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Matematica · allenamento guidato

Esercizi svolti

143 esercizi ordinati per argomento. Apri ogni scheda per seguire tutti i passaggi fino al risultato finale.

143esercizi
7argomenti

143 esercizi trovati

Esercizio 1

Costruzione di una matrice

Testo. Costruire la matrice A=(aᵢⱼ)₄×₃ con aᵢⱼ=2i−j.
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1
Impostiamo la regola
Partiamo dalla definizione richiesta e costruiamo gli elementi uno alla volta, rispettando l’ordine di riga e colonna.
2
Calcolo
Calcolando 2i−j per i=1,…,4 e j=1,…,3 si ottiene A=[10−1321543765].
3
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Calcolando 2i−j per i=1,…,4 e j=1,…,3 si ottiene A=[10−1321543765].
4
Risultato
Calcolando 2i−j per i=1,…,4 e j=1,…,3 si ottiene A=[10−1321543765].
Risultato finale. Calcolando 2i−j per i=1,…,4 e j=1,…,3 si ottiene A=[10−1321543765].
Esercizio 2

Uguaglianza tra matrici con parametri

Testo. Determinare t,u,v,w sapendo che [3t−12tu]=[t2vu+1t+w].
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1
Traduciamo la condizione
Due matrici sono uguali quando gli elementi nelle stesse posizioni coincidono. Se si richiede simmetria, imponiamo A=Aᵀ e confrontiamo gli elementi fuori diagonale.
2
Calcolo
L’uguaglianza tra matrici richiede l’uguaglianza elemento per elemento: 3=t, t−1=2v, 2t=u+1, u=t+w.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi t=3, v=1, u=5, w=2.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: L’uguaglianza tra matrici richiede l’uguaglianza elemento per elemento: 3=t, t−1=2v, 2t=u+1, u=t+w. Quindi t=3, v=1, u=5, w=2.
Risultato finale. L’uguaglianza tra matrici richiede l’uguaglianza elemento per elemento: 3=t, t−1=2v, 2t=u+1, u=t+w. Quindi t=3, v=1, u=5, w=2.
Esercizio 3

Operazioni tra matrici rettangolari

Testo. Date A=[1204−3−1] e B=[012102], calcolare A+B, 3A e −(1/2)B.
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1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
A+B=[1325−31]
3
Proseguiamo il calcolo (2)
3A=[36012−9−3]
4
Proseguiamo il calcolo (3)
−(1/2)B=[0−12−1−120−1].
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: A+B=[1325−31]; 3A=[36012−9−3]; −(1/2)B=[0−12−1−120−1].
Risultato finale. A+B=[1325−31]; 3A=[36012−9−3]; −(1/2)B=[0−12−1−120−1].
Esercizio 4

Matrice identità

Testo. Costruire A=(aᵢⱼ)₃×₃ con aᵢᵢ=1 e aᵢⱼ=0 per i≠j.
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1
Impostiamo la regola
Partiamo dalla definizione richiesta e costruiamo gli elementi uno alla volta, rispettando l’ordine di riga e colonna.
2
Calcolo
La matrice richiesta è la matrice identità I₃=[100010001].
3
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: La matrice richiesta è la matrice identità I₃=[100010001].
4
Risultato
La matrice richiesta è la matrice identità I₃=[100010001].
Risultato finale. La matrice richiesta è la matrice identità I₃=[100010001].
Esercizio 5

Uguaglianza tra matrici non lineare

Testo. Determinare u e v affinché [(1−u)²v²3v2u56u−1]=[44uv−3vu−v6v+5−1].
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1
Traduciamo la condizione
Due matrici sono uguali quando gli elementi nelle stesse posizioni coincidono. Se si richiede simmetria, imponiamo A=Aᵀ e confrontiamo gli elementi fuori diagonale.
2
Calcolo
Dal confronto degli elementi: u=3 e v=−2.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Le altre condizioni risultano coerenti: (1−3)²=4, (−2)²=4, 2·3=−3(−2), 5=3−(−2).
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Dal confronto degli elementi: u=3 e v=−2. Le altre condizioni risultano coerenti: (1−3)²=4, (−2)²=4, 2·3=−3(−2), 5=3−(−2).
Risultato finale. Dal confronto degli elementi: u=3 e v=−2. Le altre condizioni risultano coerenti: (1−3)²=4, (−2)²=4, 2·3=−3(−2), 5=3−(−2).
Esercizio 6

Somma e prodotto per scalare

Testo. Date A=[0123] e B=[1−152], calcolare A+B e 3A.
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1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
A+B=[1075] e 3A=[0369].
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: A+B=[1075] e 3A=[0369].
Risultato finale. A+B=[1075] e 3A=[0369].
Esercizio 7

Combinazioni lineari di matrici

Testo. Date A=[01−1237] e B=[1−15019], calcolare A+B, A−B e 5A−3B.
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1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
A+B=[1042416]
3
Proseguiamo il calcolo (2)
A−B=[-12−622−2]
4
Proseguiamo il calcolo (3)
5A−3B=[-38−2010128].
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: A+B=[1042416]; A−B=[-12−622−2]; 5A−3B=[-38−2010128].
Risultato finale. A+B=[1042416]; A−B=[-12−622−2]; 5A−3B=[-38−2010128].
Esercizio 8

Prodotto tra matrici e compatibilità dimensionale

Testo. Date A=[0122314−16] e B=[3210−11], calcolare AB e stabilire se BA è definito.
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1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
AB=[-1285514].
4
Proseguiamo il calcolo (2)
BA non è definito: B è 3×2 e A è 3×3, quindi le dimensioni interne 2 e 3 non coincidono.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB=[-1285514]. BA non è definito: B è 3×2 e A è 3×3, quindi le dimensioni interne 2 e 3 non coincidono.
Risultato finale. AB=[-1285514]. BA non è definito: B è 3×2 e A è 3×3, quindi le dimensioni interne 2 e 3 non coincidono.
Esercizio 9

Prodotti AB e BA — caso 1

Testo. Date A=[0−231] e B=[-1415], calcolare AB e BA.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
AB=[-2−10-217]
3
Proseguiamo il calcolo (2)
BA=[126153].
4
Proseguiamo il calcolo (3)
In generale AB e BA non coincidono.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB=[-2−10-217]; BA=[126153]. In generale AB e BA non coincidono.
Risultato finale. AB=[-2−10-217]; BA=[126153]. In generale AB e BA non coincidono.
Esercizio 10

Prodotti AB e BA — caso 2

Testo. Date A=[83−2104] e B=[2−2431−5], calcolare AB e BA.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
AB=[2636−22]
3
Proseguiamo il calcolo (2)
BA=[146−123512433−22].
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB=[2636−22]; BA=[146−123512433−22].
Risultato finale. AB=[2636−22]; BA=[146−123512433−22].
Esercizio 11

Prodotti AB e BA — vettore colonna e riga

Testo. Date A=[0−24] e B=[0−23], calcolare AB e BA.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
AB=[00004−60−812]
3
Proseguiamo il calcolo (2)
BA=[16].
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB=[00004−60−812]; BA=[16].
Risultato finale. AB=[00004−60−812]; BA=[16].
Esercizio 12

Compatibilità del prodotto — caso rettangolare

Testo. Date A=[-1024] e B=[31−1102], stabilire quali prodotti sono definiti e calcolarli.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
AB non è definito perché A è 2×2 e B è 3×2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
BA è definito ed è [−143448].
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB non è definito perché A è 2×2 e B è 3×2. BA è definito ed è [−143448].
Risultato finale. AB non è definito perché A è 2×2 e B è 3×2. BA è definito ed è [−143448].
Esercizio 13

Espressioni matriciali

Testo. Date A=[2412], B=[-241−2], C=[2369], D=[1113], calcolare 3A+2B−2C+D, AB e CAB.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
3A+2B−2C+D=[-115−6−13].
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Inoltre AB=0₂×₂, quindi anche CAB=0₂×₂.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: 3A+2B−2C+D=[-115−6−13]. Inoltre AB=0₂×₂, quindi anche CAB=0₂×₂.
Risultato finale. 3A+2B−2C+D=[-115−6−13]. Inoltre AB=0₂×₂, quindi anche CAB=0₂×₂.
Esercizio 14

