresa prende P come dato, quindi TR=Pq e MR=P.

La condizione di massimo diventa P=MC sul tratto crescente del costo marginale.

Nel breve periodo l'impresa produce solo se P≥AVC_min; nel lungo periodo resta nel mercato solo se può coprire il costo medio totale.

Price-taker: MR=P → P=MC

17.3 Curva di offerta individuale

La curva di offerta di breve periodo dell'impresa concorrenziale coincide con il tratto di MC sopra il minimo di AVC.

Sotto il prezzo di chiusura l'offerta è zero.

La curva di offerta è quindi una conseguenza della massimizzazione del profitto e non una relazione arbitraria.

q_S(P): MC(q)=P se P≥min AVC; q=0 altrimenti

18.1 Ipotesi

Le condizioni tipiche includono molti compratori e venditori, prodotto omogeneo, informazione sufficiente, assenza di potere di mercato e, nella versione di lungo periodo, libertà di entrata e uscita.

L'impresa fronteggia una domanda perfettamente elastica al prezzo di mercato.

Il prezzo è determinato dall'intersezione tra domanda e offerta di mercato, mentre la singola impresa sceglie q con P=MC.

18.2 Profitto, perdita e shutdown

Nel breve periodo il profitto può essere positivo, nullo o negativo.

Se P≥AVC l'impresa continua a produrre perché copre i costi variabili e contribuisce almeno in parte ai costi fissi. Se P<AVC_min conviene chiudere temporaneamente.

La perdita in produzione può essere inferiore al costo fisso irrecuperabile; questo spiega perché un'impresa può produrre anche in perdita economica.

π=(P-ATC)q

18.3 Offerta di mercato

Con numero di imprese dato, l'offerta di mercato è la somma orizzontale delle offerte individuali.

Se le imprese sono identiche e ognuna offre q(P), con n imprese l'offerta è Q_S=nq(P).

La distribuzione dell'efficienza tra imprese può rendere l'offerta aggregata a tratti.

19.1 Processo di entrata e uscita

Profitti positivi attirano nuove imprese, spostando l'offerta di mercato verso destra e riducendo il prezzo.

Perdite provocano uscita, spostando l'offerta verso sinistra e aumentando il prezzo.

Con imprese identiche e costi costanti, l'equilibrio di lungo periodo soddisfa P=min AC e ciascuna impresa produce alla scala efficiente.

Lungo periodo concorrenziale: P = MC = min AC ; π=0

19.2 Domanda e aggiustamento

Un aumento permanente della domanda genera inizialmente un aumento di prezzo e profitti.

L'entrata di imprese espande l'offerta finché il prezzo torna al costo medio minimo, mentre la quantità di mercato resta maggiore e il numero di imprese aumenta.

Con costi di settore crescenti o decrescenti, il prezzo di lungo periodo può invece cambiare.

19.3 Significato del profitto zero

Il profitto economico nullo remunera tutti i fattori ai loro costi opportunità.

È diverso dal profitto contabile, che può essere positivo perché non sottrae sempre tutti i costi impliciti.

Questa distinzione evita l'errore di interpretare l'equilibrio competitivo come economicamente privo di remunerazione.

20.1 Surplus del consumatore

Il surplus del consumatore è la differenza tra disponibilità a pagare e spesa effettiva.

Graficamente è l'area sotto la curva di domanda e sopra il prezzo, fino alla quantità scambiata.

In una domanda lineare può essere calcolato come area di un triangolo.

20.2 Surplus del produttore

Il surplus del produttore è la differenza tra ricavi e costo evitabile di produzione.

Graficamente è l'area sopra la curva di offerta e sotto il prezzo. Se non vi sono costi fissi, coincide con il profitto; con costi fissi ne differisce.

La somma CS+PS misura il surplus totale in assenza di ulteriori effetti esterni.

20.3 Efficienza allocativa e Pareto

Un'allocazione è allocativamente efficiente quando si producono tutte e sole le unità il cui beneficio marginale è almeno pari al costo marginale.

In un mercato concorrenziale ideale P riflette sia disponibilità marginale a pagare sia costo marginale, quindi P=MC implementa la quantità efficiente.

Un'allocazione è Pareto efficiente se non è possibile migliorare almeno un soggetto senza peggiorarne un altro.

Efficienza allocativa: MB(Q*) = MC(Q*)

21.1 Imposta specifica e incidenza

Una tassa per unità crea un cuneo tra prezzo pagato dai consumatori P_C e prezzo ricevuto dai produttori P_P.

La quantità si riduce fino al punto in cui P_C-P_P=t. L'incidenza economica non dipende da chi versa formalmente la tassa, ma dalle elasticità relative.

Il lato meno elastico del mercato sopporta una quota maggiore dell'onere perché modifica meno la quantità in risposta al prezzo.

Cuneo fiscale: P_C - P_P = t

21.2 Gettito e perdita secca

Il gettito è t·Q_t. La perdita secca è surplus totale perso a causa delle transazioni efficienti che non avvengono più.

Con curve lineari, la DWL è approssimabile come 1/2·t·ΔQ.

La perdita cresce più che proporzionalmente con l'aliquota quando la base imponibile reagisce.

Gettito = tQ_t ; DWL ≈ 1/2 · t · (Q₀−Q_t)

21.3 Prezzo minimo

Un prezzo minimo vincolante è posto sopra il prezzo di equilibrio e genera eccesso di offerta.

La quantità effettivamente scambiata è limitata dal lato corto del mercato, tipicamente la domanda.

Può trasferire surplus verso produttori non razionati ma genera perdita secca e problemi di allocazione tra offerenti.

21.4 Prezzo massimo

Un prezzo massimo vincolante è posto sotto l'equilibrio e genera eccesso di domanda.

Possono emergere razionamento non di prezzo, code, mercati neri e deterioramento della qualità.

Il prezzo monetario più basso non implica automaticamente maggiore benessere per tutti i consumatori.

22.1 Ricavo marginale

Per vendere una quantità maggiore il monopolista deve generalmente ridurre il prezzo anche sulle unità inframarginali.

Per questo MR è inferiore al prezzo. Con domanda inversa lineare P=a-bQ, TR=aQ-bQ² e MR=a-2bQ.

La distanza tra domanda e MR è il meccanismo centrale che genera Q monopolistica più bassa e prezzo più alto rispetto alla concorrenza.

P=a-bQ → TR=aQ-bQ² → MR=a-2bQ

22.2 Scelta ottima

Il monopolista sceglie Q imponendo MR=MC e poi legge il prezzo sulla curva di domanda.

Non si deve imporre P=MC: questa è la condizione competitiva, non monopolistica.

Il markup dipende dall'elasticità della domanda: maggiore potere di mercato è possibile dove la domanda è meno elastica.

Monopolio: MR(Q_M)=MC(Q_M); P_M=P(Q_M)

Indice di Lerner: (P-MC)/P = −1/ε_D (con ε_D<0)

22.3 Benessere

Poiché P_M>MC alla quantità monopolistica, esistono unità con disponibilità a pagare superiore al costo che non vengono prodotte.

Queste transazioni mancate generano perdita secca. Parte del surplus del consumatore viene trasferito al monopolista, parte viene distrutto.

Il profitto monopolistico può persistere nel lungo periodo solo se esistono barriere all'entrata o vantaggi difficilmente replicabili.

22.4 Esempio

Dati. Domanda P=100-Q, MC=20, nessun costo fisso.

Procedimento. MR=100-2Q. Imporre 100-2Q=20 → Q_M=40. Prezzo P_M=60. Profitto=(60-20)·40=1600.

Risultato. Monopolio: Q=40, P=60, π=1600. In concorrenza P=MC=20 e Q=80.

23.1 Primo grado

Nella discriminazione perfetta ogni unità è venduta al prezzo di riserva del compratore.

Il produttore cattura tutto il surplus del consumatore e produce fino a P=MC, quindi non vi è perdita secca nel modello ideale.

Richiede informazione estremamente dettagliata e impossibilità di arbitraggio.

23.2 Terzo grado

Il mercato è diviso in gruppi osservabili con elasticità diverse e non arbitrabili.

Il monopolista alloca quantità in modo che il ricavo marginale sia uguale tra mercati e al costo marginale comune.

Il prezzo è più alto nel segmento con domanda meno elastica in valore assoluto.

MR₁(Q₁)=MR₂(Q₂)=MC(Q₁+Q₂)

Markup relativo: (P_i−MC)/P_i = −1/ε_i

23.3 Secondo grado

Quando il tipo del consumatore non è osservabile, l'impresa può offrire menu di quantità-prezzo che inducono autoselezione.

Sconti quantità, versioning e pacchetti sono esempi. I vincoli di incentivo e partecipazione sostituiscono l'osservazione diretta del tipo.

L'obiettivo è estrarre surplus senza rendere conveniente a un tipo scegliere il contratto progettato per un altro.

