Il significato del limite: avvicinarsi non significa sostituire

Studiare il limite di una funzione significa osservare i suoi valori vicino a una certa ascissa, non soltanto nell’ascissa stessa. Nella scrittura seguente, $x$ è la variabile indipendente, $a$ è il punto verso cui ci avviciniamo e $L$ è il valore verso cui tendono le uscite della funzione:

$$\lim_{x\to a}f(x)=L.$$

La frase «$x$ tende ad $a$» non indica che $x$ debba compiere un movimento fisico o avvicinarsi in modo monotono. Significa che prendiamo in considerazione tutti i valori ammessi sufficientemente vicini ad $a$, escluso eventualmente $a$ stesso. Per questo il limite può esistere anche se $f(a)$ non è definita, oppure può essere diverso da $f(a)$. Quando invece limite e valore coincidono, parleremo di continuità.

Esempio guidato: un buco non impedisce il limite

Consideriamo $f(x)=(x^2-1)/(x-1)$, il cui dominio esclude $1$. Scomponendo il numeratore otteniamo $f(x)=x+1$ per ogni $x\ne1$. I valori della funzione sono quindi vicini a $2$ quando $x$ è vicino a $1$: a $x=0{,}99$ corrisponde $1{,}99$ e a $x=1{,}01$ corrisponde $2{,}01$. Ne segue che il limite in $1$ è $2$, anche se il quoziente iniziale in $1$ non esiste. Definire successivamente $f(1)=100$ non cambierebbe quel limite: cambierebbe soltanto un punto del grafico.

Un grafico e una tabella aiutano a formulare una previsione, ma non costituiscono una dimostrazione. Una funzione può oscillare su intervalli troppo piccoli per essere visibili sullo schermo; la definizione di limite deve valere anche lì.

Dominio, intorni e punti di accumulazione

Sia $f:D\to\mathbb R$. Un intorno di centro $a$ e raggio $\delta>0$ è l’intervallo $(a-\delta,a+\delta)$; i suoi punti soddisfano $|x-a|<\delta$. Togliendo il centro si ottiene un intorno bucato, descritto da $0<|x-a|<\delta$. Il valore assoluto indica una distanza, quindi questa condizione comprende sia punti a sinistra sia punti a destra di $a$.

Il punto $a$ è di accumulazione per $D$ se ogni suo intorno contiene almeno un punto di $D$ diverso da $a$. Questa ipotesi rende sensato avvicinarsi ad $a$ attraverso il dominio. Non è necessario che $a$ appartenga a $D$: $0$ è un punto di accumulazione di $(0,1)$, pur non essendone un elemento. Un punto isolato, invece, possiede un intorno che non contiene altri punti del dominio; in quel punto non si definisce un limite ordinario con la stessa unicità.

Il dominio stabilisce anche da quali lati ci si può avvicinare. Per $\sqrt{x}$, in $0$ è possibile soltanto l’avvicinamento da destra. Per parlare di limite a $+\infty$ il dominio deve essere illimitato superiormente; per quello a $-\infty$ deve essere illimitato inferiormente. I simboli $\pm\infty$ descrivono comportamenti, non numeri reali da sostituire dentro una formula.

Definizione algebrica ε–δ del limite finito

Siano $a$ un punto di accumulazione di $D$ e $L$ un numero reale. Dire che $f(x)$ tende a $L$ per $x\to a$ significa che qualunque precisione richiesta sulle uscite può essere garantita restringendo sufficientemente gli ingressi. La definizione completa si legge in due passaggi:

$$\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall x\in D:$$

$$0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(x)-L|<\varepsilon.$$

Il simbolo $\forall$ significa «per ogni», $\exists$ significa «esiste» e $\Longrightarrow$ significa «implica». ε è una tolleranza positiva arbitraria sull’asse verticale: vogliamo che l’uscita cada nella fascia $(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$. δ è una distanza positiva sull’asse orizzontale, scelta in funzione di ε e del punto considerato. L’implicazione afferma che tutti gli ingressi ammessi nella fascia bucata $(a-\delta,a+\delta)$ producono uscite nella fascia richiesta.

L’ordine dei quantificatori è essenziale: prima viene fissata una qualunque ε, poi si trova una δ adatta, infine la stessa δ deve funzionare per ogni $x$ ammesso nell’intorno. δ può dipendere da ε, ma non essere scelta separatamente dopo aver visto ogni singolo $x$. Non serve una formula unica o una δ massima: qualunque scelta positiva sufficiente dimostra il limite. Inoltre non basta verificare la proprietà per una sola tolleranza, per esempio ε uguale a $0{,}01$: deve valere per ogni ε positiva.

La figura rappresenta $f(x)=2x+1$, $a=1$ e $L=3$. La scelta $\delta=\varepsilon/2$ rende visibile il legame tra le due tolleranze. Il punto centrale può essere escluso: il limite descrive i valori vicini.

Come dimostrare un limite con la definizione

Esempio svolto: una funzione lineare

Vogliamo provare $\lim_{x\to1}(2x+1)=3$. Partiamo dall’errore sulle uscite e lo colleghiamo alla distanza degli ingressi:

$$|(2x+1)-3|=2|x-1|.$$

Fissata una qualunque $\varepsilon>0$, scegliamo $\delta=\varepsilon/2$. Se $0<|x-1|<\delta$, allora $|(2x+1)-3|<2\delta=\varepsilon$. Abbiamo verificato esattamente l’implicazione richiesta, non soltanto sostituito $x=1$.