Sistemi in notazione matriciale

Testo. Scrivere in forma Ax=b i sistemi: (i) x₁+x₂=3, 3x₁+5x₂=5; (ii) x₁+2x₂+x₃=4, x₁−x₂+x₃=5, 2x₁+3x₂−x₃=1; (iii) 2x₁−3x₂+x₃=0, x₁+x₂−x₃=0, x₁+x₃=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
Le matrici dei coefficienti sono rispettivamente [1135], [1211−1123−1], [2−3111−1101].
3
Proseguiamo il calcolo (2)
I vettori dei termini noti sono [3,5]ᵀ, [4,5,1]ᵀ e [0,0,0]ᵀ.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le matrici dei coefficienti sono rispettivamente [1135], [1211−1123−1], [2−3111−1101]. I vettori dei termini noti sono [3,5]ᵀ, [4,5,1]ᵀ e [0,0,0]ᵀ.
Risultato finale. Le matrici dei coefficienti sono rispettivamente [1135], [1211−1123−1], [2−3111−1101]. I vettori dei termini noti sono [3,5]ᵀ, [4,5,1]ᵀ e [0,0,0]ᵀ.
Esercizio 15

Dimostrazione con prodotti di matrici

Testo. Siano P,Q matrici n×n tali che PQ=Q²P. Dimostrare che (PQ)²=Q⁶P².
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
Da PQ=Q²P segue PQ²=(PQ)Q=Q²PQ=Q²(Q²P)=Q⁴P.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi (PQ)²=PQPQ=(Q²P)(Q²P)=Q²(PQ²)P=Q²Q⁴P²=Q⁶P².
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Da PQ=Q²P segue PQ²=(PQ)Q=Q²PQ=Q²(Q²P)=Q⁴P. Quindi (PQ)²=PQPQ=(Q²P)(Q²P)=Q²(PQ²)P=Q²Q⁴P²=Q⁶P².
Risultato finale. Da PQ=Q²P segue PQ²=(PQ)Q=Q²PQ=Q²(Q²P)=Q⁴P. Quindi (PQ)²=PQPQ=(Q²P)(Q²P)=Q²(PQ²)P=Q²Q⁴P²=Q⁶P².
Esercizio 16

Non commutatività del prodotto matriciale

Testo. Date A=[2003] e B=[0110], mostrare che AB≠BA.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
AB=[0230], mentre BA=[0320].
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Sono diverse: il prodotto matriciale non è commutativo in generale.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB=[0230], mentre BA=[0320]. Sono diverse: il prodotto matriciale non è commutativo in generale.
Risultato finale. AB=[0230], mentre BA=[0320]. Sono diverse: il prodotto matriciale non è commutativo in generale.
Esercizio 17

Trasposta di matrici

Testo. Date A=[-10235−1] e B=[1−1042111], trovare Aᵀ e Bᵀ.
Mostra svolgimento passo passo
1
Applichiamo la definizione di trasposta
La trasposta si ottiene scambiando righe e colonne: l’elemento in posizione (i,j) passa in posizione (j,i).
2
Calcolo
Aᵀ=[-12503−1].
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Bᵀ=[12−110141].
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Aᵀ=[-12503−1]. Bᵀ=[12−110141].
Risultato finale. Aᵀ=[-12503−1]. Bᵀ=[12−110141].
Esercizio 18

Condizione di simmetria

Testo. Determinare a affinché A=[aa²−1−3a+12a²+4−34a−1] sia simmetrica.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo la condizione
Due matrici sono uguali quando gli elementi nelle stesse posizioni coincidono. Se si richiede simmetria, imponiamo A=Aᵀ e confrontiamo gli elementi fuori diagonale.
2
Calcolo
Serve a²−1=a+1 e a²+4=4a.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Entrambe conducono ad a=2
4
Proseguiamo il calcolo (3)
quindi A è simmetrica solo per a=2.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Serve a²−1=a+1 e a²+4=4a. Entrambe conducono ad a=2; quindi A è simmetrica solo per a=2.
Risultato finale. Serve a²−1=a+1 e a²+4=4a. Entrambe conducono ad a=2; quindi A è simmetrica solo per a=2.
Esercizio 19

Prodotto ABCᵀ

Testo. Date A=[21k0], B=[1−10320], C=[1−10012], stabilire per quali k è definito ABCᵀ e calcolarlo.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
Le dimensioni sono compatibili per ogni k∈R.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il risultato è ABCᵀ=[502k−k].
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le dimensioni sono compatibili per ogni k∈R. Il risultato è ABCᵀ=[502k−k].
Risultato finale. Le dimensioni sono compatibili per ogni k∈R. Il risultato è ABCᵀ=[502k−k].
Esercizio 20

Dipendenza lineare — caso 1

Testo. Dati u=(1,1,2), v=(−1,−3,4), w=(0,−1,3), stabilire se sono indipendenti e, se possibile, esprimere v tramite u e w.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
Il determinante della matrice con colonne u,v,w è 0: i vettori sono dipendenti.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Si trova v=−u+2w.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il determinante della matrice con colonne u,v,w è 0: i vettori sono dipendenti. Si trova v=−u+2w.
Risultato finale. Il determinante della matrice con colonne u,v,w è 0: i vettori sono dipendenti. Si trova v=−u+2w.
Esercizio 21

Dipendenza lineare — caso 2

Testo. Dati u=(1,2,−1), v=(0,−1,3), w=(4,7,−1), stabilire se sono indipendenti e, se possibile, esprimere v tramite u e w.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
I vettori sono linearmente dipendenti.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Risolvendo αu+βw=v si ottiene α=−4, β=1, quindi v=−4u+w.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: I vettori sono linearmente dipendenti. Risolvendo αu+βw=v si ottiene α=−4, β=1, quindi v=−4u+w.
Risultato finale. I vettori sono linearmente dipendenti. Risolvendo αu+βw=v si ottiene α=−4, β=1, quindi v=−4u+w.
Esercizio 22

Combinazione lineare con parametro

Testo. Dati u=(−1,0,1), v=(2,1,1), w=(k,1,0), determinare k affinché w∈span(u,v) e calcolare z=−u−v+w.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
Da αu+βv=w si ottiene α=−1, β=1 e k=3.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
In generale z=(k−1,0,−2)
5
Proseguiamo il calcolo (3)
per k=3, z=(2,0,−2).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Da αu+βv=w si ottiene α=−1, β=1 e k=3. In generale z=(k−1,0,−2); per k=3, z=(2,0,−2).
Risultato finale. Da αu+βv=w si ottiene α=−1, β=1 e k=3. In generale z=(k−1,0,−2); per k=3, z=(2,0,−2).
Esercizio 23

Combinazione lineare con parametro — secondo caso

Testo. Dati u=(−1,3,1), v=(2,1,2), w=(3,k,5), determinare k affinché w∈span(u,v) e calcolare z=u+v+w.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
Si ottiene α=1, β=2 e k=5.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
In generale z=(4,k+4,8)
5
Proseguiamo il calcolo (3)
per k=5, z=(4,9,8).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Si ottiene α=1, β=2 e k=5. In generale z=(4,k+4,8); per k=5, z=(4,9,8).
Risultato finale. Si ottiene α=1, β=2 e k=5. In generale z=(4,k+4,8); per k=5, z=(4,9,8).
Esercizio 24

Compatibilità dimensionale di più espressioni

Testo. Siano A una matrice 2×3 e B una matrice 2×2. Stabilire se sono definiti AB, BA, BᵀB, A+B, BᵀA, AB+B.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
AB: no
4
Proseguiamo il calcolo (2)
BA: sì (2×3)
5
Proseguiamo il calcolo (3)
BᵀB: sì (2×2)
6
Proseguiamo il calcolo (4)
A+B: no
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB: no; BA: sì (2×3); BᵀB: sì (2×2); A+B: no; BᵀA: sì (2×3); AB+B: no, perché AB non è definito.
Risultato finale. AB: no; BA: sì (2×3); BᵀB: sì (2×2); A+B: no; BᵀA: sì (2×3); AB+B: no, perché AB non è definito.
Esercizio 25