23.4 Tariffa a due parti

Una tariffa a due parti combina una quota fissa F e un prezzo unitario p.

Con consumatori identici e nessun vincolo di partecipazione aggiuntivo, l'impresa può fissare p=MC per rendere efficiente il consumo e catturare il surplus tramite F.

Con consumatori eterogenei la scelta di F e p comporta un trade-off tra estrazione di surplus e partecipazione.

24.1 Origine

La presenza di elevati costi fissi e costi marginali bassi può generare costi medi decrescenti sull'intervallo di domanda rilevante.

In queste condizioni duplicare reti o infrastrutture può essere inefficiente.

Il problema di policy è separare efficienza produttiva della singola rete e potere di mercato del gestore.

24.2 Regolazione first-best

Imporre P=MC realizza la quantità allocativamente efficiente.

Ma se AC>MC al livello efficiente, l'impresa registra una perdita e necessita di un trasferimento o sussidio.

Il finanziamento del sussidio può a sua volta avere costi distorsivi.

First-best: P=MC; possibile deficit = (AC-MC)Q

24.3 Regolazione second-best

Una soluzione frequente impone P=AC per garantire pareggio di bilancio.

La quantità è inferiore al first-best, ma si evita il sussidio.

Altri strumenti includono price cap, yardstick competition, gare per il mercato e separazione regolatoria.

Definizione di Gioco

Un gioco è una situazione con:

almeno due partecipanti, detti giocatori;

ognuno deve scegliere una strategia (cioè un piano d’azione completo per ogni eventualità);

il risultato dipende dalle scelte di tutti i giocatori;

ogni risultato genera un payoff (utilità) per ciascun giocatore.

Ipotesi fondamentale: i giocatori sono razionali e vogliono massimizzare il proprio payoff.

Tipi di Giochi

Giochi simultanei (a uno stadio): i giocatori scelgono le proprie azioni contemporaneamente, senza conoscere le scelte altrui.
Esempi: asta con offerte in busta chiusa, sasso-carta-forbice.

Giochi sequenziali (a più stadi): i giocatori agiscono in sequenza, conoscendo le scelte precedenti degli altri.
Esempi: tris, scacchi, guerra commerciale.

Strategie Dominanti

Una strategia dominante per un giocatore è quella che gli garantisce sempre il miglior payoff, indipendentemente dalle azioni degli altri.
Se esiste una strategia strettamente dominante (cioè sempre meglio di ogni altra), un giocatore razionale sceglierà sempre quella.

Esempio:
Anna e Stefano devono decidere quanto impegnarsi nelle pulizie.
Se per entrambi è sempre meglio non pulire, indipendentemente da cosa fa l’altro, allora “non pulire” è una strategia strettamente dominante.

Dilemma del Prigioniero

Il dilemma del prigioniero è un classico esempio in cui ogni giocatore ha una strategia dominante, ma il risultato finale è socialmente inefficiente.

Situazione:

Bonnie e Clyde vengono arrestati e interrogati separatamente.

Se nessuno confessa, prendono 1 anno.

Se uno confessa e l’altro no, il primo è libero e l’altro prende 20 anni.

Se entrambi confessano, prendono 8 anni ciascuno.

Risultato razionale (entrambi confessano) porta a un esito peggiore (8 anni ciascuno) rispetto a quello cooperativo (1 anno ciascuno), ma ogni individuo ha l’incentivo a tradire l’altro.
Questo è un caso tipico di free-riding: se l’altro collabora (non confessa), conviene approfittarsene.

Equilibrio di Nash

Non sempre esistono strategie dominanti. In questi casi, si usa il concetto di Equilibrio di Nash:

Un insieme di strategie è un equilibrio di Nash se ogni strategia è la risposta ottimale alla strategia degli altri giocatori.

Cioè: dato quello che fanno gli altri, nessuno ha incentivo a cambiare la propria scelta.

Come si trova?
Ogni giocatore individua la risposta ottimale a tutte le possibili scelte degli altri. Un equilibrio si verifica quando queste risposte coincidono.

Importante:

Tutte le strategie dominanti formano un equilibrio di Nash.

Ma non tutti gli equilibri di Nash implicano strategie dominanti.

Molteplicità di Equilibri

A volte esistono più equilibri di Nash, come nel caso del Game of Chicken:

Marco e Paolo guidano l’uno contro l’altro.

Se entrambi sterzano, nessuno “vince”.

Se uno sterza e l’altro no, il primo è visto come “fifone”, l’altro come “coraggioso”.

Se nessuno sterza, si schiantano.

Qui ci sono due equilibri di Nash: (Marco sterza, Paolo no) e (Paolo sterza, Marco no). Nessuno ha una strategia dominante, ma entrambi vorrebbero evitare il peggiore degli esiti.

Assenza di Equilibrio in Strategie Pure

In alcuni giochi, non esiste un equilibrio di Nash in strategie pure (cioè basate su scelte fisse).
Esempio: un rigore nel calcio.
Il tiratore e il portiere devono scegliere simultaneamente dove tirare/parare. Se il tiratore sceglie sempre lo stesso lato, il portiere lo capirà. In questi casi, l’equilibrio si raggiunge solo usando strategie miste (cioè scegliendo casualmente con una certa probabilità).

Battaglia dei Sessi

È un esempio classico nella teoria dei giochi che rappresenta una situazione di coordinamento con preferenze diverse.

26.1 Struttura

Con due imprese, Q=q₁+q₂ e prezzo P(Q)=a-bQ. I costi marginali possono essere costanti c.

Ogni impresa massimizza il proprio profitto prendendo come data la quantità dell'altra.

La soluzione del problema produce una funzione di reazione, cioè la migliore quantità in funzione dell'output rivale.

π₁=[a-b(q₁+q₂)-c]q₁

BR₁(q₂)=(a-c-bq₂)/(2b) = (a-c)/(2b) - q₂/2

26.2 Equilibrio simmetrico

Con imprese identiche, le due funzioni di reazione si intersecano in un equilibrio simmetrico.

Per n imprese identiche con costo marginale c e domanda P=a-bQ, q_i=(a-c)/[b(n+1)].

All'aumentare di n la quantità totale cresce e il prezzo si avvicina al costo marginale, collegando oligopolio e concorrenza.

Duopolio simmetrico: q₁*=q₂*=(a-c)/(3b)

Q* = 2(a-c)/(3b); P*=(a+2c)/3

n imprese: q_i*=(a-c)/[b(n+1)] ; Q*=n(a-c)/[b(n+1)]

26.3 Esempio

Dati. P=300-Q, c=150.

Procedimento. BR₁=75-q₂/2 e BR₂=75-q₁/2. Per simmetria q₁=q₂=q: q=75-q/2.

Risultato. q₁=q₂=50, Q=100, P=200.

27.1 Beni omogenei

Con prodotto omogeneo, stessi costi marginali costanti e capacità sufficiente, ogni impresa ha incentivo a sottotagliare un prezzo superiore a MC.

L'unico equilibrio è P=MC: anche due sole imprese possono replicare l'esito competitivo.

Questo risultato è noto come paradosso di Bertrand.

Bertrand omogeneo standard: P*=MC, π_i=0

27.2 Perché il risultato può cambiare

Differenziazione del prodotto, vincoli di capacità, costi di ricerca e interazioni ripetute attenuano la pressione concorrenziale.

Con prodotti differenziati ogni impresa fronteggia una domanda continua e può scegliere un prezzo sopra il costo marginale.

Il modello mostra che la variabile strategica scelta - prezzo o quantità - può cambiare drasticamente l'equilibrio.

27.3 Confronto Cournot-Bertrand

Cournot con beni omogenei genera tipicamente P>MC e profitti positivi; Bertrand standard genera P=MC.

La differenza non è una contraddizione ma riflette ipotesi diverse sulle decisioni e sulla capacità di reagire.

Per scegliere il modello appropriato occorre capire quale variabile è più rigida nel breve periodo nel settore reale.

28.1 Induzione all'indietro

Si risolve prima il problema del follower ottenendo la sua funzione di reazione.

Il leader anticipa tale reazione e la incorpora nel proprio profitto, scegliendo la quantità che massimizza il risultato lungo la curva di reazione del follower.

Questo procedimento è un'applicazione dell'induzione all'indietro nei giochi dinamici.

Follower: q₂=BR₂(q₁); Leader: max_q₁ π₁(q₁,BR₂(q₁))

28.2 Esito con domanda lineare

Con domanda P=a-bQ e costo marginale c identico, il leader produce più del follower.

Le quantità sono q_L=(a-c)/(2b) e q_F=(a-c)/(4b).

La quantità totale supera Cournot ma resta sotto la concorrenza perfetta; il leader gode di vantaggio di prima mossa.

Stackelberg: q_L=(a-c)/(2b); q_F=(a-c)/(4b); Q=3(a-c)/(4b)

28.3 Equilibrio perfetto nei sottogiochi

Nei giochi sequenziali il semplice Nash può includere minacce non credibili.