Esempio svolto: una funzione quadratica

Per dimostrare $\lim_{x\to2}x^2=4$, osserviamo che $|x^2-4|=|x-2||x+2|$. Il secondo fattore dipende da $x$, quindi lo controlliamo localmente: imponendo $|x-2|<1$ abbiamo $1<x<3$ e perciò $|x+2|<5$. Basta scegliere

$$\delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{5}\right\}.$$

Le due richieste sono così soddisfatte insieme: il vincolo $\delta\le1$ mantiene $x$ nella zona in cui vale la stima, mentre $\delta\le\varepsilon/5$ assicura $|x^2-4|<5|x-2|<\varepsilon$. Questo metodo — fattorizzare l’errore, controllare un fattore e scegliere il minimo fra due soglie — ricorre spesso nelle verifiche rigorose.

Limite destro, limite sinistro e limite bilaterale

Il limite sinistro considera soltanto $x<a$; il limite destro soltanto $x>a$. Si scrivono rispettivamente $\lim_{x\to a^-}f(x)$ e $\lim_{x\to a^+}f(x)$. Nella definizione ε–δ si sostituisce $0<|x-a|<\delta$ con $a-\delta<x<a$ per il sinistro e con $a<x<a+\delta$ per il destro, mantenendo $x\in D$.

Se il dominio si accumula su entrambi i lati, il limite bilaterale esiste con valore $L$ se e solo se i due limiti laterali hanno lo stesso valore. Il criterio vale anche per un uguale infinito con segno: due limiti entrambi uguali a $+\infty$ danno limite bilaterale $+\infty$; uno uguale a $+\infty$ e l’altro a $-\infty$ non danno un unico limite bilaterale.

Esempio svolto: il ruolo del valore assoluto

Per $x<0$ vale $|x|=-x$, mentre per $x>0$ vale $|x|=x$. Pertanto

$$\lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=-1,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=1.$$

Il limite bilaterale non esiste. Non è corretto rispondere «±1»: i due risultati appartengono a due avvicinamenti diversi. Se invece una funzione è definita solo per $x\ge0$, il limite in $0$ relativo al dominio è quello destro: non si richiede un limite sinistro dove non ci sono ingressi ammessi.

Limiti infiniti in un punto finito

La scrittura $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ significa che le uscite superano stabilmente qualsiasi soglia positiva quando $x$ è abbastanza vicino ad $a$. Formalmente:

$$\forall M>0\quad\exists\delta>0\quad\forall x\in D:$$

$$0<|x-a|<\delta\quad\Longrightarrow\quad f(x)>M.$$

Per un limite uguale a $-\infty$ si sostituisce l’ultima condizione con $f(x)<-M$. Anche qui sono possibili versioni laterali. La parola stabilmente è decisiva: non basta che la funzione raggiunga valori arbitrariamente grandi in alcuni punti; deve superare la soglia in tutti i punti ammessi abbastanza vicini al centro.

Esempio svolto: $1/x^2$ vicino a zero

Dato $M>0$, scegliamo $\delta=1/\sqrt{M}$. Se $0<|x|<\delta$, allora $x^2<1/M$ e $1/x^2>M$. Quindi $1/x^2\to+\infty$ da entrambi i lati. Per $1/x$, invece, il limite destro è $+\infty$ e quello sinistro è $-\infty$: il limite bilaterale non esiste nella retta reale estesa. Scrivere $1/0=\infty$ resta scorretto, perché la divisione per zero non è definita.

Limiti finiti e infiniti all’infinito

Per $x\to+\infty$ non imponiamo vicinanza a un centro finito: chiediamo che $x$ superi una soglia. Il limite finito $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ significa

$$\forall\varepsilon>0\quad\exists A>0\quad\forall x\in D:$$

$$x>A\quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon.$$

Per $x\to-\infty$ si usa $x<-A$. Se anche l’uscita tende all’infinito, si sostituisce la tolleranza con una soglia: per esempio $f(x)\to+\infty$ quando $x\to+\infty$ significa che per ogni $M>0$ esiste $A>0$ tale che $x>A$ implica $f(x)>M$. Cambiando il verso dell’ingresso e il segno dell’uscita si ottengono tutti gli altri casi.

Esempi svolti

Per dimostrare $1/x\to0$ quando $x\to+\infty$, fissata ε scegliamo $A=1/\varepsilon$: da $x>A$ segue $|1/x|<\varepsilon$. Per provare $x^2\to+\infty$ quando $x\to-\infty$, fissato $M>0$ scegliamo $A=\sqrt M$: da $x<-A$ segue $x^2>M$. Lo stesso polinomio tende a $+\infty$ anche a destra; $x^3$, invece, tende a $-\infty$ a sinistra e a $+\infty$ a destra.

Tutte le definizioni in uno schema

Nella tabella, «per ogni» si riferisce alla tolleranza o soglia richiesta; «esiste» alla soglia sufficiente. L’implicazione deve valere per ogni $x$ del dominio. Nelle prime tre righe $a$ è un punto di accumulazione; nelle successive il dominio deve essere illimitato nella direzione considerata.

Quando il limite non esiste: oscillazioni e successioni

Una funzione può non avere limite perché i lati danno risultati diversi oppure perché, anche da uno stesso lato, i valori continuano a oscillare senza stabilizzarsi. L’esempio fondamentale è $\sin(1/x)$ per $x\to0$: l’argomento attraversa infinite oscillazioni, mentre l’ampiezza resta uguale a $1$. Essere limitata fra $-1$ e $1$ non basta dunque a garantire la convergenza.