Compatibilità dimensionale — secondo caso

Testo. Siano A una matrice 2×2 e B una matrice 2×3. Stabilire se sono definiti AB, BA, BᵀB, A+B, BᵀA, AB+B.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo le dimensioni
Prima di moltiplicare verifichiamo che il numero di colonne della prima matrice coincida con il numero di righe della seconda. Per somme e differenze, invece, le dimensioni devono essere identiche.
2
Eseguiamo il prodotto riga per colonna
Ogni elemento del prodotto si ottiene moltiplicando gli elementi corrispondenti di una riga per quelli di una colonna e sommando i prodotti.
3
Calcolo
AB: sì (2×3)
4
Proseguiamo il calcolo (2)
BA: no
5
Proseguiamo il calcolo (3)
BᵀB: sì (3×3)
6
Proseguiamo il calcolo (4)
A+B: no
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: AB: sì (2×3); BA: no; BᵀB: sì (3×3); A+B: no; BᵀA: sì (3×2); AB+B: sì (2×3).
Risultato finale. AB: sì (2×3); BA: no; BᵀB: sì (3×3); A+B: no; BᵀA: sì (3×2); AB+B: sì (2×3).
Esercizio 26

Indipendenza parametrica di vettori

Testo. Dati v₁=(5,3,−1), v₂=(1,−1,2), v₃=(6,2,k), determinare quando sono indipendenti. Inoltre trovare h affinché (4,4,h) sia combinazione lineare di v₁ e v₂.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
Il determinante vale −8(k−1): i tre vettori sono indipendenti per k≠1.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per (4,4,h)=αv₁+βv₂ si ottiene α=1, β=−1, h=−3
5
Proseguiamo il calcolo (3)
quindi (4,4,−3)=v₁−v₂.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il determinante vale −8(k−1): i tre vettori sono indipendenti per k≠1. Per (4,4,h)=αv₁+βv₂ si ottiene α=1, β=−1, h=−3; quindi (4,4,−3)=v₁−v₂.
Risultato finale. Il determinante vale −8(k−1): i tre vettori sono indipendenti per k≠1. Per (4,4,h)=αv₁+βv₂ si ottiene α=1, β=−1, h=−3; quindi (4,4,−3)=v₁−v₂.
Esercizio 27

Indipendenza parametrica — secondo caso

Testo. Dati v₁=(3,5,−1), v₂=(−1,1,2), v₃=(2,6,k), determinare quando sono indipendenti. Inoltre trovare h affinché (4,4,h) sia combinazione lineare di v₁ e v₂.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
Il determinante vale 8(k−1): indipendenza per k≠1.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per il vettore (4,4,h) si ottiene ancora α=1, β=−1 e h=−3.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il determinante vale 8(k−1): indipendenza per k≠1. Per il vettore (4,4,h) si ottiene ancora α=1, β=−1 e h=−3.
Risultato finale. Il determinante vale 8(k−1): indipendenza per k≠1. Per il vettore (4,4,h) si ottiene ancora α=1, β=−1 e h=−3.
Esercizio 28

Ortogonalità di vettori

Testo. Determinare k affinché u=(1,3,7,−1) e v=(3,5,1,k) siano ortogonali.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo la condizione di ortogonalità
Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero.
2
Calcoliamo il prodotto scalare
Moltiplichiamo le componenti corrispondenti, sommiamo i prodotti e imponiamo il risultato uguale a zero.
3
Calcolo
u·v=1·3+3·5+7·1−k=25−k.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Ponendo u·v=0 si ottiene k=25.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: u·v=1·3+3·5+7·1−k=25−k. Ponendo u·v=0 si ottiene k=25.
Risultato finale. u·v=1·3+3·5+7·1−k=25−k. Ponendo u·v=0 si ottiene k=25.
Esercizio 29

Identità polinomiale di una matrice

Testo. Per A=[14−31], verificare A²−2A+13I=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo la regola
Partiamo dalla definizione richiesta e costruiamo gli elementi uno alla volta, rispettando l’ordine di riga e colonna.
2
Calcolo
A²=[-118−6−11].
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Sottraendo 2A e sommando 13I si ottiene la matrice nulla.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: A²=[-118−6−11]. Sottraendo 2A e sommando 13I si ottiene la matrice nulla.
Risultato finale. A²=[-118−6−11]. Sottraendo 2A e sommando 13I si ottiene la matrice nulla.
Esercizio 30

Determinanti di ordine 3 e 4

Testo. Calcolare det A per A=[413230132] e det B per B=[1023441003021122].
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il determinante
Il determinante permette di capire subito se la matrice è invertibile: l’inversa esiste esattamente quando det(A)≠0.
2
Gestiamo i valori critici
Se compare un parametro, risolviamo det(A)=0 per individuare i valori da trattare separatamente.
3
Calcolo
Sviluppando i determinanti si ottiene det A=29 e det B=−35.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Entrambe le matrici sono invertibili.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Sviluppando i determinanti si ottiene det A=29 e det B=−35. Entrambe le matrici sono invertibili.
Risultato finale. Sviluppando i determinanti si ottiene det A=29 e det B=−35. Entrambe le matrici sono invertibili.
Esercizio 31

Inverse di tre matrici

Testo. Calcolare, quando esistono, le inverse di A=[1034], B=[11−32], C=[022113201].
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il determinante
Il determinante permette di capire subito se la matrice è invertibile: l’inversa esiste esattamente quando det(A)≠0.
2
Gestiamo i valori critici
Se compare un parametro, risolviamo det(A)=0 per individuare i valori da trattare separatamente.
3
Calcolo
det A=4, det B=5, det C=6.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
A⁻¹=[10−3414]
5
Proseguiamo il calcolo (3)
B⁻¹=[25−153515]
6
Proseguiamo il calcolo (4)
C⁻¹=[16−132356−2313−1323−13].
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=4, det B=5, det C=6. A⁻¹=[10−3414]; B⁻¹=[25−153515]; C⁻¹=[16−132356−2313−1323−13].
Risultato finale. det A=4, det B=5, det C=6. A⁻¹=[10−3414]; B⁻¹=[25−153515]; C⁻¹=[16−132356−2313−1323−13].
Esercizio 32

Invertibilità con parametro

Testo. Per A=[k−206−14k+30−20], trovare i valori di k per cui A è invertibile e calcolare A⁻¹.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il determinante
Il determinante permette di capire subito se la matrice è invertibile: l’inversa esiste esattamente quando det(A)≠0.
2
Gestiamo i valori critici
Se compare un parametro, risolviamo det(A)=0 per individuare i valori da trattare separatamente.
3
Calcolo
det A=2k(k+1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi A è invertibile per k≠0,−1.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
In tal caso A⁻¹=[(k+3)(k(k+1))−6(k(k+1))−12(k(k+1))00−121(k(k+1))(k−2)(k(k+1))2(k−2)(k(k+1))].
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=2k(k+1). Quindi A è invertibile per k≠0,−1. In tal caso A⁻¹=[(k+3)(k(k+1))−6(k(k+1))−12(k(k+1))00−121(k(k+1))(k−2)(k(k+1))2(k−2)(k(k+1))].
Risultato finale. det A=2k(k+1). Quindi A è invertibile per k≠0,−1. In tal caso A⁻¹=[(k+3)(k(k+1))−6(k(k+1))−12(k(k+1))00−121(k(k+1))(k−2)(k(k+1))2(k−2)(k(k+1))].
Esercizio 33

Rango di una matrice rettangolare

Testo. Determinare il rango di A=[52−81210016−13].
Mostra svolgimento passo passo
1
Cerchiamo il rango
Il rango è l’ordine massimo di un minore non nullo. Possiamo determinarlo con minori oppure con riduzione di Gauss.
2
Controlliamo i valori del parametro
Se c’è un parametro, troviamo quando i minori di ordine massimo si annullano e poi verifichiamo il rango nei casi eccezionali.
3
Calcolo
Sono presenti tre colonne e si può trovare un minore 3×3 non nullo.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi rank(A)=3.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Sono presenti tre colonne e si può trovare un minore 3×3 non nullo. Quindi rank(A)=3.
Risultato finale. Sono presenti tre colonne e si può trovare un minore 3×3 non nullo. Quindi rank(A)=3.
Esercizio 34