L'equilibrio perfetto nei sottogiochi richiede ottimalità in ogni sottogioco e viene trovato con induzione all'indietro nei giochi finiti a informazione perfetta.

La credibilità delle reazioni future è quindi parte essenziale della strategia.

29.1 Cartello

Un cartello massimizza il profitto congiunto e poi ripartisce la produzione tra imprese.

La quantità aggregata è quella monopolistica se il cartello è perfetto e i costi sono coordinati.

Il problema centrale non è solo raggiungere l'accordo, ma renderlo stabile.

29.2 Incentivo a deviare

Dato un prezzo elevato mantenuto dagli altri, una singola impresa può aumentare il profitto espandendo la quantità o riducendo il prezzo.

Se molte imprese deviano, il cartello si disgrega e il prezzo scende.

Questo conflitto tra interesse collettivo e incentivo individuale è analogo a un dilemma del prigioniero.

29.3 Giochi ripetuti

In interazioni ripetute, la possibilità di punire deviazioni future può sostenere cooperazione.

La collusione è più facile quando il futuro pesa molto, le deviazioni sono osservabili e la punizione è credibile.

Dal punto di vista antitrust, comunicazioni, trasparenza e struttura del mercato influenzano la sostenibilità del coordinamento.

30.1 Esternalità negativa

Con un danno esterno, il costo marginale sociale supera il costo marginale privato.

Il mercato non regolato produce troppo rispetto alla quantità socialmente efficiente.

La quantità efficiente soddisfa beneficio marginale sociale uguale a costo marginale sociale.

MSC = MPC + MD ; efficienza: MB = MSC

30.2 Tassa pigouviana

Una tassa per unità pari al danno marginale esterno valutato alla quantità efficiente può allineare incentivo privato e costo sociale.

L'impresa vede un costo marginale privato aumentato dalla tassa e riduce l'output.

La precisione richiede informazione sul danno marginale; incertezza e costi amministrativi possono rendere preferibili strumenti alternativi.

t_Pigou = MD(Q*)

30.3 Coase e diritti di proprietà

Se i diritti sono ben definiti e i costi di transazione sono nulli, la contrattazione privata può raggiungere un esito efficiente indipendentemente dall'assegnazione iniziale dei diritti.

L'assegnazione iniziale influenza però la distribuzione del surplus.

Nella realtà, molti soggetti, informazione imperfetta e costi di negoziazione limitano l'applicabilità del risultato.

31.1 Beni pubblici

Per un bene pubblico il consumo di una persona non riduce quello altrui e l'esclusione è difficile.

La disponibilità marginale a pagare sociale si ottiene sommando verticalmente le disponibilità individuali, perché tutti consumano la stessa quantità.

Il problema del free-riding può portare a sottoproduzione privata.

Bene pubblico: MB_sociale(Q)=Σ_i MB_i(Q)

31.2 Risorse comuni

Le risorse comuni sono rivali ma difficili da escludere.

Ogni utilizzatore considera il proprio beneficio ma non internalizza pienamente la riduzione di risorsa disponibile per gli altri.

Quote, diritti trasferibili, regole comunitarie o proprietà ben definita possono ridurre l'eccesso di sfruttamento.

32.1 Selezione avversa

La selezione avversa nasce da informazione nascosta prima del contratto, tipicamente sul tipo o sulla qualità.

Nel mercato delle auto usate, un prezzo unico può spingere fuori dal mercato le qualità alte, abbassando ulteriormente la qualità media e il prezzo.

Nei mercati assicurativi, individui ad alto rischio possono essere più propensi ad acquistare copertura, alterando il pool.

32.2 Segnalazione e screening

La parte informata può segnalare il proprio tipo attraverso azioni costose che tipi diversi trovano diversamente convenienti.

La parte non informata può fare screening offrendo un menu di contratti che induce autoselezione.

Per funzionare, un segnale deve essere sufficientemente correlato al tipo e differenziare i costi tra tipi.

32.3 Azzardo morale

L'azzardo morale nasce da azioni non osservabili dopo il contratto.

L'assicurazione può ridurre l'incentivo alla prevenzione; un lavoratore può ridurre lo sforzo se la performance non è osservabile perfettamente.

Franchigie, compartecipazioni, bonus-malus e contratti incentivanti bilanciano assicurazione e incentivi.

Problema principale-agente: scegliere contratto per massimizzare il payoff del principale soggetto a partecipazione e incentivi dell'agente.

33.1 Utilità attesa

Se gli esiti monetari sono x_s con probabilità p_s, l'utilità attesa è la media ponderata delle utilità dei singoli esiti.

La scelta razionale consiste nel selezionare la lotteria con utilità attesa maggiore, non necessariamente valore monetario atteso maggiore.

La curvatura della funzione u(x) rappresenta l'atteggiamento verso il rischio.

33.2 Avversione al rischio

Un individuo è avverso al rischio se u è concava: u''(x)<0.

Il certo equivalente CE soddisfa u(CE)=EU. Il premio per il rischio è E[x]-CE e misura quanto il soggetto pagherebbe per eliminare il rischio.

Con utilità concava vale l'ineguaglianza di Jensen: u(E[x])≥E[u(x)].

Risk premium = E[x] - CE

33.3 Assicurazione

Un individuo avverso al rischio può accettare di pagare un premio per trasferire rischio.

Con premio attuarialmente equo e assenza di problemi informativi, l'assicurazione completa è spesso ottimale.

Se esistono azzardo morale o selezione avversa, contratti con franchigia e copertura parziale possono essere efficienti come second-best.

34.1 Scatola di Edgeworth

Con due individui e due beni, ogni punto della scatola rappresenta un'allocazione dell'intera dotazione.

Una riallocazione è un miglioramento paretiano se rende qualcuno migliore senza peggiorare l'altro.

La curva dei contratti raccoglie le allocazioni Pareto efficienti, tipicamente dove le curve di indifferenza dei due individui sono tangenti.

Efficienza nello scambio interno: MRS_A = MRS_B

34.2 Primo teorema del benessere

Sotto ipotesi standard di concorrenza perfetta, completezza dei mercati, assenza di esternalità e regolarità delle preferenze, ogni equilibrio competitivo è Pareto efficiente.

Il teorema distingue efficienza da equità: un equilibrio può essere efficiente ma distributivamente molto diseguale.

Le ipotesi spiegano perché potere di mercato, esternalità, beni pubblici e informazione asimmetrica sono chiamati fallimenti del mercato.

34.3 Secondo teorema del benessere

Con preferenze convesse, ogni allocazione Pareto efficiente può essere decentralizzata come equilibrio competitivo dopo un'opportuna redistribuzione delle dotazioni iniziali.

Il risultato suggerisce una separazione concettuale tra redistribuzione delle risorse iniziali ed efficienza dei prezzi.

Nella pratica, strumenti redistributivi non distorsivi sono rari, quindi equità ed efficienza possono interagire.

36.1 Equilibrio domanda-offerta

1. Scrivere Q_D e Q_S con tutti i parametri numerici già sostituiti.

2. Imporre Q_D=Q_S e trovare P*.

3. Sostituire P* in una delle due funzioni per Q*.

4. Controllare che quantità e prezzo siano economicamente ammissibili.

5. Se cambia un parametro, ripetere e fare statica comparata.

Controllo finale: il risultato deve essere coerente con l'intuizione economica. Un prezzo negativo, una quantità non ammissibile o una condizione marginale usata fuori dal suo dominio sono segnali di errore.

36.2 Consumatore

1. Identificare funzione di utilità, prezzi e reddito.

2. Scrivere il vincolo di bilancio.

3. Calcolare MU e MRS.

4. Se la soluzione è interna, imporre MRS=p_x/p_y insieme al vincolo.

5. Controllare angoli, non negatività e casi speciali.

36.3 Costi e impresa concorrenziale

1. Calcolare MC, AVC, ATC.

2. Per una quantità ottima imporre P=MC.

3. Verificare shutdown: P≥min AVC.

4. Calcolare profitto π=(P-ATC)q.

5. Nel lungo periodo con entrata: usare P=min AC.

36.4 Monopolio

1. Partire dalla domanda inversa P(Q).

2. Calcolare TR=P(Q)Q.

3. Derivare MR.

4. Imporre MR=MC e trovare Q_M.

5. Sostituire Q_M nella domanda per P_M.

6. Calcolare profitto e, se richiesto, surplus e perdita secca.

36.5 Cournot

1. Scrivere Q=q₁+q₂ e P(Q).

2. Scrivere π₁ e π₂.

3. Derivare ciascun profitto rispetto alla propria quantità.

4. Ricavare le funzioni di reazione.

5. Risolvere il sistema; usare simmetria solo dopo aver scritto correttamente le FOC.

6. Calcolare Q, P e profitti.

36.6 Teoria dei giochi

1. Costruire o leggere la matrice dei payoff.

2. Per ogni azione dell'avversario segnare la migliore risposta.

3. Le celle con migliori risposte reciproche sono Nash in strategie pure.

4. Verificare dominanza separatamente.

5. Se non c'è Nash puro, impostare probabilità che rendano l'avversario indifferente.

37.1 Equilibrio lineare

Dati. Q_D=200-4P; Q_S=20+2P.