Il criterio per successioni rende rigorosa questa osservazione: $f(x)\to L$ per $x\to a$ se e solo se per ogni successione $x_n\in D\setminus\{a\}$ che tende ad $a$, la successione $f(x_n)$ tende a $L$. Per negare un limite basta quindi trovare due successioni di ingressi che arrivano allo stesso punto e producono uscite con limiti diversi.

$$x_n=\frac1{\pi/2+2\pi n},\qquad y_n=\frac1{3\pi/2+2\pi n}.$$

Entrambe tendono a $0$ da destra, ma $\sin(1/x_n)=1$ e $\sin(1/y_n)=-1$. Non esiste neppure il limite destro. Al contrario, verificare una o due successioni che danno lo stesso risultato non prova l’esistenza del limite: il criterio richiede tutte le successioni ammesse. Analogamente, un gran numero di valori calcolati con la calcolatrice non esclude oscillazioni nascoste.

Unicità, limitatezza locale e permanenza del segno

Unicità del limite. Se una funzione ammette limite in un punto di accumulazione, il valore del limite è unico. Nel caso finito, se esistessero due limiti diversi $L$ e $K$, potremmo scegliere $\varepsilon=|L-K|/3$: abbastanza vicino al punto dovrebbero valere contemporaneamente $|f(x)-L|<\varepsilon$ e $|f(x)-K|<\varepsilon$. La disuguaglianza triangolare darebbe $|L-K|<2|L-K|/3$, impossibile.

Limitatezza locale. Se $f(x)\to L\in\mathbb R$, la funzione è limitata in un intorno bucato del punto. Infatti, scegliendo ε uguale a $1$, lì vale $|f(x)|\le|L|+|f(x)-L|<|L|+1$. La conclusione è locale: una funzione può avere limite finito in un punto ed essere illimitata altrove.

Permanenza del segno. Se il limite è strettamente positivo, la funzione è positiva abbastanza vicino al punto; se è strettamente negativo, è negativa. Per $L>0$ basta imporre $|f(x)-L|<L/2$, ottenendo $f(x)>L/2>0$. Non è lecito invertire senza cautela il ragionamento: se $f(x)>0$ vicino al punto e il limite esiste, si conclude soltanto $L\ge0$, perché il limite potrebbe essere zero, come per $x^2$ in $0$.

Confronto e teorema dei carabinieri

Se $f(x)\le g(x)$ in un intorno bucato e i rispettivi limiti finiti sono $L$ e $K$, allora $L\le K$. Le disuguaglianze strette, però, possono diventare uguaglianze passando al limite. Se inoltre una funzione resta compresa fra due funzioni con lo stesso limite, deve convergere a quel valore: è il teorema del confronto, detto anche dei carabinieri.

$$g(x)\le f(x)\le h(x),\quad g(x)\to L,\quad h(x)\to L \quad\Longrightarrow\quad f(x)\to L.$$

Esempio svolto: un’oscillazione che si spegne

Poiché $-1\le\sin(1/x)\le1$ e $x^2\ge0$, abbiamo $-x^2\le x^2\sin(1/x)\le x^2$. Gli estremi tendono entrambi a zero; quindi anche $x^2\sin(1/x)$ tende a zero. Le oscillazioni non impediscono il limite quando la loro ampiezza si annulla. Più in generale, il prodotto di un infinitesimo per una funzione limitata tende a zero, anche se quest’ultima non ha limite.

Esistono anche confronti per i limiti infiniti: se $f(x)\ge g(x)$ e $g(x)\to+\infty$, allora $f(x)\to+\infty$. Per esempio $x^2+\sin x\ge x^2-1$, dunque $x^2+\sin x\to+\infty$ per $x\to\pm\infty$.

Algebra dei limiti e composizione

Se $f(x)\to L$ e $g(x)\to K$, con $L,K$ finiti, valgono le regole seguenti. Il numero $c$ è una costante reale:

$$f+g\to L+K,\qquad cf\to cL,\qquad fg\to LK.$$

$$\frac{f}{g}\to\frac{L}{K}\quad\text{se }K\ne0.$$

Il limite di una potenza intera positiva è la stessa potenza del limite. Per radici e potenze reali occorre rispettare il dominio: una radice quadrata richiede argomento non negativo, mentre potenze con esponenti reali variabili si trattano normalmente con base positiva. Le operazioni devono essere definite nell’intorno considerato; le regole non autorizzano divisioni per zero.

Per la composizione, se $g(x)\to b$ e $F$ è continua in $b$, allora $F(g(x))\to F(b)$. Per esempio, da $g(x)\to0$ segue $e^{g(x)}\to1$. Se conosciamo soltanto il limite di $F(t)$ per $t\to b$, senza continuità in $b$, serve assicurare anche che $g(x)\ne b$ abbastanza vicino al punto, oppure che il valore eventualmente assunto da $F(b)$ sia compatibile col limite. Questa cautela evita di applicare un limite bucato a una composizione che visita continuamente proprio il centro.

Aritmetica con gli infiniti e segno del denominatore

Le regole con gli infiniti sono abbreviazioni di teoremi sui limiti, non un’estensione indiscriminata dell’aritmetica ordinaria. Un limite finito sommato a $+\infty$ dà $+\infty$; il prodotto di una quantità tendente a un numero strettamente positivo per una quantità tendente a $+\infty$ dà $+\infty$; con un limite negativo cambia il segno. Un numeratore con limite finito diviso per un denominatore che tende a un infinito con segno tende a zero.