Compatibilità di un sistema sovradeterminato

Testo. Stabilire, senza risolvere completamente, se il sistema x₁+x₂+4x₃=1; 2x₁−x₂+3x₃=0; 3x₂+x₃=1; x₁+x₂=1 ammette soluzioni.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
La matrice dei coefficienti ha rango 3, mentre la matrice completa ha rango 4.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per Rouché–Capelli il sistema è incompatibile: non ammette soluzioni.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: La matrice dei coefficienti ha rango 3, mentre la matrice completa ha rango 4. Per Rouché–Capelli il sistema è incompatibile: non ammette soluzioni.
Risultato finale. La matrice dei coefficienti ha rango 3, mentre la matrice completa ha rango 4. Per Rouché–Capelli il sistema è incompatibile: non ammette soluzioni.
Esercizio 35

Rango con parametro

Testo. Discutere il rango di A=[10a−122a311411−1−101].
Mostra svolgimento passo passo
1
Cerchiamo il rango
Il rango è l’ordine massimo di un minore non nullo. Possiamo determinarlo con minori oppure con riduzione di Gauss.
2
Controlliamo i valori del parametro
Se c’è un parametro, troviamo quando i minori di ordine massimo si annullano e poi verifichiamo il rango nei casi eccezionali.
3
Calcolo
det A=−(a−3)(4a−1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi rank(A)=4 per a≠3,1/4
5
Proseguiamo il calcolo (3)
per a=3 e a=1/4 il determinante è nullo ma un minore di ordine 3 è non nullo, quindi rank(A)=3.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=−(a−3)(4a−1). Quindi rank(A)=4 per a≠3,1/4; per a=3 e a=1/4 il determinante è nullo ma un minore di ordine 3 è non nullo, quindi rank(A)=3.
Risultato finale. det A=−(a−3)(4a−1). Quindi rank(A)=4 per a≠3,1/4; per a=3 e a=1/4 il determinante è nullo ma un minore di ordine 3 è non nullo, quindi rank(A)=3.
Esercizio 36

Cramer — sistema 2×2

Testo. Risolvere con Cramer: 5x₁+x₂=3; 2x₁−x₂=4.
Mostra svolgimento passo passo
1
Verifichiamo l’unicità
Per applicare Cramer calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti. Se è diverso da zero, la soluzione è unica.
2
Costruiamo i determinanti di Cramer
Sostituiamo, una colonna alla volta, il vettore dei termini noti e dividiamo ciascun determinante per det(A).
3
Calcolo
Il determinante della matrice dei coefficienti è −7≠0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
La soluzione unica è x₁=1, x₂=−2.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il determinante della matrice dei coefficienti è −7≠0. La soluzione unica è x₁=1, x₂=−2.
Risultato finale. Il determinante della matrice dei coefficienti è −7≠0. La soluzione unica è x₁=1, x₂=−2.
Esercizio 37

Cramer — sistema 3×3

Testo. Risolvere: 2x₁−3x₂=2; 4x₁−6x₂+x₃=7; x₁+10x₂=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Verifichiamo l’unicità
Per applicare Cramer calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti. Se è diverso da zero, la soluzione è unica.
2
Costruiamo i determinanti di Cramer
Sostituiamo, una colonna alla volta, il vettore dei termini noti e dividiamo ciascun determinante per det(A).
3
Calcolo
Il determinante vale −23≠0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
La soluzione unica è (x₁,x₂,x₃)=(1,0,3).
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il determinante vale −23≠0. La soluzione unica è (x₁,x₂,x₃)=(1,0,3).
Risultato finale. Il determinante vale −23≠0. La soluzione unica è (x₁,x₂,x₃)=(1,0,3).
Esercizio 38

Sistema omogeneo con parametro

Testo. Per A=[208k4202k1], trovare k affinché Ax=0 abbia infinite soluzioni.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Un sistema omogeneo quadrato ha infinite soluzioni non banali quando det A=0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Qui det A=4(8k²−8k+1), quindi k=1/2±√2/4.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Un sistema omogeneo quadrato ha infinite soluzioni non banali quando det A=0. Qui det A=4(8k²−8k+1), quindi k=1/2±√2/4.
Risultato finale. Un sistema omogeneo quadrato ha infinite soluzioni non banali quando det A=0. Qui det A=4(8k²−8k+1), quindi k=1/2±√2/4.
Esercizio 39

Indipendenza di tre vettori in R⁴

Testo. Stabilire se v₁=(3,−6,2,5), v₂=(2,10,4,8), v₃=(2,−11,0,1) sono linearmente indipendenti.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo il problema in un sistema lineare
Per verificare indipendenza o appartenenza a uno span, imponiamo una combinazione lineare e confrontiamo le componenti.
2
Usiamo rango o determinante
Se il numero di vettori e la dimensione lo permettono, un determinante non nullo garantisce indipendenza; altrimenti si usa il rango.
3
Calcolo
La matrice che ha i tre vettori come colonne ha rango 2<3.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
I vettori sono quindi linearmente dipendenti.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: La matrice che ha i tre vettori come colonne ha rango 2<3. I vettori sono quindi linearmente dipendenti.
Risultato finale. La matrice che ha i tre vettori come colonne ha rango 2<3. I vettori sono quindi linearmente dipendenti.
Esercizio 40

Sistema lineare con soluzione unica

Testo. Risolvere −x+y+z=2; x−y=−1; x−2y−2z=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Dalla seconda equazione x=y−1.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Sostituendo si ricava z=1 e poi y=−3, x=−4.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Soluzione: (−4,−3,1).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Dalla seconda equazione x=y−1. Sostituendo si ricava z=1 e poi y=−3, x=−4. Soluzione: (−4,−3,1).
Risultato finale. Dalla seconda equazione x=y−1. Sostituendo si ricava z=1 e poi y=−3, x=−4. Soluzione: (−4,−3,1).
Esercizio 41

Sistema incompatibile

Testo. Risolvere x−2y=3; 2x−4y=5.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
La seconda equazione avrebbe lato sinistro doppio della prima ma termine noto 5 invece di 6.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi rank(A)<rank(A|b): nessuna soluzione.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: La seconda equazione avrebbe lato sinistro doppio della prima ma termine noto 5 invece di 6. Quindi rank(A)<rank(A|b): nessuna soluzione.
Risultato finale. La seconda equazione avrebbe lato sinistro doppio della prima ma termine noto 5 invece di 6. Quindi rank(A)<rank(A|b): nessuna soluzione.
Esercizio 42

Sistema parametrico — tre casi

Testo. Risolvere x+y=1; kx+y+z=1−k; y+(1−k)z=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=k(k−2).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠0,2: x=(1−k)/(k−2), y=(2k−3)/(k−2), z=1/(k−2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=0: infinite soluzioni x=z, y=1−z.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per k=2: nessuna soluzione.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k(k−2). Per k≠0,2: x=(1−k)/(k−2), y=(2k−3)/(k−2), z=1/(k−2). Per k=0: infinite soluzioni x=z, y=1−z. Per k=2: nessuna soluzione.
Risultato finale. det A=k(k−2). Per k≠0,2: x=(1−k)/(k−2), y=(2k−3)/(k−2), z=1/(k−2). Per k=0: infinite soluzioni x=z, y=1−z. Per k=2: nessuna soluzione.
Esercizio 43

Sistema parametrico — secondo caso

Testo. Risolvere kx+z=k; (k+2)x+3y=3; (k−2)y+z=k−1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=(k−1)(k+4).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠1,−4: x=3/(k+4), y=2/(k+4), z=k(k+1)/(k+4).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=1: infinite soluzioni (x,y,z)=(1−t,t,t).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per k=−4: nessuna soluzione.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=(k−1)(k+4). Per k≠1,−4: x=3/(k+4), y=2/(k+4), z=k(k+1)/(k+4). Per k=1: infinite soluzioni (x,y,z)=(1−t,t,t). Per k=−4: nessuna soluzione.
Risultato finale. det A=(k−1)(k+4). Per k≠1,−4: x=3/(k+4), y=2/(k+4), z=k(k+1)/(k+4). Per k=1: infinite soluzioni (x,y,z)=(1−t,t,t). Per k=−4: nessuna soluzione.
Esercizio 44