Procedimento. 200-4P=20+2P → 180=6P → P=30; Q=80.

Risultato. P*=30, Q*=80.

37.2 Imposta specifica

Dati. Q_D=100-P; Q_S=P-20; tassa t=20 sui venditori.

Procedimento. Con tassa, il prezzo netto del produttore è P_C-20; offerta: Q_S=(P_C-20)-20=P_C-40. Uguagliare 100-P_C=P_C-40.

Risultato. P_C=70, Q=30, P_P=50.

37.3 Consumatore Cobb-Douglas

Dati. U=x^0.5 y^0.5, m=120, p_x=3, p_y=2.

Procedimento. Quote di spesa 1/2 e 1/2: spesa x=60, spesa y=60.

Risultato. x=20, y=30.

37.4 Perfetti sostituti

Dati. U=2x+y, m=100, p_x=10, p_y=4.

Procedimento. Utilità per euro: x=2/10=0.2; y=1/4=0.25. Conviene tutto y.

Risultato. x=0, y=25.

37.5 Perfetti complementi

Dati. U=min{x,y}, m=90, p_x=3, p_y=2.

Procedimento. All'ottimo x=y. Quindi 3x+2x=90.

Risultato. x=y=18.

37.6 Elasticità

Dati. Q=120-3P, P=20.

Procedimento. Q=60; ε=−3·20/60=−1.

Risultato. Elasticità unitaria.

37.7 Produzione Cobb-Douglas

Dati. q=L^0.5 K^0.5, L=16, K=9.

Procedimento. MPL=0.5 L^-0.5 K^0.5=0.5·(3/4)=0.375.

Risultato. MPL=0.375.

37.8 Minimizzazione costo

Dati. q=L^0.5K^0.5=10, w=4, r=1.

Procedimento. MRTS=K/L=w/r=4 → K=4L. Vincolo produttivo sqrt(4L²)=2L=10.

Risultato. L=5, K=20, C=40.

37.9 Concorrenza

Dati. MC=10+q; AVC=10+q/2; P=40.

Procedimento. P=MC → q=30. AVC(30)=25<40, quindi produce.

Risultato. q*=30.

37.10 Monopolio

Dati. P=120-2Q; MC=20.

Procedimento. MR=120-4Q=20 → Q=25; P=70.

Risultato. Q_M=25, P_M=70.

37.11 Cournot

Dati. P=120-Q; c=30.

Procedimento. q_i=(120-30)/3=30.

Risultato. q1=q2=30, Q=60, P=60.

37.12 Stackelberg

Dati. P=120-Q; c=30.

Procedimento. Leader=(90)/2=45; follower=90/4=22.5.

Risultato. Q=67.5, P=52.5.

37.13 Bene pubblico

Dati. MB_A=20-Q; MB_B=10-Q; MC=12.

Procedimento. Somma verticale per Q≤10: MB sociale=30-2Q. 30-2Q=12.

Risultato. Q*=9.

37.14 Esternalità

Dati. Domanda MB=100-Q; MPC=20+Q; MD=10.

Procedimento. MSC=30+Q. 100-Q=30+Q.

Risultato. Q*=35; tassa Pigou=10.

37.15 Utilità attesa

Dati. 50% di 100 e 50% di 0; u(x)=sqrt(x).

Procedimento. EU=0.5·10+0.5·0=5; CE tale che sqrt(CE)=5.

Risultato. CE=25; valore atteso monetario=50; premio rischio=25.

37.16 Checklist prima dell'esame

• So distinguere spostamento lungo una curva da traslazione della curva.

• So calcolare e interpretare elasticità-prezzo, reddito e incrociata.

• So scrivere e modificare un vincolo di bilancio.

• So riconoscere Cobb-Douglas, sostituti e complementi.

• So risolvere una scelta del consumatore interna e controllare gli angoli.

• So scomporre qualitativamente effetto reddito e sostituzione.

• So calcolare MPL, APL, MRTS e rendimenti di scala.

• So ricavare MC, AVC e ATC da una funzione di costo.

• So usare shutdown e condizione P=MC.

• So distinguere equilibrio concorrenziale di breve e lungo periodo.

• So calcolare surplus e perdita secca.

• So risolvere monopolio con MR=MC.

• So distinguere i tre gradi di discriminazione di prezzo.

• So trovare un equilibrio di Nash da una matrice.

• So ricavare le funzioni di reazione di Cournot.

• So distinguere Cournot, Bertrand e Stackelberg.

• So spiegare esternalità, beni pubblici, selezione avversa e azzardo morale.

A.1 Prezzi relativi e costo opportunità

Il prezzo relativo compare in quasi tutta la microeconomia. Nel consumatore, p_x/p_y è la pendenza del vincolo di bilancio; nell'impresa, w/r è la pendenza dell'isocosto. In entrambi i casi l'ottimo interno nasce dall'uguaglianza tra un tasso soggettivo o tecnico di sostituzione e il tasso di scambio imposto dal mercato.

Questa simmetria non è accidentale. Il consumatore rialloca spesa fino a rendere uguali le utilità marginali per euro; l'impresa rialloca costo fino a rendere uguali i prodotti marginali per euro. In entrambi i casi, se un rapporto è maggiore dell'altro esiste una riallocazione migliorativa.

L'idea generale è che i prezzi trasformano grandezze eterogenee in un metro comune. Grazie ai prezzi, un'unità di bene, lavoro o capitale può essere confrontata con le alternative sacrificate.

A.2 Dalla produttività ai costi

La curva di costo marginale non è indipendente dalla tecnologia. Se il lavoro è l'unico input variabile, il costo di ottenere un'unità in più di output dipende da quante ore di lavoro sono necessarie al margine.

Quando MPL cresce, ogni lavoratore addizionale produce molto output e il costo marginale diminuisce. Quando MPL diminuisce, servono più unità di lavoro per ottenere lo stesso incremento di produzione e MC aumenta.

Per questo la legge dei rendimenti marginali decrescenti fornisce la base tecnologica della tipica forma a U dei costi medi e crescente del costo marginale oltre una certa scala.

A.3 Dal costo marginale all'offerta

In concorrenza perfetta il prezzo è esterno alla singola impresa. L'impresa confronta il ricavo della prossima unità, pari a P, con il suo costo marginale.

Se P>MC conviene aumentare q; se P<MC conviene ridurla. L'uguaglianza P=MC identifica il punto in cui non esiste una piccola variazione profittevole, purché si sia sul tratto crescente e sopra il prezzo di chiusura.

Questo spiega perché la curva di offerta individuale coincide con MC sopra AVC_min: non è una definizione, ma un risultato dell'ottimizzazione.

A.4 Perché il monopolista non ha una curva di offerta

Un'impresa concorrenziale associa a ogni prezzo una quantità ottima indipendentemente dalla domanda di mercato. Il monopolista, invece, sceglie simultaneamente un punto sulla domanda e quindi la sua quantità dipende dall'intera curva di domanda.

A parità di prezzo osservato, due diverse domande possono generare ricavi marginali diversi e quindi quantità monopolistiche differenti. Non esiste dunque una relazione univoca prezzo-quantità paragonabile alla curva di offerta concorrenziale.

Questo è un ottimo esempio di come il potere di mercato renda la scelta dell'impresa strategicamente collegata alla domanda.

A.5 Elasticità e potere di mercato

L'indice di Lerner mostra che il markup monopolistico è legato all'elasticità. Una domanda molto elastica limita la possibilità di alzare il prezzo, perché i clienti reagiscono fortemente.

Una domanda inelastica consente un markup maggiore, ma il monopolista non sceglie di operare nel tratto inelastico di una domanda ordinaria se il costo marginale è non negativo: in quel tratto MR sarebbe negativo.

La discriminazione di terzo grado generalizza lo stesso principio: prezzi più elevati vengono applicati ai gruppi meno elastici.

A.6 Numero di imprese e intensità concorrenziale

Nel Cournot lineare, aumentando n la quantità totale cresce e il prezzo converge al costo marginale. Il risultato formalizza l'intuizione che più concorrenti riducono il potere di mercato.

Tuttavia il Bertrand standard mostra che il numero non è l'unico fattore: con prezzo come variabile strategica, prodotto omogeneo e capacità sufficiente, due imprese bastano per portare P a MC.

La struttura del gioco, la differenziazione e i vincoli di capacità sono quindi cruciali quanto il semplice numero di imprese.