Se il numeratore tende a un numero non nullo e il denominatore tende a zero, è indispensabile conoscerne il segno vicino al punto. La notazione $0^+$ significa «tende a zero attraverso valori positivi»; non è un numero diverso da zero. Per esempio

$$\lim_{x\to2^+}\frac3{x-2}=+\infty,\qquad \lim_{x\to2^-}\frac3{x-2}=-\infty.$$

Per $3/(x-2)^2$ il denominatore è invece positivo da entrambi i lati, quindi il limite bilaterale in $2$ è $+\infty$. Se il denominatore cambia segno infinite volte, l’informazione «tende a zero» da sola non determina un limite infinito con segno. Anche l’eventuale potenza pari o dispari dei fattori va controllata.

Le sette forme indeterminate

Le scritture seguenti descrivono situazioni nelle quali conoscere soltanto i limiti dei pezzi non basta a conoscere il limite dell’intera espressione:

$$\frac00,\quad\frac\infty\infty,\quad\infty-\infty,\quad0\cdot\infty, \quad1^\infty,\quad0^0,\quad\infty^0.$$

Non sono risultati e non significano automaticamente che il limite non esiste. Per esempio, quando $x\to0^+$, $x/x\to1$, $x^2/x\to0$ e $x/x^2\to+\infty$: tutti e tre i quozienti hanno forma iniziale $0/0$. Si possono ottenere anche risultati negativi o oscillazioni. È il rapporto fra le velocità di variazione, e non la sola forma simbolica, a decidere il risultato.

Il quoziente «numero non nullo diviso zero» non è una forma indeterminata $0/0$: richiede invece lo studio del segno e dei lati. Neppure «zero diviso numero non nullo» è indeterminato: il limite è zero.

Sostituzione, fattorizzazione e cancellazione lecita

Il primo tentativo consiste nel riconoscere se la funzione è continua nel punto. Se tutte le operazioni sono ammesse, il limite si calcola per sostituzione. Se compare $0/0$, il passaggio successivo è cercare fattori comuni. Si cancellano fattori, non addendi, e l’uguaglianza ottenuta deve valere nei punti dell’intorno bucato.

Esempio svolto

$$\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x^2-5x+6} =\lim_{x\to3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} =\frac6{1}=6.$$

La semplificazione è lecita per $x\ne3$; ciò basta perché il limite non usa il valore nel centro. Il dominio originario esclude anche $2$, ma possiamo scegliere un intorno di $3$ che non lo contenga. Non abbiamo quindi «cancellato uno zero»: abbiamo cancellato il fattore non nullo $x-3$ nei punti in cui stavamo calcolando la funzione.

Se numeratore e denominatore contengono rispettivamente $(x-a)^m$ e $(x-a)^n$, dopo aver eliminato i fattori comuni il confronto fra $m$ e $n$ aiuta a prevedere il comportamento. Con fattori residui aventi limite non nullo, $m>n$ produce zero, $m=n$ un limite finito non nullo, $m<n$ richiede lo studio del segno della potenza al denominatore.

Razionalizzazione e differenze fra radicali

La razionalizzazione usa l’identità $(u-v)(u+v)=u^2-v^2$. È particolarmente efficace quando una differenza di radici nasconde un fattore che si annulla. Moltiplicare per il coniugato significa moltiplicare numeratore e denominatore per la stessa espressione, dove questa non è nulla.

Esempio svolto in un punto finito

$$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{1+x}+1}=\frac12.$$

Il prodotto con il coniugato trasforma il numeratore in $x$, che si semplifica per $x\ne0$. Il dominio contiene un intero intorno di zero, quindi entrambi i lati sono ammessi.

Esempio svolto all’infinito

$$\sqrt{x^2+3x}-x=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}.$$

Per $x\to+\infty$ possiamo dividere sopra e sotto per $x>0$, ottenendo $3/(\sqrt{1+3/x}+1)\to3/2$. Per $x\to-\infty$ non si può ripetere lo stesso passaggio dimenticando il segno: $\sqrt{x^2}=|x|=-x$. La differenza iniziale cresce come $-2x$ e tende quindi a $+\infty$. Le due direzioni vanno sempre trattate separatamente.

Funzioni razionali e termini dominanti

In un polinomio, all’infinito domina il termine di grado massimo. Per un quoziente $P(x)/Q(x)$ con gradi $m,n$ e coefficienti principali non nulli $a_m,b_n$, si raccoglie la potenza più alta o si divide numeratore e denominatore per $x^n$. Se $m<n$ il limite è zero; se $m=n$ è $a_m/b_n$; se $m>n$ il comportamento è quello di $(a_m/b_n)x^{m-n}$, con il relativo segno.

Esempi svolti

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5}=\frac32.$$

Dividendo per $x^2$ si ottiene $(3-1/x+1/x^2)/(2+5/x^2)$. Invece $(2x^3+1)/(x^2+4)$ si comporta come $2x$: tende a $+\infty$ a destra e a $-\infty$ a sinistra. Per $(x+1)/(x^3-2)$ il denominatore ha grado maggiore e il limite è zero in entrambe le direzioni.

Il termine dominante è utile solo dopo aver verificato eventuali cancellazioni. Nella differenza $(x^2+x)-x^2$ i due termini quadratici si cancellano esattamente e resta $x$: fermarsi alla forma $\infty-\infty$ o dichiarare che «domina $x^2$» darebbe un ragionamento incompleto.

Limiti notevoli trigonometrici

I limiti trigonometrici fondamentali usano angoli espressi in radianti. Il principale è $\sin t/t\to1$ per $t\to0$. Per $0<t<\pi/2$, il confronto geometrico fra aree nel cerchio unitario dà $\sin t<t<\tan t$; dividendo si ricava $\cos t<\sin t/t<1$. Il teorema dei carabinieri e la parità del rapporto estendono il risultato ai due lati.

$$\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1,\qquad \lim_{t\to0}\frac{\tan t}{t}=1,\qquad \lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac12.$$

L’ultimo deriva da $1-\cos t=2\sin^2(t/2)$. La variabile che tende a zero può essere un’espressione composta: conta che l’argomento del seno e il denominatore siano proporzionati correttamente.