Vero o falso su prodotti e sistemi

Testo. Con A=[121012] e B=[0001], valutare: (i) esiste X=BA; (ii) k(A+B)=kA+kB; (iii) (BA)X=0 non ammette soluzioni.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
(i) Vero: BA è definito (2×2 per 2×3). (ii) Falso: A+B non è definita perché le dimensioni differiscono. (iii) Falso: ogni sistema omogeneo ammette almeno la soluzione nulla.
3
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: (i) Vero: BA è definito (2×2 per 2×3). (ii) Falso: A+B non è definita perché le dimensioni differiscono. (iii) Falso: ogni sistema omogeneo ammette almeno la soluzione nulla.
4
Risultato
(i) Vero: BA è definito (2×2 per 2×3). (ii) Falso: A+B non è definita perché le dimensioni differiscono. (iii) Falso: ogni sistema omogeneo ammette almeno la soluzione nulla.
Risultato finale. (i) Vero: BA è definito (2×2 per 2×3). (ii) Falso: A+B non è definita perché le dimensioni differiscono. (iii) Falso: ogni sistema omogeneo ammette almeno la soluzione nulla.
Esercizio 45

Rango e invertibilità di una matrice singolare

Testo. Per A=[2−10125−kkk], valutare il rango e l’invertibilità.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il determinante
Il determinante permette di capire subito se la matrice è invertibile: l’inversa esiste esattamente quando det(A)≠0.
2
Gestiamo i valori critici
Se compare un parametro, risolviamo det(A)=0 per individuare i valori da trattare separatamente.
3
Calcolo
Il determinante è identicamente nullo, quindi rank(A)<3 per ogni k e A non è mai invertibile.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=1 il rango è 2, quindi Ax=0 ammette infinite soluzioni.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il determinante è identicamente nullo, quindi rank(A)<3 per ogni k e A non è mai invertibile. Per k=1 il rango è 2, quindi Ax=0 ammette infinite soluzioni.
Risultato finale. Il determinante è identicamente nullo, quindi rank(A)<3 per ogni k e A non è mai invertibile. Per k=1 il rango è 2, quindi Ax=0 ammette infinite soluzioni.
Esercizio 46

Combinazione lineare e ortogonalità

Testo. Siano x₁=(1,2,0)ᵀ e x₂=(α,1,1)ᵀ. Calcolare c=3x₁−x₂ e determinare α affinché c sia ortogonale al vettore (1,0,−2)ᵀ.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo la condizione di ortogonalità
Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero.
2
Calcoliamo il prodotto scalare
Moltiplichiamo le componenti corrispondenti, sommiamo i prodotti e imponiamo il risultato uguale a zero.
3
Calcolo
Si ha c=(3−α,5,−1)ᵀ.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
L’ortogonalità richiede c·(1,0,−2)=0, quindi (3−α)+2=0.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Ne segue α=5.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per α=5, c=(−2,5,−1)ᵀ e il prodotto scalare vale −2+2=0.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Si ha c=(3−α,5,−1)ᵀ. L’ortogonalità richiede c·(1,0,−2)=0, quindi (3−α)+2=0. Ne segue α=5. Per α=5, c=(−2,5,−1)ᵀ e il prodotto scalare vale −2+2=0.
Risultato finale. Si ha c=(3−α,5,−1)ᵀ. L’ortogonalità richiede c·(1,0,−2)=0, quindi (3−α)+2=0. Ne segue α=5. Per α=5, c=(−2,5,−1)ᵀ e il prodotto scalare vale −2+2=0.
Esercizio 47

Matrice ortogonale con parametro

Testo. Sia P=[λ0λλ0−λ010]. Calcolare Pᵀ, determinare per quali λ la matrice è ortogonale e completare la proprietà che lega trasposta e inversa.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo la condizione di ortogonalità
Due vettori sono ortogonali se e solo se il loro prodotto scalare è uguale a zero.
2
Calcoliamo il prodotto scalare
Moltiplichiamo le componenti corrispondenti, sommiamo i prodotti e imponiamo il risultato uguale a zero.
3
Calcolo
Pᵀ=[λλ0001λ−λ0].
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Si ottiene PPᵀ=diag(2λ²,2λ²,1).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Affinché PPᵀ=I₃ serve 2λ²=1, dunque λ=±1/√2.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per una matrice ortogonale vale Pᵀ=P⁻¹.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Pᵀ=[λλ0001λ−λ0]. Si ottiene PPᵀ=diag(2λ²,2λ²,1). Affinché PPᵀ=I₃ serve 2λ²=1, dunque λ=±1/√2. Per una matrice ortogonale vale Pᵀ=P⁻¹.
Risultato finale. Pᵀ=[λλ0001λ−λ0]. Si ottiene PPᵀ=diag(2λ²,2λ²,1). Affinché PPᵀ=I₃ serve 2λ²=1, dunque λ=±1/√2. Per una matrice ortogonale vale Pᵀ=P⁻¹.
Esercizio 48

Sistema parametrico con valori ±√2

Testo. Discutere kx+y−z=k; x−kz=2; y+z=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=k²−2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠±√2 la soluzione è x=(k²−4)/(k²−2), y=k/(k²−2), z=−k/(k²−2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=±√2 il sistema è incompatibile.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k²−2. Per k≠±√2 la soluzione è x=(k²−4)/(k²−2), y=k/(k²−2), z=−k/(k²−2). Per k=±√2 il sistema è incompatibile.
Risultato finale. det A=k²−2. Per k≠±√2 la soluzione è x=(k²−4)/(k²−2), y=k/(k²−2), z=−k/(k²−2). Per k=±√2 il sistema è incompatibile.
Esercizio 49

Sistema con un caso indeterminato

Testo. Risolvere x₁+x₂−x₃=4; x₁+x₃=2; x₂−kx₃=2.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Per k≠2 la soluzione è (2,2,0).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=2 si hanno infinite soluzioni: x₁=2−t, x₂=2+2t, x₃=t.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Per k≠2 la soluzione è (2,2,0). Per k=2 si hanno infinite soluzioni: x₁=2−t, x₂=2+2t, x₃=t.
Risultato finale. Per k≠2 la soluzione è (2,2,0). Per k=2 si hanno infinite soluzioni: x₁=2−t, x₂=2+2t, x₃=t.
Esercizio 50

Sistema parametrico simmetrico

Testo. Discutere x+ky−z=k; y−kz=2; x+z=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=2−k².
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠±√2: x=k/(k²−2), y=(k²−4)/(k²−2), z=−k/(k²−2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=±√2: nessuna soluzione.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=2−k². Per k≠±√2: x=k/(k²−2), y=(k²−4)/(k²−2), z=−k/(k²−2). Per k=±√2: nessuna soluzione.
Risultato finale. det A=2−k². Per k≠±√2: x=k/(k²−2), y=(k²−4)/(k²−2), z=−k/(k²−2). Per k=±√2: nessuna soluzione.
Esercizio 51

Sistema sovradeterminato con parametro

Testo. Risolvere x−ky+2z=1; 2x+y=0; x+2y−z=1; x+kz=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Le quattro equazioni sono compatibili solo per k=1 oppure k=−4.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=1: (x,y,z)=(−1,2,2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=−4: (x,y,z)=(−3/13,6/13,−4/13).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Negli altri casi il sistema non ha soluzioni.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le quattro equazioni sono compatibili solo per k=1 oppure k=−4. Per k=1: (x,y,z)=(−1,2,2). Per k=−4: (x,y,z)=(−3/13,6/13,−4/13). Negli altri casi il sistema non ha soluzioni.
Risultato finale. Le quattro equazioni sono compatibili solo per k=1 oppure k=−4. Per k=1: (x,y,z)=(−1,2,2). Per k=−4: (x,y,z)=(−3/13,6/13,−4/13). Negli altri casi il sistema non ha soluzioni.
Esercizio 52

Sistema sovradeterminato — secondo caso

Testo. Risolvere kx−y+2z=1; 2x+y=0; x+2y−kz=1; x+z=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Il sistema è compatibile solo per k=1 e k=−3.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=1: (−1,2,2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=−3: (1/3,−2/3,2/3).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Negli altri casi non esistono soluzioni.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il sistema è compatibile solo per k=1 e k=−3. Per k=1: (−1,2,2). Per k=−3: (1/3,−2/3,2/3). Negli altri casi non esistono soluzioni.
Risultato finale. Il sistema è compatibile solo per k=1 e k=−3. Per k=1: (−1,2,2). Per k=−3: (1/3,−2/3,2/3). Negli altri casi non esistono soluzioni.
Esercizio 53