A.7 Efficienza ed equità

Il surplus totale è una misura di efficienza, non di equità. Un trasferimento di surplus da consumatori a produttori può lasciare invariato il totale, mentre una perdita secca riduce il totale.

Una politica può aumentare l'equità percepita e ridurre l'efficienza, o viceversa. La microeconomia positiva consente di misurare questi effetti; il giudizio distributivo richiede criteri normativi ulteriori.

Separare trasferimenti e distruzione di surplus è essenziale per interpretare tasse, prezzi minimi, monopolio e regolamentazione.

A.8 Fallimenti di mercato come deviazioni dalle condizioni competitive

Esternalità, beni pubblici, potere di mercato e informazione asimmetrica possono essere letti come motivi per cui i prezzi di mercato non riflettono correttamente costi e benefici sociali o non permettono scambi efficienti.

Nel monopolio, P non coincide con MC. Nelle esternalità, il costo privato non coincide con quello sociale. Nei beni pubblici, la domanda individuale non rivela spontaneamente la disponibilità a pagare. Nell'informazione asimmetrica, qualità e rischio non sono osservati simmetricamente.

Questa lettura unitaria aiuta a capire perché gli strumenti di policy sono differenti: antitrust, tasse pigouviane, produzione pubblica, regolazione contrattuale o disclosure.

A.9 Domande teoriche da orale con traccia di risposta

Domanda: Perché una curva di domanda lineare non ha elasticità costante?

Traccia: Perché l'elasticità combina la pendenza dQ/dP con il rapporto P/Q. Anche se la pendenza è costante, P/Q cambia lungo la curva.

Domanda: Perché un'impresa concorrenziale può produrre in perdita nel breve periodo?

Traccia: Perché i costi fissi sono irrecuperabili. Se il prezzo copre il costo variabile medio, produrre riduce la perdita rispetto alla chiusura.

Domanda: Perché il monopolista produce meno della concorrenza?

Traccia: Perché per vendere unità addizionali deve ridurre il prezzo e quindi il ricavo marginale è inferiore al prezzo; uguagliando MR a MC si ferma prima della quantità in cui P=MC.

Domanda: Che differenza c'è tra bene inferiore e bene di Giffen?

Traccia: Il bene inferiore ha effetto reddito negativo rispetto al reddito; il bene di Giffen richiede inoltre che tale effetto sia abbastanza forte da dominare l'effetto di sostituzione.

Domanda: Perché Cournot e Bertrand danno risultati diversi?

Traccia: Perché assumono variabili strategiche diverse e quindi diverse reazioni dei rivali. In Bertrand omogeneo il sottotaglio dei prezzi elimina il markup; in Cournot ogni impresa prende la quantità rivale come data.

Domanda: Quando una tassa ricade soprattutto sui consumatori?

Traccia: Quando la domanda è relativamente meno elastica dell'offerta, perché i consumatori riducono poco la quantità e sopportano una quota maggiore del cuneo fiscale.

Domanda: Perché P=MC è una condizione di efficienza?

Traccia: Perché P misura la disponibilità marginale a pagare e MC il costo marginale delle risorse; l'uguaglianza fa sì che non restino scambi con beneficio superiore al costo né unità con costo superiore al beneficio.

Domanda: Perché il free-riding porta a sottoproduzione di beni pubblici?

Traccia: Perché ciascun individuo può beneficiare del bene anche senza contribuire, quindi ha incentivo a dichiarare una disponibilità a pagare inferiore a quella reale.

Domanda: Che cosa distingue selezione avversa e azzardo morale?

Traccia: La selezione avversa riguarda informazione privata sul tipo prima del contratto; l'azzardo morale riguarda azioni non osservabili dopo il contratto.

Domanda: Che cosa significa profitto economico nullo?

Traccia: Significa che tutti i fattori, inclusi capitale proprio e lavoro imprenditoriale, ricevono la loro remunerazione opportunità. Non equivale a incasso nullo o profitto contabile nullo.

B.1 Domanda inversa e MR lineare

1. Parti da Q=a-bP.

2. Isola P: bP=a-Q, quindi P=a/b-Q/b.

3. TR(Q)=P(Q)Q=(a/b)Q-(1/b)Q².

4. Deriva: MR=a/b-(2/b)Q.

5. La pendenza di MR è doppia, in valore assoluto, rispetto alla domanda inversa.

B.2 Domanda Cobb-Douglas

1. Problema: max x^αy^β s.t. p_xx+p_yy=m.

2. MRS=(α/β)(y/x)=p_x/p_y.

3. Da cui y=(β/α)(p_x/p_y)x.

4. Sostituisci nel vincolo e semplifica.

5. Ottieni x=[α/(α+β)]m/p_x e y=[β/(α+β)]m/p_y.

B.3 Relazione MC e MPL

1. Se il lavoro è l'unico input variabile, VC=wL.

2. MC=dVC/dq=w·dL/dq.

3. Poiché MPL=dq/dL, l'inversa locale è dL/dq=1/MPL.

4. Quindi MC=w/MPL.

5. Quando MPL diminuisce, MC aumenta.

B.4 Cournot simmetrico

1. P=a-b(q₁+q₂), costo c q_i.

2. π₁=[a-c-bq₁-bq₂]q₁.

3. FOC: a-c-2bq₁-bq₂=0.

4. BR₁=(a-c)/(2b)-q₂/2 e simmetricamente BR₂.

5. Con q₁=q₂=q: q=(a-c)/(2b)-q/2 → 3q/2=(a-c)/(2b) → q=(a-c)/(3b).

B.5 Stackelberg

1. Il follower ha BR_F(q_L)=(a-c)/(2b)-q_L/2.

2. Il leader sostituisce BR_F nella domanda e nel proprio profitto.

3. Dopo semplificazione, massimizza una funzione quadratica in q_L.

4. La FOC produce q_L=(a-c)/(2b).

5. Sostituendo nella BR del follower: q_F=(a-c)/(4b).

B.6 Perdita secca da tassa lineare

1. La tassa crea un cuneo t tra disponibilità marginale a pagare e costo marginale.

2. La quantità si riduce da Q₀ a Q_t.

3. Le unità tra Q_t e Q₀ avrebbero generato surplus positivo senza tassa.

4. Con curve lineari la perdita è un triangolo di base ΔQ e altezza t.

5. DWL=1/2·t·ΔQ.

C.1 Errori frequenti

Usare P=MC nel monopolio: Correzione: nel monopolio si usa MR=MC e poi si trova P dalla domanda.

Usare MR=P in ogni mercato: Vale per price-taker, non per un'impresa con domanda inclinata negativamente.

Confondere costo fisso e sunk cost: Un costo fisso può essere evitabile in futuro; un sunk cost è già irrecuperabile.

Dimenticare il vincolo nel consumatore: La tangenza da sola non determina il paniere.

Applicare la tangenza ai perfetti sostituti: Spesso l'ottimo è d'angolo; confrontare utilità marginale per euro.

Somma verticale per domanda di mercato privata: Per beni privati si sommano orizzontalmente le quantità.

Usare la simmetria Cournot troppo presto: Scrivere prima FOC e funzioni di reazione; poi imporre q₁=q₂ se costi e domanda sono simmetrici.

Dire che un Nash è necessariamente efficiente: Il dilemma del prigioniero mostra il contrario.

Dire che una tassa è pagata da chi la versa legalmente: L'incidenza economica dipende dalle elasticità.

Confondere bene inferiore e Giffen: Ogni Giffen è inferiore, ma non ogni inferiore è Giffen.

Domanda e offerta

L'equilibrio coordina piani di acquisto e vendita. Variabili esogene spostano le curve.

Q_D=a-bP; Q_S=c+dP

Domanda di controllo: Che cosa cambia se aumenta il reddito per un bene normale?

Per rispondere bene, partire sempre dall'incentivo marginale. Identificare chi sceglie, quali variabili prende come date, quale vincolo affronta e quale grandezza deve essere eguagliata al margine. Questa procedura permette di ricostruire il risultato anche quando si dimentica una formula specifica.

Elasticità

La pendenza non basta: l'elasticità dipende anche dal punto.

ε=(dQ/dP)(P/Q)

Domanda di controllo: Perché su una domanda lineare l'elasticità cambia?

Vincolo di bilancio

La pendenza è un costo opportunità di mercato.

Domanda di controllo: Che succede se p_x dimezza?

MRS

Misura la disponibilità soggettiva a scambiare y con x.

Domanda di controllo: Perché MRS tende a diminuire con preferenze convesse?

Ottimo consumatore

L'ultimo euro speso deve rendere uguale utilità marginale.

Domanda di controllo: Quando questa condizione non vale?

MRTS

Tasso tecnico di sostituzione tra input.

MPL/MPK

Domanda di controllo: Perché va uguagliato a w/r?

Costo marginale

Costo dell'ultima unità.

MC=dTC/dq

Domanda di controllo: Perché interseca i costi medi ai minimi?