Esempi svolti

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{5x} =\frac35\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{3x}=\frac35.$$

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{x^2} =4\lim_{x\to0}\frac{1-\cos(2x)}{(2x)^2}=2.$$

Per $\sin(2x)/\tan(5x)$ si moltiplica per i fattori che ricostruiscono i due limiti notevoli: il risultato è $2/5$. Non si può invece applicare $\sin t/t\to1$ a $\sin x/x$ quando $x\to+\infty$: in quel caso il limite è zero per confronto, perché il numeratore è limitato.

Limiti notevoli esponenziali, logaritmici e di potenza

Il logaritmo naturale $\ln$ ha base $e$. I limiti seguenti descrivono il comportamento vicino a zero di esponenziali, logaritmi e potenze. Nelle formule con base $b$ si richiede $b>0$; per il logaritmo in base $b$ anche $b\ne1$. Il parametro $\alpha$ è reale e, vicino a zero, $1+t$ è positivo.

$$\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1,\qquad \lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.$$

$$\lim_{t\to0}\frac{b^t-1}{t}=\ln b,\qquad \lim_{t\to0}\frac{(1+t)^\alpha-1}{t}=\alpha.$$

Da questi risultati si ricava $\log_b(1+t)/t\to1/\ln b$. Le espressioni composte richiedono di conservare i coefficienti: $\ln(1+4x)/x\to4$, $(e^{3x}-1)/(2x)\to3/2$ e $((1+2x)^{1/3}-1)/x\to2/3$.

Il numero $e$ e la forma $1^\infty$

$$\lim_{t\to0}(1+t)^{1/t}=e,\qquad \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e.$$

Per capire il primo, prendiamo il logaritmo: $\ln((1+t)^{1/t})=\ln(1+t)/t\to1$. Passando all’esponenziale, il limite è $e$. La base deve essere positiva; vicino a $t=0$ ciò è garantito. Questa spiegazione chiarisce perché una base che tende a $1$ non obbliga la potenza a tendere a $1$ quando l’esponente cresce senza limite.

Infinitesimi, equivalenze e notazione o piccolo

Un infinitesimo è una funzione che tende a zero. Due funzioni sono asintoticamente equivalenti, scritto $f\sim g$, se $g$ è non nulla abbastanza vicino al punto e $f/g\to1$. L’equivalenza non è un’identità: esprime che l’errore relativo diventa trascurabile. Per $t\to0$ valgono

$$\sin t\sim t,\quad\tan t\sim t,\quad e^t-1\sim t,\quad \ln(1+t)\sim t,\quad1-\cos t\sim\frac{t^2}{2}.$$

Si scrive $f=o(g)$ se $f/g\to0$, con $g$ non nulla nell’intorno bucato. Per esempio $x^2=o(x)$ per $x\to0$: $x^2$ è un infinitesimo di ordine superiore, cioè si annulla più rapidamente. Se $f(x)/x^k\to c\ne0$, si dice che $f$ ha ordine $k$ rispetto a $x$, nel lato in cui la potenza è definita.

Le equivalenze si possono usare nei prodotti e nei quozienti rispettando le condizioni di dominio. Nelle differenze bisogna evitare cancellazioni dei termini principali: sostituire $\sin x$ con $x$ in $(\sin x-x)/x^3$ cancellerebbe proprio l’informazione necessaria. Il limite vero è $-1/6$, non zero. Quando i primi termini si annullano, occorre conoscere l’ordine successivo.

Confronto fra infiniti e gerarchia delle crescite

Per $x\to+\infty$, con $\alpha>0$, $\beta>0$ e $b>1$, ogni potenza positiva del logaritmo cresce più lentamente di ogni potenza positiva di $x$, e ogni potenza di $x$ cresce più lentamente dell’esponenziale:

$$\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha}=0, \qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{b^x}=0.$$

Per le successioni si aggiunge, per ogni base fissa $b>1$, la crescita del fattoriale: $b^n/n!\to0$, e inoltre $n!/n^n\to0$. Questi confronti non significano che l’ordine sia già evidente per ogni piccolo valore della variabile: sono affermazioni sul comportamento sufficientemente lontano.

Esempi svolti e cambio di variabile

Si ottiene subito $\ln x/\sqrt x\to0$ e $x^5/e^x\to0$. Per $x\to0^+$, il prodotto $x\ln x$ ha forma $0\cdot(-\infty)$. Ponendo $t=1/x$, abbiamo $t\to+\infty$ e $x\ln x=-(\ln t)/t\to0$, attraverso valori negativi. Più in generale $x^\alpha|\ln x|^\beta\to0$ per $\alpha,\beta>0$: la potenza che si annulla prevale sulla crescita del logaritmo.

Potenze indeterminate e metodo del logaritmo

Se $u(x)>0$, ogni potenza reale $u(x)^{v(x)}$ si può riscrivere come $\exp(v(x)\ln u(x))$. Per le forme $1^\infty$, $0^0$ e $\infty^0$ si studia quindi il limite dell’esponente trasformato:

$$H=\lim v(x)\ln u(x).$$

Se $H$ è finito, il limite della potenza è $e^H$; se $H=+\infty$ è $+\infty$; se $H=-\infty$ è zero. Bisogna aver controllato la positività della base nel tratto studiato, perché il logaritmo reale non è definito su basi non positive.