Sistema con parametro e caso infinito

Testo. Risolvere x₁−x₂+x₃=4; x₁+x₂=2; kx₂−x₃=−2.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Per k≠2 la soluzione è (2,0,2).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=2 si hanno infinite soluzioni: (x₁,x₂,x₃)=(3−t/2,t/2−1,t).
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Per k≠2 la soluzione è (2,0,2). Per k=2 si hanno infinite soluzioni: (x₁,x₂,x₃)=(3−t/2,t/2−1,t).
Risultato finale. Per k≠2 la soluzione è (2,0,2). Per k=2 si hanno infinite soluzioni: (x₁,x₂,x₃)=(3−t/2,t/2−1,t).
Esercizio 54

Cramer con parametro

Testo. Considerare kx−2y=2; 4x+(k−6)y=4. Risolvere per k=3 e discutere al variare di k.
Mostra svolgimento passo passo
1
Verifichiamo l’unicità
Per applicare Cramer calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti. Se è diverso da zero, la soluzione è unica.
2
Costruiamo i determinanti di Cramer
Sostituiamo, una colonna alla volta, il vettore dei termini noti e dividiamo ciascun determinante per det(A).
3
Calcolo
det A=(k−4)(k−2).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=3 la soluzione è (x,y)=(−2,−4).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=2 si hanno infinite soluzioni (x,y)=(t+1,t)
6
Proseguiamo il calcolo (4)
per k=4 il sistema è incompatibile
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=(k−4)(k−2). Per k=3 la soluzione è (x,y)=(−2,−4). Per k=2 si hanno infinite soluzioni (x,y)=(t+1,t); per k=4 il sistema è incompatibile; per k≠2,4 la soluzione è unica.
Risultato finale. det A=(k−4)(k−2). Per k=3 la soluzione è (x,y)=(−2,−4). Per k=2 si hanno infinite soluzioni (x,y)=(t+1,t); per k=4 il sistema è incompatibile; per k≠2,4 la soluzione è unica.
Esercizio 55

Matrice 2×2 con parametro

Testo. Per A=[k−32k−1], trovare quando è invertibile, A⁻¹ e risolvere Ax=(0,k)ᵀ.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema algebrico
Identifichiamo la proprietà richiesta e la traduciamo in equazioni tra componenti, righe, colonne o parametri.
2
Calcolo
det A=−3(k−1).
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠1, A⁻¹=[1(3(k−1))2(3(k−1))k(3(k−1))(3−k)(3(k−1))].
4
Proseguiamo il calcolo (3)
La soluzione è x₁=2k/[3(k−1)], x₂=k(3−k)/[3(k−1)].
5
Proseguiamo il calcolo (4)
Per k=1 il sistema è incompatibile.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=−3(k−1). Per k≠1, A⁻¹=[1(3(k−1))2(3(k−1))k(3(k−1))(3−k)(3(k−1))]. La soluzione è x₁=2k/[3(k−1)], x₂=k(3−k)/[3(k−1)]. Per k=1 il sistema è incompatibile.
Risultato finale. det A=−3(k−1). Per k≠1, A⁻¹=[1(3(k−1))2(3(k−1))k(3(k−1))(3−k)(3(k−1))]. La soluzione è x₁=2k/[3(k−1)], x₂=k(3−k)/[3(k−1)]. Per k=1 il sistema è incompatibile.
Esercizio 56

Rango di una matrice 2×3 con parametro

Testo. Determinare il rango di A=[a+11a−1a−10].
Mostra svolgimento passo passo
1
Cerchiamo il rango
Il rango è l’ordine massimo di un minore non nullo. Possiamo determinarlo con minori oppure con riduzione di Gauss.
2
Controlliamo i valori del parametro
Se c’è un parametro, troviamo quando i minori di ordine massimo si annullano e poi verifichiamo il rango nei casi eccezionali.
3
Calcolo
Per a≠0 esiste un minore 2×2 non nullo e rank(A)=2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per a=0 le due righe sono proporzionali e rank(A)=1.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Per a≠0 esiste un minore 2×2 non nullo e rank(A)=2. Per a=0 le due righe sono proporzionali e rank(A)=1.
Risultato finale. Per a≠0 esiste un minore 2×2 non nullo e rank(A)=2. Per a=0 le due righe sono proporzionali e rank(A)=1.
Esercizio 57

Sistema 2×2 — teorema di Cramer

Testo. Discutere e risolvere (k−1)x−ky=2; 2x+ky=k+1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Verifichiamo l’unicità
Per applicare Cramer calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti. Se è diverso da zero, la soluzione è unica.
2
Costruiamo i determinanti di Cramer
Sostituiamo, una colonna alla volta, il vettore dei termini noti e dividiamo ciascun determinante per det(A).
3
Calcolo
det A=k(k+1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠0,−1 la soluzione è x=(k+3)/(k+1), y=(k²−5)/[k(k+1)].
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=0 e k=−1 il sistema è incompatibile.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k(k+1). Per k≠0,−1 la soluzione è x=(k+3)/(k+1), y=(k²−5)/[k(k+1)]. Per k=0 e k=−1 il sistema è incompatibile.
Risultato finale. det A=k(k+1). Per k≠0,−1 la soluzione è x=(k+3)/(k+1), y=(k²−5)/[k(k+1)]. Per k=0 e k=−1 il sistema è incompatibile.
Esercizio 58

Sistema 2×2 — Rouché–Capelli

Testo. Discutere e risolvere (k+1)x−ky=k−1; −2x+ky=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=k(k−1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠0,1: x=k/(k−1), y=(3k−1)/[k(k−1)].
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=0 o k=1 il sistema è incompatibile.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k(k−1). Per k≠0,1: x=k/(k−1), y=(3k−1)/[k(k−1)]. Per k=0 o k=1 il sistema è incompatibile.
Risultato finale. det A=k(k−1). Per k≠0,1: x=k/(k−1), y=(3k−1)/[k(k−1)]. Per k=0 o k=1 il sistema è incompatibile.
Esercizio 59

Sistema 3×3 con due valori critici

Testo. Risolvere x₁+x₂+kx₃=k; kx₁+2x₃=1; x₂+x₃=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=(k−2)(k+1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠−1,2: x₁=−1/(k−2), x₂=(1−k)/(k−2), x₃=(k−1)/(k−2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=−1 infinite soluzioni (2t−1,−t,t)
6
Proseguiamo il calcolo (4)
per k=2 nessuna soluzione.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=(k−2)(k+1). Per k≠−1,2: x₁=−1/(k−2), x₂=(1−k)/(k−2), x₃=(k−1)/(k−2). Per k=−1 infinite soluzioni (2t−1,−t,t); per k=2 nessuna soluzione.
Risultato finale. det A=(k−2)(k+1). Per k≠−1,2: x₁=−1/(k−2), x₂=(1−k)/(k−2), x₃=(k−1)/(k−2). Per k=−1 infinite soluzioni (2t−1,−t,t); per k=2 nessuna soluzione.
Esercizio 60

Sistema con tre valori singolari

Testo. Risolvere x₁+x₂+kx₃=1; kx₁+2x₃=1; kx₂+x₃=k.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=k(k²−3).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠0,±√3 la soluzione è x₁=(k²−1)/[k(k²−3)], x₂=(k³−3k+1)/[k(k²−3)], x₃=−1/(k²−3).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=0,±√3 il sistema è incompatibile.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k(k²−3). Per k≠0,±√3 la soluzione è x₁=(k²−1)/[k(k²−3)], x₂=(k³−3k+1)/[k(k²−3)], x₃=−1/(k²−3). Per k=0,±√3 il sistema è incompatibile.
Risultato finale. det A=k(k²−3). Per k≠0,±√3 la soluzione è x₁=(k²−1)/[k(k²−3)], x₂=(k³−3k+1)/[k(k²−3)], x₃=−1/(k²−3). Per k=0,±√3 il sistema è incompatibile.
Esercizio 61