Concorrenza

La singola impresa è price-taker.

P=MC

Domanda di controllo: Qual è la condizione di shutdown?

Monopolio

Il monopolista internalizza l'effetto della quantità sul prezzo.

MR=MC

Domanda di controllo: Perché MR<P?

Cournot

Le imprese competono sulle quantità simultaneamente.

q_i=BR_i(q_j)

Domanda di controllo: Che cosa succede al crescere di n?

Bertrand

La concorrenza di prezzo può essere molto aggressiva.

P=MC nel caso standard

Domanda di controllo: Quali ipotesi sostengono il paradosso?

Stackelberg

La sequenzialità crea vantaggio di prima mossa.

leader anticipa BR follower

Domanda di controllo: Perché il leader produce più del follower?

Esternalità

Il prezzo privato non riflette tutto il costo sociale.

MSC=MPC+MD

Domanda di controllo: Quale tassa corregge l'esternalità?

Bene pubblico

Le valutazioni si sommano verticalmente.

MB sociale=ΣMB_i

Domanda di controllo: Perché emerge free-riding?

Informazione asimmetrica

Il contratto deve tenere conto di tipi o azioni non osservabili.

vincoli di incentivo e partecipazione

Domanda di controllo: Differenza tra selezione avversa e moral hazard?

1. Statica comparata con curve lineari

Con domanda Q_D=a-bP e offerta Q_S=c+dP, l'equilibrio è P*=(a-c)/(b+d). Questa formula permette di leggere immediatamente l'effetto dei parametri: un aumento di a sposta la domanda verso destra e aumenta P; un aumento di c, cioè una maggiore offerta a ogni prezzo, riduce P.

La quantità di equilibrio si ottiene sostituendo P* in una delle curve. È utile distinguere un cambiamento di intercetta da un cambiamento di pendenza: il primo trasla la curva, il secondo ne modifica anche l'elasticità e l'intensità della risposta dell'equilibrio.

Negli esercizi con variabili esogene, conviene prima sostituire reddito, prezzi di sostituti e costi degli input nella funzione e solo dopo risolvere il sistema. In questo modo si evita di confondere parametri strutturali e variabili endogene.

Se entrambe le curve si spostano, il segno dell'effetto su prezzo o quantità può essere ambiguo. In questi casi non basta la direzione: occorre confrontare le intensità degli spostamenti.

Q_D=a-bP, Q_S=c+dP → P*=(a-c)/(b+d)

Punto chiave: Prima di usare una formula, identificare sempre le ipotesi del modello e verificare che il risultato sia economicamente ammissibile.

2. Elasticità d'arco e puntuale

L'elasticità puntuale utilizza la derivata ed è adatta a variazioni infinitesime. Quando si confrontano due punti distanti, l'elasticità d'arco evita che il risultato dipenda dal punto scelto come base.

La formula del punto medio divide la variazione di quantità per la quantità media e la variazione di prezzo per il prezzo medio. È particolarmente utile negli esercizi numerici con dati discreti.

La distinzione è importante perché percentuali calcolate sul valore iniziale non sono simmetriche: passare da 10 a 20 è +100%, mentre tornare da 20 a 10 è −50%. Il metodo del punto medio corregge questa asimmetria.

Nell'interpretazione, si usa spesso il valore assoluto per classificare domanda elastica o inelastica, pur mantenendo il segno negativo nelle formule teoriche.

3. Elasticità dell'offerta

L'elasticità-prezzo dell'offerta misura la risposta percentuale della quantità offerta al prezzo. In genere è positiva, ma la sua grandezza dipende dalla flessibilità produttiva.

Nel brevissimo periodo l'offerta può essere quasi verticale se la quantità disponibile è data. Nel lungo periodo, la possibilità di modificare impianti, entrare nel settore e riconfigurare la produzione rende spesso l'offerta più elastica.

La disponibilità di scorte, la facilità di sostituzione degli input e la quota di capacità inutilizzata aumentano l'elasticità. Vincoli di capacità e processi produttivi lunghi la riducono.

L'incidenza di una tassa dipende dall'elasticità relativa di domanda e offerta, non dalla sola elasticità della domanda.

4. Domanda compensata e funzione di spesa

La domanda compensata o hicksiana risponde alla domanda: qual è la combinazione di beni meno costosa che permette di raggiungere un dato livello di utilità ū ai prezzi correnti?

Il problema è duale rispetto alla massimizzazione dell'utilità. Invece di massimizzare U dato m, si minimizza la spesa dato ū. La soluzione genera h_x(p,ū) e h_y(p,ū).

Sostituendo le domande compensate nella spesa si ottiene e(p,ū), la funzione di spesa minima necessaria per raggiungere ū. La variazione compensativa e quella equivalente usano precisamente questa logica.

La dualità è utile perché consente di separare l'effetto di sostituzione dall'effetto reddito e di misurare monetariamente variazioni di benessere.

e(p,ū)=min_x Σ p_i x_i s.t. U(x)≥ū

5. Identità di Slutsky

L'identità di Slutsky formalizza la decomposizione della risposta della domanda a un cambiamento di prezzo in effetto sostituzione ed effetto reddito.

Per il bene x, la derivata della domanda marshalliana rispetto al proprio prezzo è uguale alla derivata della domanda compensata meno la quantità consumata moltiplicata per la risposta della domanda al reddito.

Il primo termine è non positivo per il proprio prezzo; il secondo dipende dalla natura normale o inferiore del bene. Solo un forte effetto reddito positivo in seguito a un aumento di prezzo può generare comportamento di Giffen.

La formula è più avanzata della rappresentazione grafica, ma ne riassume esattamente la logica.

6. Variazione compensativa ed equivalente

La variazione compensativa misura quanto reddito occorre dare o togliere al consumatore dopo un cambiamento di prezzo per riportarlo all'utilità iniziale.

La variazione equivalente misura quanto reddito, ai prezzi iniziali, sarebbe equivalente al cambiamento di prezzo in termini di utilità.

Per variazioni piccole e preferenze regolari le due misure sono simili al surplus del consumatore; per variazioni grandi possono differire.

Questi concetti sono importanti nelle valutazioni costi-benefici perché trasformano variazioni di utilità, che sono ordinali, in misure monetarie.

CV=e(p1,u0)-e(p1,u1); EV=e(p0,u0)-e(p0,u1)

7. Funzione indiretta di utilità

La funzione indiretta di utilità v(p,m) indica il massimo livello di utilità raggiungibile dati prezzi e reddito.

Si ottiene sostituendo le domande marshalliane nella funzione di utilità. Riassume in una sola espressione l'intero problema di scelta del consumatore.

È crescente nel reddito e non crescente nei prezzi. Le sue proprietà sono collegate alle domande attraverso l'identità di Roy.

Anche se non sempre richiesta negli esercizi di base, è utile per capire la struttura duale della teoria del consumatore.

v(p,m)=U(x*(p,m))

8. Domanda di Engel

La curva di Engel mette in relazione il reddito con la quantità domandata di un bene a prezzi costanti.

Per un bene normale è crescente; per un bene inferiore può diventare decrescente in un intervallo. La pendenza e la forma riflettono l'elasticità al reddito.

Nelle Cobb-Douglas omotetiche, la domanda del bene è proporzionale al reddito e l'elasticità al reddito è pari a uno.

Le curve di Engel aiutano a distinguere beni necessari, di lusso e inferiori e sono molto usate empiricamente.

x=x(p_x,p_y,m), con prezzi fissi: relazione m→x

9. Omoteticità delle preferenze

Preferenze omotetiche significano che, aumentando proporzionalmente il reddito a prezzi costanti, la composizione ottima del paniere resta invariata.

Le curve reddito-consumo sono raggi dall'origine. Cobb-Douglas e CES standard sono esempi importanti.

L'omoteticità semplifica l'aggregazione e implica che le quote di consumo dipendano dai prezzi ma non dal livello di reddito in modo arbitrario.

Non tutte le preferenze sono omotetiche: i beni inferiori e molti pattern realistici di consumo richiedono forme più flessibili.

U(x) omotetica se U(x) rappresentabile come trasformazione crescente di funzione omogenea

10. CES e elasticità di sostituzione

La funzione CES consente di modellare in modo controllato la sostituibilità tra beni o input.

A differenza della Cobb-Douglas, che ha elasticità di sostituzione unitaria, la CES permette valori diversi e costanti.

Quando i beni sono facilmente sostituibili, le curve di indifferenza sono relativamente piatte e la risposta ai prezzi relativi è forte. Quando sono complementari, la curvatura è maggiore.

La CES è molto usata in produzione, commercio e macroeconomia applicata perché separa quote distributive e sostituibilità.

U=[αx^ρ+(1-α)y^ρ]^1/ρ, σ=1/(1-ρ)

11. Funzione di costo Cobb-Douglas

Per una tecnologia Cobb-Douglas con rendimenti costanti, la minimizzazione del costo produce una funzione di costo proporzionale all'output.