Tre esempi svolti

Per $x\to+\infty$, il logaritmo di $(1+2/x)^{3x}$ è $3x\ln(1+2/x)\to6$, grazie a $\ln(1+t)\sim t$: la potenza tende a $e^6$. Per $x\to0^+$, $x^x$ ha forma $0^0$ e il suo logaritmo è $x\ln x\to0$: il risultato è $1$. Infine $x^{1/x}$ per $x\to+\infty$ ha forma $\infty^0$ e logaritmo $(\ln x)/x\to0$: anche questo limite è $1$.

Una regola utile riassume il primo caso: se $u(x)\to0$, $1+u(x)>0$ e $v(x)u(x)\to\lambda$, allora $(1+u(x))^{v(x)}\to e^\lambda$. La dimostrazione usa il prodotto $v(x)u(x)\,[\ln(1+u(x))/u(x)]$, dove il secondo fattore tende a $1$; se $u$ si annulla in alcuni punti, il rapporto si può prolungare lì col valore $1$.

De l’Hôpital: ipotesi, uso e limiti del metodo

Il teorema di de l’Hôpital si usa dopo aver studiato le derivate. In una sua formulazione operativa, $f$ e $g$ devono essere derivabili nell’intervallo laterale considerato, il denominatore e la sua derivata devono essere non nulli lì, e il quoziente deve presentare una forma $0/0$ oppure una forma con numeratore e denominatore entrambi divergenti in valore assoluto. Se esiste, finito o infinito con segno, il limite di $f'/g'$, allora il limite di $f/g$ esiste ed è uguale a esso. Sono ammessi estremi finiti o infiniti; per un limite bilaterale si controllano entrambi i lati.

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

Questa uguaglianza riguarda i limiti, non le funzioni. Si derivano separatamente numeratore e denominatore: non si applica la regola della derivata del quoziente. Inoltre il teorema dà una condizione sufficiente: se il limite del rapporto delle derivate non esiste, quello originario potrebbe comunque esistere.

Esempio svolto e applicazione ripetuta

Per $x\to0$, $(e^x-1-x)/x^2$ ha forma $0/0$. Il rapporto delle derivate è $(e^x-1)/(2x)$, ancora $0/0$. Applicando di nuovo il teorema, dopo aver ricontrollato le ipotesi, si arriva a $e^x/2\to1/2$. Le forme $0\cdot\infty$ e $\infty-\infty$ devono prima essere trasformate in quozienti adatti.

Non si applica invece de l’Hôpital a $(x^2+1)/x$ per $x\to0^+$: il numeratore tende a $1$, quindi non c’è $0/0$. Il limite è $+\infty$; derivare illegittimamente darebbe $2x\to0$. Infine, non si può dimostrare il limite notevole del seno usando una formula di derivazione la cui dimostrazione dipende proprio da quel limite: sarebbe un ragionamento circolare.

Sviluppi di Taylor e cancellazioni di ordine superiore

Gli sviluppi di Taylor, approfonditi nel calcolo differenziale, esprimono una funzione come polinomio più un resto controllato. Qui $o(x^k)$ indica un resto che, diviso per $x^k$, tende a zero. Per $x\to0$:

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),$$

$$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$

$$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2).$$

La scelta dell’ordine dipende dal denominatore e dalle cancellazioni previste. Per $(\sin x-x)/x^3$ bisogna arrivare al termine cubico: il numeratore diventa $-x^3/6+o(x^3)$ e il limite è $-1/6$. Per $(1-\cos x-x^2/2)/x^4$, i termini quadratici si cancellano e resta $-x^4/24+o(x^4)$: il limite è $-1/24$.

Uno sviluppo non è una somma infinita scritta informalmente e non autorizza a ignorare un resto della stessa grandezza del denominatore. Se si sviluppa intorno ad $a\ne0$, conviene porre $h=x-a$ e lavorare per $h\to0$. Negli esercizi risolvibili con una semplice scomposizione, Taylor può essere superfluo.

Valore assoluto, funzioni a tratti e parametri

Un valore assoluto o una funzione definita a tratti impone di individuare quale espressione vale su ciascun lato del punto. Nel calcolo del limite laterale si usa la formula valida vicino al punto da quel lato, non quella assegnata al solo centro. La distinzione è particolarmente importante quando si devono determinare parametri.

Esempio svolto

Consideriamo $f(x)=ax+1$ per $x<1$ e $f(x)=x^2+b$ per $x\ge1$. Il limite sinistro è $a+1$, quello destro è $1+b$. Il limite bilaterale esiste esattamente quando $a=b$. Poiché il valore nel punto è $f(1)=1+b$, questa stessa condizione rende la funzione continua. Se al solo punto $1$ fosse assegnato un terzo parametro $c$, la continuità richiederebbe anche $c=a+1$.

Per un’espressione come $|x-2|/(x-2)$, invece, non bisogna introdurre parametri: basta togliere il valore assoluto con il segno corretto su ciascun intervallo. Il risultato è $-1$ a sinistra e $1$ a destra, quindi non esiste il limite in $2$.

Asintoti verticali e orizzontali

Una retta verticale $x=a$ è un asintoto verticale se almeno un limite laterale della funzione in $a$ è $+\infty$ o $-\infty$. Non basta che il denominatore si annulli: può esserci una semplificazione con limite finito. Per esempio $(x^2-1)/(x-1)$ ha un buco in $1$, mentre $1/(x-1)$ ha un asintoto verticale.