Classificazione completa di un sistema

Testo. Discutere x₁+x₂+x₃=k; −kx₂+x₃=1; kx₁−2x₃=k.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=k(k+3).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠0,−3 c’è un’unica soluzione: x₁=(3k²+k+2)/[k(k+3)], x₂=(k²−2k−2)/[k(k+3)], x₃=(k²−k+1)/(k+3).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=0 e k=−3 il sistema è incompatibile
6
Proseguiamo il calcolo (4)
non ci sono casi con infinite soluzioni.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k(k+3). Per k≠0,−3 c’è un’unica soluzione: x₁=(3k²+k+2)/[k(k+3)], x₂=(k²−2k−2)/[k(k+3)], x₃=(k²−k+1)/(k+3). Per k=0 e k=−3 il sistema è incompatibile; non ci sono casi con infinite soluzioni.
Risultato finale. det A=k(k+3). Per k≠0,−3 c’è un’unica soluzione: x₁=(3k²+k+2)/[k(k+3)], x₂=(k²−2k−2)/[k(k+3)], x₃=(k²−k+1)/(k+3). Per k=0 e k=−3 il sistema è incompatibile; non ci sono casi con infinite soluzioni.
Esercizio 62

Sistema con caso infinito

Testo. Discutere x₁−x₂+kx₃=1; kx₁+x₃=1; x₁+x₂+x₃=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=(k−1)(k+2).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠1,−2: x₁=1/(k+2), x₂=(k−1)/(k+2), x₃=2/(k+2).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=1: infinite soluzioni (1−t,0,t).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per k=−2: nessuna soluzione.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=(k−1)(k+2). Per k≠1,−2: x₁=1/(k+2), x₂=(k−1)/(k+2), x₃=2/(k+2). Per k=1: infinite soluzioni (1−t,0,t). Per k=−2: nessuna soluzione.
Risultato finale. det A=(k−1)(k+2). Per k≠1,−2: x₁=1/(k+2), x₂=(k−1)/(k+2), x₃=2/(k+2). Per k=1: infinite soluzioni (1−t,0,t). Per k=−2: nessuna soluzione.
Esercizio 63

Sistema e confronto tra componenti

Testo. Discutere x+y+kz=1; kx+z=1; x+y+z=1. Nei casi di soluzione unica stabilire quando x<z.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=k(k−1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠0,1: (x,y,z)=(1/k,(k−1)/k,0).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=1: infinite soluzioni (1−t,0,t)
6
Proseguiamo il calcolo (4)
per k=0: nessuna soluzione.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=k(k−1). Per k≠0,1: (x,y,z)=(1/k,(k−1)/k,0). Per k=1: infinite soluzioni (1−t,0,t); per k=0: nessuna soluzione. Nei casi unici x<z equivale 1/k<0, quindi k<0.
Risultato finale. det A=k(k−1). Per k≠0,1: (x,y,z)=(1/k,(k−1)/k,0). Per k=1: infinite soluzioni (1−t,0,t); per k=0: nessuna soluzione. Nei casi unici x<z equivale 1/k<0, quindi k<0.
Esercizio 64

Rango di una matrice 3×4

Testo. Per A=[10k1k11111k1], determinare il rango e la dipendenza delle righe.
Mostra svolgimento passo passo
1
Cerchiamo il rango
Il rango è l’ordine massimo di un minore non nullo. Possiamo determinarlo con minori oppure con riduzione di Gauss.
2
Controlliamo i valori del parametro
Se c’è un parametro, troviamo quando i minori di ordine massimo si annullano e poi verifichiamo il rango nei casi eccezionali.
3
Calcolo
rank(A)=3 per k≠1 e rank(A)=2 per k=1.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=1 la terza riga coincide con la seconda, quindi le righe sono dipendenti.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: rank(A)=3 per k≠1 e rank(A)=2 per k=1. Per k=1 la terza riga coincide con la seconda, quindi le righe sono dipendenti.
Risultato finale. rank(A)=3 per k≠1 e rank(A)=2 per k=1. Per k=1 la terza riga coincide con la seconda, quindi le righe sono dipendenti.
Esercizio 65

Sistema e confronto x<y

Testo. Discutere x+kz=1; kx+y+z=1; x+y+kz=1. Nei casi di soluzione unica stabilire quando x<y.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
det A=(k−1)(k+1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k≠±1: (x,y,z)=(1/(k+1),0,1/(k+1)).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=1 infinite soluzioni (1−t,0,t)
6
Proseguiamo il calcolo (4)
per k=−1 nessuna soluzione.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: det A=(k−1)(k+1). Per k≠±1: (x,y,z)=(1/(k+1),0,1/(k+1)). Per k=1 infinite soluzioni (1−t,0,t); per k=−1 nessuna soluzione. Nei casi unici x<y equivale 1/(k+1)<0, quindi k<−1.
Risultato finale. det A=(k−1)(k+1). Per k≠±1: (x,y,z)=(1/(k+1),0,1/(k+1)). Per k=1 infinite soluzioni (1−t,0,t); per k=−1 nessuna soluzione. Nei casi unici x<y equivale 1/(k+1)<0, quindi k<−1.
Esercizio 66

Rango di un’altra matrice 3×4

Testo. Per A=[11k1k0111111], determinare il rango e la dipendenza delle righe.
Mostra svolgimento passo passo
1
Cerchiamo il rango
Il rango è l’ordine massimo di un minore non nullo. Possiamo determinarlo con minori oppure con riduzione di Gauss.
2
Controlliamo i valori del parametro
Se c’è un parametro, troviamo quando i minori di ordine massimo si annullano e poi verifichiamo il rango nei casi eccezionali.
3
Calcolo
rank(A)=3 per k≠1 e rank(A)=2 per k=1.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per k=1 la prima e la terza riga coincidono.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: rank(A)=3 per k≠1 e rank(A)=2 per k=1. Per k=1 la prima e la terza riga coincidono.
Risultato finale. rank(A)=3 per k≠1 e rank(A)=2 per k=1. Per k=1 la prima e la terza riga coincidono.
Esercizio 67

Sistema omogeneo associato a matrice 3×4

Testo. Per A=[10k1k11111k1], discutere Ax=0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scriviamo matrice dei coefficienti e matrice completa
Per un sistema lineare confrontiamo il rango della matrice dei coefficienti con il rango della matrice completa, come richiesto dal teorema di Rouché–Capelli.
2
Individuiamo i casi regolari e singolari
Con un parametro, il determinante segnala i valori in cui può cambiare il numero di soluzioni. I casi critici vanno controllati separatamente.
3
Calcolo
Per k≠1 il rango è 3 e, avendo 4 incognite, lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Se k≠±1 una parametrizzazione è (x₁,x₂,x₃,x₄)=t(−1/(k+1),0,−1/(k+1),1).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Per k=−1: t(1,0,1,0).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per k=1 il rango è 2 e le soluzioni hanno dimensione 2: (−s−t,0,s,t).
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Per k≠1 il rango è 3 e, avendo 4 incognite, lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1. Se k≠±1 una parametrizzazione è (x₁,x₂,x₃,x₄)=t(−1/(k+1),0,−1/(k+1),1). Per k=−1: t(1,0,1,0). Per k=1 il rango è 2 e le soluzioni hanno dimensione 2: (−s−t,0,s,t).
Risultato finale. Per k≠1 il rango è 3 e, avendo 4 incognite, lo spazio delle soluzioni ha dimensione 1. Se k≠±1 una parametrizzazione è (x₁,x₂,x₃,x₄)=t(−1/(k+1),0,−1/(k+1),1). Per k=−1: t(1,0,1,0). Per k=1 il rango è 2 e le soluzioni hanno dimensione 2: (−s−t,0,s,t).
Esercizio 68

Dominio di √(5−x)

Testo. Determinare il dominio di y=√(5−x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
Serve 5−x≥0,
4
Proseguiamo il calcolo (2)
D=(−∞,5].
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Serve 5−x≥0, quindi D=(−∞,5].
Risultato finale. Serve 5−x≥0, quindi D=(−∞,5].
Esercizio 69

Dominio di una funzione razionale

Testo. Determinare il dominio di y=(2x−1)/(x²−x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
Il denominatore x(x−1) non può annullarsi.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
D=R\{0,1}.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il denominatore x(x−1) non può annullarsi. D=R\{0,1}.
Risultato finale. Il denominatore x(x−1) non può annullarsi. D=R\{0,1}.
Esercizio 70

Dominio con radice di funzione razionale

Testo. Determinare il dominio di y=√((x−1)/((x−2)(x+3))).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
Occorre (x−1)/((x−2)(x+3))≥0 e x≠2,−3.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Con lo studio del segno: D=(−3,1]∪(2,+∞).
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Occorre (x−1)/((x−2)(x+3))≥0 e x≠2,−3. Con lo studio del segno: D=(−3,1]∪(2,+∞).
Risultato finale. Occorre (x−1)/((x−2)(x+3))≥0 e x≠2,−3. Con lo studio del segno: D=(−3,1]∪(2,+∞).
Esercizio 71