Il rapporto ottimo tra capitale e lavoro dipende dai prezzi relativi degli input e dai parametri tecnologici.

Se il salario aumenta, l'impresa sostituisce lavoro con capitale, se possibile; l'entità dipende dalla sostituibilità tecnica.

La funzione di costo rende esplicito come una variazione nei prezzi degli input sposti la curva di offerta dell'impresa.

q=AL^αK^1-α → C(q,w,r) proporzionale a q·w^α r^1-α

12. Lemma di Shephard

Il lemma di Shephard collega la funzione di costo alle domande condizionali dei fattori.

La derivata del costo minimo rispetto al prezzo di un input restituisce la quantità condizionale ottima di quell'input.

Intuitivamente, se il salario aumenta di una piccola quantità, l'incremento minimo del costo è circa pari alle ore di lavoro utilizzate moltiplicate per l'aumento del salario.

È il duale, lato impresa, delle relazioni tra funzione di spesa e domanda compensata del consumatore.

∂C(q,w,r)/∂w = L*(q,w,r); ∂C/∂r=K*(q,w,r)

13. Economie di scopo

Le economie di scopo riguardano la produzione congiunta di più beni, non la scala di un singolo output.

Esistono quando produrre due beni nella stessa impresa costa meno che produrli separatamente in imprese specializzate.

Possono derivare da input condivisi, rete commerciale, marchio, dati, logistica o tecnologia comune.

Sono rilevanti per la struttura multiprodotto e per valutare integrazioni e conglomerati.

Economie di scopo se C(q1,q2)<C(q1,0)+C(0,q2)

14. Costi sunk e decisioni

Un sunk cost è un costo già sostenuto e irrecuperabile. Non deve influenzare una decisione marginale corrente.

La regola economica è confrontare costi e benefici evitabili da oggi in avanti. Continuare un progetto solo perché si è già speso molto è la fallacia dei costi sommersi.

Nel breve periodo, alcuni costi fissi sono sunk; altri possono essere evitabili cessando l'attività. La distinzione è più precisa del semplice fisso/variabile.

Negli esercizi di shutdown si assume di norma che i costi fissi siano irrecuperabili nel periodo considerato.

Decisione: confrontare ricavi incrementali con costi evitabili, non con sunk costs

15. Rendita economica

La rendita economica è il pagamento a un fattore oltre il minimo necessario per mantenerlo nell'impiego corrente.

Può derivare da scarsità, talenti unici, localizzazione, licenze o risorse naturali. Non coincide con il profitto economico dell'impresa, anche se può contribuirvi.

In concorrenza con input perfettamente elastici non vi sono rendite; con offerta rigida una quota del pagamento assume natura di rendita.

Il concetto è utile per interpretare tassazione di risorse scarse e differenze salariali.

Rendita = pagamento effettivo - costo opportunità minimo

16. Offerta di settore a costi crescenti

Nel lungo periodo la curva di offerta di settore non è sempre orizzontale.

Se l'espansione del settore aumenta i prezzi degli input specifici, il costo medio minimo delle imprese sale e la curva di offerta di lungo periodo è crescente.

Se invece l'espansione genera economie esterne, infrastrutture o apprendimento che abbassano i costi, l'offerta di lungo periodo può essere decrescente.

Il caso orizzontale è quindi un benchmark, non una legge universale.

Forma LR supply dipende da come i costi dell'impresa cambiano con la dimensione del settore

17. Quasi-rendita nel breve periodo

Nel breve periodo un fattore fisso può generare un rendimento superiore al suo costo evitabile perché la capacità non può essere replicata immediatamente.

Questa quasi-rendita scompare o cambia nel lungo periodo quando entrata, investimento e adattamento diventano possibili.

Il concetto aiuta a capire perché profitti temporanei possono esistere anche in mercati concorrenziali senza implicare potere di mercato persistente.

È importante distinguere ritorni transitori da rendite protette da barriere all'entrata.

Quasi-rendita = ricavo che remunera un input fisso nel breve periodo oltre il costo evitabile

18. Pass-through delle imposte

Il pass-through è la quota di una variazione fiscale che si trasferisce al prezzo pagato dal consumatore.

In concorrenza con curve lineari dipende dalle pendenze di domanda e offerta; con potere di mercato dipende anche dalla curvatura della domanda e dalla strategia di prezzo.

Un pass-through superiore al 100% è possibile in alcuni mercati con domanda non lineare o concorrenza imperfetta.

Questo concetto è più preciso della frase generica 'la tassa la paga il consumatore'.

Pass-through = dP_C/dt

19. Price ceiling e razionamento

Quando un prezzo massimo è vincolante, la quantità domandata supera quella offerta.

Il modello standard non determina automaticamente quali consumatori ottengano il bene. Code, favoritismi, lotterie o mercati secondari sono meccanismi di razionamento alternativi.

Se il bene non va ai consumatori con disponibilità a pagare più alta, oltre alla perdita dovuta alla quantità ridotta compare una perdita allocativa.

Perciò l'effetto di un price ceiling non si esaurisce nel triangolo standard di perdita secca.

P_max<P* → Q_D(P_max)>Q_S(P_max)

20. Salario minimo nel mercato del lavoro

Applicando domanda e offerta al lavoro, un salario minimo vincolante può creare eccesso di offerta di lavoro nel modello competitivo.

Tuttavia, in presenza di monopsonio un salario minimo moderato può aumentare sia salario sia occupazione, perché riduce il potere dell'acquirente di lavoro.

Questo confronto mostra che l'effetto di una politica dipende dalla struttura di mercato di partenza.

Il modello rilevante va quindi scelto prima di trarre conclusioni di policy.

Concorrenza: w_min>w* può ridurre L; monopsonio: w_min appropriato può aumentare L

21. Monopsonio

Il monopsonio è il caso di un unico grande acquirente, spesso analizzato nel mercato del lavoro.

Per assumere un lavoratore in più, un monopsonista che fronteggia un'offerta di lavoro crescente può dover aumentare il salario anche ai lavoratori inframarginali. Il costo marginale del fattore supera quindi il salario.

La condizione ottima è MRP_L=MFC_L, dove MRP è il ricavo marginale del prodotto del lavoro e MFC il costo marginale del fattore.

Rispetto alla concorrenza, il monopsonio tende a impiegare meno lavoro e pagare un salario inferiore.

MFC>w su offerta crescente; ottimo: MRP_L=MFC_L

22. Discriminazione perfetta e benessere

La discriminazione di primo grado elimina la perdita secca perché ogni unità con disponibilità a pagare almeno pari al costo marginale viene venduta.

Il surplus totale coincide con quello competitivo, ma la distribuzione è opposta: tutto il surplus viene appropriato dal produttore.

Questo esempio dimostra che efficienza e distribuzione sono concetti distinti.

Nella realtà, informazione imperfetta e costi di transazione impediscono la discriminazione perfetta completa.

Q_PD tale che P(Q)=MC; CS=0 nel modello ideale

23. Bundling

Il bundling consiste nel vendere più prodotti insieme in un pacchetto.

Può essere profittevole quando le disponibilità a pagare per i prodotti sono eterogenee e negativamente correlate, perché il pacchetto riduce la dispersione della valutazione totale.

Il bundling puro offre solo il pacchetto; quello misto offre sia componenti separate sia pacchetto.

È una forma di pricing non lineare distinta, anche se collegata, dalla discriminazione di secondo grado.

Profitto da bundling dipende dalla distribuzione congiunta delle disponibilità a pagare

24. Two-part tariff con consumatori identici

Con consumatori identici, una tariffa a due parti può estrarre surplus in modo molto efficiente.

Ponendo il prezzo per unità uguale al costo marginale, il consumo è efficiente. La quota fissa può essere fissata fino al surplus del consumatore generato da quel prezzo.

Il profitto totale diventa il surplus che il consumatore era disposto a ottenere, al netto di eventuali costi fissi.

Se i consumatori sono eterogenei, una quota fissa troppo alta esclude quelli con domanda bassa e il problema diventa più complesso.

p=MC; F≤CS(p=MC)

25. Nash in strategie miste 2x2

Per trovare un equilibrio misto in un gioco 2x2, non si sceglie la probabilità che massimizza direttamente il proprio payoff.

Si trova invece la probabilità con cui ciascun giocatore deve mescolare affinché l'avversario sia indifferente tra le sue azioni pure.

Se il giocatore 1 usa A con probabilità p, si uguagliano i payoff attesi del giocatore 2 tra le sue due azioni e si risolve per p; simmetricamente per q.

Le probabilità di equilibrio dipendono dai payoff dell'altro giocatore, un punto che spesso sorprende ma deriva dalla condizione di indifferenza.