La retta $y=L$ è un asintoto orizzontale nella direzione $+\infty$ o $-\infty$ se in quella direzione $f(x)\to L$ finito. Una funzione può avere due asintoti orizzontali diversi: $\arctan x$ tende a $\pi/2$ a destra e a $-\pi/2$ a sinistra. Un asintoto orizzontale può essere attraversato anche infinite volte: $\sin x/x$ interseca $y=0$ infinite volte, pur tendendo a zero all’infinito.

Le discontinuità di seconda specie non hanno tutte un asintoto verticale: $\sin(1/x)$ non ne ha in zero perché nessun limite laterale è infinito. Viceversa, l’eventuale valore assegnato alla funzione nel punto non elimina un asintoto verticale, perché non cambia i limiti laterali.

Asintoti obliqui e divisione fra polinomi

La retta $y=mx+q$, con $m\ne0$, è asintoto obliquo in una direzione infinita se la differenza verticale fra funzione e retta tende a zero. Si calcolano nell’ordine:

$$m=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}x,\qquad q=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-mx].$$

La stessa direzione va mantenuta nei due limiti. Entrambi i risultati devono essere finiti e $m$ deve essere diverso da zero; $m=0$ rimanda eventualmente a un asintoto orizzontale. Se il primo limite è infinito, non esiste un asintoto obliquo con pendenza finita in quella direzione.

Esempio svolto

La divisione fra polinomi dà $(x^2+1)/(x-1)=x+1+2/(x-1)$. Il resto tende a zero per $x\to\pm\infty$, quindi l’asintoto obliquo è $y=x+1$ in entrambe le direzioni. La funzione ha anche l’asintoto verticale $x=1$. Per i quozienti di polinomi, la differenza di un grado produce un asintoto obliquo; una differenza maggiore può produrre un asintoto polinomiale, ma non una retta obliqua.

Limiti di successioni e teorema di monotonia

Una successione è una funzione definita sugli interi naturali. La convergenza $a_n\to L$ significa che per ogni $\varepsilon>0$ esiste un indice $N\in\mathbb N$ tale che per ogni $n\ge N$ valga $|a_n-L|<\varepsilon$. Non ci sono qui due lati di un punto finito: l’indice cresce verso $+\infty$. Anche per le successioni si distinguono convergenza finita, divergenza a un infinito con segno e assenza di limite per oscillazione, come in $(-1)^n$.

Ogni successione monotona e limitata converge: una crescente converge al suo estremo superiore, una decrescente al suo estremo inferiore. Se una successione crescente è illimitata superiormente, tende a $+\infty$; vale l’analogo decrescente. Per una funzione monotona su un intervallo, i limiti laterali agli estremi esistono nella retta reale estesa; non sono necessariamente finiti.

Esempio svolto con ricorrenza

Sia $a_1=1$ e $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$. Per induzione $1\le a_n\le2$; inoltre, per $1\le a_n\le2$, la disuguaglianza $2+a_n\ge a_n^2$ prova $a_{n+1}\ge a_n$. La successione è quindi crescente e limitata, perciò converge. Soltanto adesso passiamo al limite nella ricorrenza: $L=\sqrt{2+L}$, da cui $L=2$ oppure $L=-1$ dopo aver elevato al quadrato; l’intervallo $[1,2]$ esclude $-1$. Risolvere l’equazione del limite senza prima dimostrare la convergenza non sarebbe sufficiente.

Strategia completa per affrontare un limite

1. Determina il dominio e verifica da quali lati il punto è raggiungibile.
2. Identifica se l’ingresso tende a un punto finito, a $+\infty$ o a $-\infty$.
3. Prova la sostituzione solo quando le operazioni e la continuità lo consentono; altrimenti riconosci la forma iniziale.
4. Cerca la trasformazione più semplice: fattorizzazione, coniugato, raccoglimento, denominatore comune o cambio di variabile.
5. Usa limiti notevoli ed equivalenze controllando che l’argomento tenda al valore richiesto e che non si perdano termini per cancellazione.
6. Per una potenza indeterminata con base positiva, studia il logaritmo. Per un’oscillazione, prova un confronto o due successioni.
7. Se servono de l’Hôpital o Taylor, verifica le ipotesi e mantieni l’ordine di sviluppo necessario.
8. Concludi indicando valore e segno; se il limite bilaterale manca, riporta separatamente i risultati laterali.

Un risultato plausibile deve essere coerente con dominio, segno e ordine di grandezza. Se un quoziente è positivo in tutto l’intorno, un limite negativo segnala un errore; se il numeratore è limitato e il denominatore tende a infinito, un risultato infinito richiede di ricontrollare i passaggi.

Esercizi di riepilogo con svolgimento

Differenza di frazioni

Calcolare $\lim_{x\to0}(1/x-1/(x+x^2))$. I due addendi divergono, ma il denominatore comune semplifica il problema:

$$\frac1x-\frac1{x+x^2}=\frac{(x+x^2)-x}{x(x+x^2)}=\frac1{1+x}.$$

L’identità vale per $x\ne0,-1$. Il limite cercato è $1$, da entrambi i lati.

Logaritmo diviso seno

Calcolare $\lim_{x\to0}\ln(1+2x)/\sin(3x)$. Il dominio comprende un intorno di zero. Separiamo i due rapporti notevoli:

$$\frac{\ln(1+2x)}{\sin(3x)} =\frac{\ln(1+2x)}{2x}\,\frac{3x}{\sin(3x)}\,\frac23\longrightarrow\frac23.$$

Radicale all’infinito con sottrazione

Calcolare $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+4x+1}-x)$. Il coniugato dà $(4x+1)/(\sqrt{x^2+4x+1}+x)$. Dividendo per $x>0$ si ottiene $(4+1/x)/(\sqrt{1+4/x+1/x^2}+1)\to2$.

Potenza con base tendente a uno

Calcolare $\lim_{x\to0}(1+3x)^{2/x}$. La base è positiva vicino a zero. Il logaritmo è $2\ln(1+3x)/x\to6$, dunque il limite è $e^6$. Il risultato vale da entrambi i lati ammessi, anche se l’esponente cambia segno.

Cancellazione dopo il primo ordine

Calcolare $\lim_{x\to0}(\ln(1+x)-x)/x^2$. Lo sviluppo $\ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)$ trasforma il rapporto in $-1/2+o(1)$: il limite è $-1/2$. Usare soltanto $\ln(1+x)\sim x$ non avrebbe conservato il termine decisivo.

Limiti laterali e fattore quadratico

Calcolare $\lim_{x\to1}(x+2)/(x-1)^2$. Il numeratore tende a $3>0$, il denominatore tende a zero restando positivo: entrambi i limiti laterali sono $+\infty$, e anche quello bilaterale è $+\infty$. Se il denominatore fosse $x-1$, i due segni sarebbero opposti.

Esercizi da svolgere e risultati commentati

Prima di leggere il risultato, indica per ciascun limite il dominio locale, la forma iniziale e il metodo scelto.

Definizione rigorosa di continuità

Una funzione $f:D\to\mathbb R$ è continua in $a\in D$ se per ogni $\varepsilon>0$ esiste $\delta>0$ tale che, per ogni $x\in D$, da $|x-a|<\delta$ segue $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$. Rispetto alla definizione di limite non si esclude $x=a$, perché proprio in quel punto la differenza delle uscite è zero. Se $a$ è anche un punto di accumulazione del dominio, la definizione equivale a

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).$$

Occorre quindi che il valore $f(a)$ sia definito, che il limite relativo al dominio esista finito e che i due coincidano. In un punto interno raggiungibile da entrambi i lati, il controllo si riassume così:

$$\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).$$

La rappresentazione intuitiva «disegnare senza staccare la penna» aiuta sui normali intervalli, ma non sostituisce questa definizione. La continuità è una proprietà rispetto al dominio effettivo, e non richiede necessariamente che esista un grafico su tutta la retta reale.

Continuità laterale, agli estremi e nei punti isolati

Su un intervallo chiuso $[a,b]$, essere continui significa esserlo in ogni punto interno, essere continui da destra in $a$ e da sinistra in $b$. Non si richiedono valori esterni al dominio. La funzione $\sqrt{x}$ è perciò continua in $0$ sul dominio $[0,+\infty)$, perché $\lim_{x\to0^+}\sqrt{x}=0=f(0)$.

Ogni funzione è continua in un punto isolato del proprio dominio: scegliendo una δ abbastanza piccola, l’unico punto del dominio nell’intorno è il centro, e la differenza $|f(x)-f(a)|$ è zero. Questo non fornisce un limite bucato ordinario in quel punto, perché manca l’ipotesi di accumulazione.

In senso rigoroso, si parla di continuità o discontinuità di $f$ nei punti del suo dominio. Nei manuali scolastici si chiamano spesso «punti di discontinuità» anche punti esclusi dal dominio ma di accumulazione, distinguendo singolarità eliminabili e non eliminabili. Useremo anche questa convenzione, dichiarando sempre se il valore nel punto manca. Le tre specie descritte sotto presuppongono, nella loro classificazione bilaterale, che entrambi i lati siano raggiungibili.

Funzioni elementari e operazioni che conservano la continuità

Polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche, radicali e funzioni trigonometriche inverse sono continui nei rispettivi domini. Anche somma, prodotto e composizione di funzioni continue sono continui dove le operazioni sono definite; il quoziente lo è dove il denominatore non si annulla. Queste proprietà spiegano perché moltissimi limiti si calcolano per sostituzione.

La funzione $1/x$ è continua in ogni punto del suo dominio $\mathbb R\setminus\{0\}$. L’assenza del valore in zero non autorizza a dire che «è discontinua ovunque». Analogamente, per studiare una funzione a tratti basta normalmente controllare i raccordi fra le diverse formule e gli eventuali punti problematici all’interno dei singoli tratti.

Derivabilità e continuità non sono equivalenti. La derivabilità in un punto implica continuità, ma il contrario è falso: $|x|$ è continua in zero, pur avendo derivate laterali diverse. Un angolo nel grafico non è quindi una discontinuità della funzione; riguarda la derivata.

Discontinuità di prima specie: il salto

Si ha una discontinuità di prima specie, o di salto, quando i due limiti laterali esistono entrambi finiti, ma sono diversi. Indichiamo con $L_-$ il limite sinistro e con $L_+$ quello destro:

$$L_-,L_+\in\mathbb R,\qquad L_-\ne L_+.$$

L’ampiezza del salto è $|L_+-L_-|$; se interessa anche la direzione si può considerare il salto con segno $L_+-L_-$. Il valore assegnato a $f(a)$ può coincidere con uno dei due limiti, con nessuno, oppure mancare: non modifica il fatto che i due lati non si raccordano. Nessuna scelta del solo valore centrale può rendere continua la funzione.

Esempio svolto

Sia $f(x)=x+1$ per $x<0$ e $f(x)=x+3$ per $x\ge0$. In zero, il limite sinistro è $1$, quello destro è $3$ e $f(0)=3$. La funzione è continua da destra, ma non è continua in senso bilaterale; presenta una discontinuità di prima specie con salto di ampiezza $2$.