EU₂(B1|p)=EU₂(B2|p) → p*

26. Minacce credibili nei giochi sequenziali

Una minaccia è credibile solo se, quando il nodo decisionale viene effettivamente raggiunto, eseguirla è nell'interesse del giocatore.

Il semplice equilibrio di Nash può sostenere minacce fuori dal percorso che non sarebbero mai razionali da attuare.

L'equilibrio perfetto nei sottogiochi elimina queste strategie imponendo ottimalità in ogni sottogioco.

Questo principio è fondamentale in entry deterrence, contrattazione e politiche commerciali strategiche.

Metodo: risolvere dal fondo dell'albero verso l'inizio

27. Entry deterrence

Un incumbent può cercare di scoraggiare l'entrata attraverso capacità, prezzi, contratti o investimenti.

Perché la strategia funzioni, l'impegno deve modificare credibilmente i payoff futuri. Una semplice minaccia di guerra di prezzo può non essere credibile se, dopo l'entrata, accomodare è più profittevole.

Investire anticipatamente in capacità può invece cambiare il costo marginale futuro e rendere credibile una risposta aggressiva.

L'analisi richiede un gioco sequenziale e confronto tra payoff nei sottogiochi.

Deterrenza efficace solo se l'azione preventiva altera incentivi futuri

28. Aste: cenno microeconomico

Le aste sono meccanismi per allocare beni quando le valutazioni sono private o incerte.

In un'asta inglese a valori privati indipendenti, il vincitore tende a essere chi ha la valutazione più alta e paga circa la seconda valutazione più alta.

Nell'asta al secondo prezzo, offrire la propria vera valutazione è una strategia dominante sotto le ipotesi standard.

Il disegno dell'asta è un'applicazione di teoria dei giochi, informazione e meccanismi di incentivo.

Second-price auction: bid truthful dominante con valori privati indipendenti

29. Selezione avversa nei mercati assicurativi

Se l'assicuratore non osserva il rischio individuale, un premio basato sul rischio medio può essere troppo alto per i soggetti a basso rischio e conveniente per quelli ad alto rischio.

L'uscita dei bassi rischi aumenta il rischio medio del pool e può far salire ulteriormente il premio.

Il mercato può quindi ridursi o collassare anche quando esistono scambi assicurativi potenzialmente vantaggiosi.

Screening tramite franchigie e menu di copertura cerca di separare i tipi.

Premio pooling dipende da E[perdita|partecipanti], che cambia endogenamente

30. Azzardo morale e franchigia

Una copertura completa può ridurre l'incentivo a prevenire il danno se l'azione preventiva non è osservabile.

La franchigia lascia una parte del rischio all'assicurato, rendendo costoso il sinistro anche per lui e preservando l'incentivo allo sforzo.

La copertura ottima diventa un compromesso tra assicurazione del rischio e incentivi.

Questo è un esempio classico di soluzione second-best: non si può ottenere simultaneamente assicurazione completa e massimo incentivo quando lo sforzo è nascosto.

Contratto ottimo: trade-off risk sharing / incentive compatibility

31. Coase e costi di transazione

Il teorema di Coase non afferma che l'intervento pubblico sia inutile in presenza di esternalità.

Afferma che con diritti ben definiti e costi di transazione nulli, la contrattazione conduce a efficienza indipendentemente dall'assegnazione iniziale.

Quando i costi di transazione sono elevati, i soggetti sono numerosi o il danno è difficile da misurare, il risultato può fallire.

L'assegnazione dei diritti resta inoltre rilevante per la distribuzione del surplus.

Efficienza indipendente dall'assegnazione solo sotto ipotesi forti

32. Permessi negoziabili

Un sistema cap-and-trade fissa una quantità totale di emissioni e distribuisce o vende permessi scambiabili.

Le imprese con costo di abbattimento basso riducono di più e vendono permessi; quelle con costo alto acquistano permessi.

In equilibrio i costi marginali di abbattimento si eguagliano tra imprese, minimizzando il costo complessivo per raggiungere il target.

Rispetto a una tassa, il cap fissa con certezza la quantità ma lascia variare il prezzo dei permessi.

MAC_i = prezzo permesso in equilibrio

33. Beni comuni e tragedia dei commons

Con accesso libero a una risorsa rivale, ciascun utilizzatore considera il proprio beneficio ma solo una parte del costo imposto agli altri.

L'uso privato supera quindi il livello socialmente efficiente.

La soluzione può richiedere quote, diritti di proprietà, tasse, comunità di gestione o limiti all'accesso.

La tragedia non è inevitabile: istituzioni locali ben progettate possono sostenere cooperazione e controllo.

Uso efficiente: beneficio marginale privato = costo marginale sociale

34. Primo teorema del benessere: ipotesi

Il primo teorema del benessere richiede assenza di potere di mercato, mercati sufficientemente completi e assenza di esternalità.

Quando una di queste condizioni viene meno, il prezzo può non coordinare correttamente benefici e costi marginali.

Il teorema è quindi sia un risultato positivo sull'efficienza dei mercati competitivi sia una mappa delle ragioni per cui i mercati possono fallire.

Non implica che ogni equilibrio competitivo sia equo.

Equilibrio competitivo + ipotesi standard → Pareto efficienza

35. Efficienza produttiva e allocativa

L'efficienza produttiva richiede produrre un dato output al costo minimo. L'efficienza allocativa richiede produrre la quantità per cui beneficio marginale e costo marginale sociale coincidono.

Un'impresa può essere produttivamente efficiente ma operare in un mercato allocativamente inefficiente, come un monopolista tecnicamente efficiente che restringe l'output.

La concorrenza perfetta ideale combina entrambe: imprese al costo minimo e P=MC.

Tenere separate le due nozioni migliora la qualità delle risposte teoriche.

Produttiva: minimo costo; allocativa: MB=MC

36. Efficienza dinamica

L'efficienza statica guarda all'allocazione data tecnologia e prodotti correnti; l'efficienza dinamica considera innovazione, investimento e sviluppo nel tempo.

Un certo grado di profitto può finanziare ricerca e innovazione, mentre concorrenza intensa disciplina prezzi e costi.

Non esiste una semplice formula che garantisca il trade-off ottimale: dipende da appropriabilità dell'innovazione, brevetti, imitazione e struttura del settore.

Questo tema spiega perché la politica della concorrenza deve valutare anche effetti sull'innovazione, non solo sul prezzo corrente.

Efficienza dinamica: valore intertemporale di innovazione e investimenti

37. Mercato rilevante e sostituibilità

Per valutare potere di mercato occorre definire quali prodotti e aree geografiche costituiscono il mercato rilevante.

L'elasticità incrociata è un indicatore della sostituibilità: se l'aumento del prezzo di A sposta molta domanda verso B, i due beni sono candidati a stare nello stesso mercato.

Nell'antitrust si usano anche test concettuali come l'aumento piccolo ma significativo e non transitorio del prezzo.

La definizione del mercato è funzionale alla valutazione del potere di mercato, non una classificazione merceologica puramente formale.

ε_AB=(∂Q_A/∂P_B)(P_B/Q_A)

38. Surplus e disponibilità a pagare

La curva di domanda inversa può essere letta come disponibilità marginale a pagare per ciascuna unità.

Integrandola fino a Q si ottiene il beneficio lordo totale. Sottraendo la spesa P·Q si ottiene il surplus del consumatore.

Questa lettura è fondamentale per collegare domanda, benessere e politiche pubbliche.

In presenza di effetti reddito molto forti, il surplus marshalliano è una misura approssimata del benessere, mentre CV ed EV sono concettualmente più precise.

Beneficio lordo = ∫₀^Q P_D(q)dq

39. Offerta come costo marginale

In concorrenza, la curva di offerta aggregata può essere interpretata come costo marginale sociale solo se non esistono esternalità e i prezzi degli input riflettono costi opportunità.

L'area sotto l'offerta fino a Q rappresenta il costo variabile evitabile delle unità prodotte.

Questa lettura permette di calcolare surplus totale come area tra domanda e offerta.

Se esiste un'esternalità produttiva, la curva di offerta privata sottostima o sovrastima il costo sociale.

Costo evitabile totale = ∫₀^Q S^-1(q)dq

40. Regola generale del margine

Dietro quasi tutti i modelli del manuale c'è la stessa regola: espandere un'attività finché il beneficio marginale dell'ultima unità uguaglia il costo marginale.

Nel consumatore il beneficio marginale viene confrontato tramite utilità per euro; nell'impresa price-taker P è il ricavo marginale; nel monopolio si usa MR; nel benessere sociale si confrontano MB e MC sociali.

Quando un vincolo lega più scelte, la regola diventa uguaglianza di rapporti marginali: MRS al rapporto dei prezzi, MRTS al rapporto dei prezzi degli input.

Imparare questa architettura riduce drasticamente la necessità di memorizzare formule isolate.

Ottimo marginale: MB=MC, con adattamenti al vincolo e alla struttura strategica