Dominio logaritmico

Testo. Determinare il dominio di y=log((x+2)/x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
L’argomento del logaritmo deve essere positivo: (x+2)/x>0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi D=(−∞,−2)∪(0,+∞).
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: L’argomento del logaritmo deve essere positivo: (x+2)/x>0. Quindi D=(−∞,−2)∪(0,+∞).
Risultato finale. L’argomento del logaritmo deve essere positivo: (x+2)/x>0. Quindi D=(−∞,−2)∪(0,+∞).
Esercizio 72

Dominio esponenziale con rapporto

Testo. Determinare il dominio di y=e^((x+1)/x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
L’esponenziale è definito per ogni esponente reale, ma (x+1)/x richiede x≠0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
D=R\{0}.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: L’esponenziale è definito per ogni esponente reale, ma (x+1)/x richiede x≠0. D=R\{0}.
Risultato finale. L’esponenziale è definito per ogni esponente reale, ma (x+1)/x richiede x≠0. D=R\{0}.
Esercizio 73

Dominio razionale con polinomio al denominatore

Testo. Determinare il dominio di y=1/[3(x²−x)−9(x+2)].
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
Il denominatore è 3(x²−4x−6), che si annulla per x=2±√10.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
D=R\{2−√10,2+√10}.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il denominatore è 3(x²−4x−6), che si annulla per x=2±√10. D=R\{2−√10,2+√10}.
Risultato finale. Il denominatore è 3(x²−4x−6), che si annulla per x=2±√10. D=R\{2−√10,2+√10}.
Esercizio 74

Dominio con logaritmo dentro una radice

Testo. Determinare il dominio di y=√(log((-2x−1)/(x+1))·eˣ).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
Poiché eˣ>0, serve log((-2x−1)/(x+1))≥0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Assumendo base del logaritmo >1, ciò equivale a (-2x−1)/(x+1)≥1.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Si ottiene D=(−1,−2/3].
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Poiché eˣ>0, serve log((-2x−1)/(x+1))≥0. Assumendo base del logaritmo >1, ciò equivale a (-2x−1)/(x+1)≥1. Si ottiene D=(−1,−2/3].
Risultato finale. Poiché eˣ>0, serve log((-2x−1)/(x+1))≥0. Assumendo base del logaritmo >1, ciò equivale a (-2x−1)/(x+1)≥1. Si ottiene D=(−1,−2/3].
Esercizio 75

Dominio con logaritmo e radice

Testo. Determinare il dominio di y=log(5−x)+√((x²−9)/(x+7)).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
Serve x<5 e (x²−9)/(x+7)≥0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Lo studio del segno dà (−7,−3]∪[3,+∞)
5
Proseguiamo il calcolo (3)
intersecando con x<5: D=(−7,−3]∪[3,5).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Serve x<5 e (x²−9)/(x+7)≥0. Lo studio del segno dà (−7,−3]∪[3,+∞); intersecando con x<5: D=(−7,−3]∪[3,5).
Risultato finale. Serve x<5 e (x²−9)/(x+7)≥0. Lo studio del segno dà (−7,−3]∪[3,+∞); intersecando con x<5: D=(−7,−3]∪[3,5).
Esercizio 76

Dominio di un’esponenziale polinomiale

Testo. Determinare il dominio di y=e^(x²−4−x³−x⁵).
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo le condizioni di esistenza
Imponiamo separatamente le condizioni richieste da denominatori, radici e logaritmi: denominatori diversi da zero, radicandi non negativi e argomenti dei logaritmi positivi.
2
Risolviamo le condizioni
Risolviamo le disequazioni ottenute e poi intersechiamo gli insiemi ammessi.
3
Calcolo
L’esponente è un polinomio definito per ogni reale.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
D=R.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: L’esponente è un polinomio definito per ogni reale. D=R.
Risultato finale. L’esponente è un polinomio definito per ogni reale. D=R.
Esercizio 77

Funzione a tratti con polinomio e retta

Testo. Studiare f(x)=x²−1 per x≤1 e f(x)=x+2 per x>1: continuità, monotonia, iniettività e suriettività.
Mostra svolgimento passo passo
1
Analizziamo i singoli tratti
Studiamo separatamente ogni formula e poi controlliamo i punti di raccordo tramite valori e limiti laterali.
2
Calcolo
In x=1 il valore a sinistra è 0, mentre il limite destro è 3: non è continua.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Sul primo tratto decresce per x<0 e cresce per x>0
4
Proseguiamo il calcolo (3)
sul secondo cresce.
5
Proseguiamo il calcolo (4)
Non è globalmente monotona né iniettiva.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: In x=1 il valore a sinistra è 0, mentre il limite destro è 3: non è continua. Sul primo tratto decresce per x<0 e cresce per x>0; sul secondo cresce. Non è globalmente monotona né iniettiva. L’immagine del primo tratto è [−1,+∞), quindi f è suriettiva su R? No: mancano i valori <−1.
Risultato finale. In x=1 il valore a sinistra è 0, mentre il limite destro è 3: non è continua. Sul primo tratto decresce per x<0 e cresce per x>0; sul secondo cresce. Non è globalmente monotona né iniettiva. L’immagine del primo tratto è [−1,+∞), quindi f è suriettiva su R? No: mancano i valori <−1.
Esercizio 78

Funzione a tratti esponenziale/polinomiale/logaritmica

Testo. Studiare f(x)=eˣ per x<0; x²−1 per 0≤x<1; log(x) per x≥1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Analizziamo i singoli tratti
Studiamo separatamente ogni formula e poi controlliamo i punti di raccordo tramite valori e limiti laterali.
2
Calcolo
Il dominio è R.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
In x=0: limite sinistro 1, valore −1, quindi discontinuità.
4
Proseguiamo il calcolo (3)
In x=1: limite sinistro 0 e valore log1=0, quindi continuità.
5
Proseguiamo il calcolo (4)
I tratti non producono una funzione globalmente monotona
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il dominio è R. In x=0: limite sinistro 1, valore −1, quindi discontinuità. In x=1: limite sinistro 0 e valore log1=0, quindi continuità. I tratti non producono una funzione globalmente monotona; inoltre l’immagine contiene sovrapposizioni, quindi non è iniettiva.
Risultato finale. Il dominio è R. In x=0: limite sinistro 1, valore −1, quindi discontinuità. In x=1: limite sinistro 0 e valore log1=0, quindi continuità. I tratti non producono una funzione globalmente monotona; inoltre l’immagine contiene sovrapposizioni, quindi non è iniettiva.
Esercizio 79

Correzione di una funzione a tratti con logaritmo

Testo. Studiare f(x)=e^(−x) per x≤0; x+2 per 0<x<3; log(x−4) per x>4.
Mostra svolgimento passo passo
1
Analizziamo i singoli tratti
Studiamo separatamente ogni formula e poi controlliamo i punti di raccordo tramite valori e limiti laterali.
2
Calcolo
La condizione x>4 nel terzo tratto è necessaria perché log(x−4) sia definito.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Il dominio è (−∞,3)∪(4,+∞).
4
Proseguiamo il calcolo (3)
La funzione è discontinua in x=0 (valore 1 contro limite destro 2) e presenta un intervallo escluso (3,4].
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: La condizione x>4 nel terzo tratto è necessaria perché log(x−4) sia definito. Il dominio è (−∞,3)∪(4,+∞). La funzione è discontinua in x=0 (valore 1 contro limite destro 2) e presenta un intervallo escluso (3,4].
Risultato finale. La condizione x>4 nel terzo tratto è necessaria perché log(x−4) sia definito. Il dominio è (−∞,3)∪(4,+∞). La funzione è discontinua in x=0 (valore 1 contro limite destro 2) e presenta un intervallo escluso (3,4].
Esercizio 80

Funzione inversa cubica

Testo. Trovare l’inversa di y=(x+2)³.
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dall’equazione y=f(x)
Scambiamo il ruolo di x e y e isoliamo la nuova variabile dipendente.
2
Controlliamo il dominio dell’inversa
L’immagine della funzione originaria diventa il dominio della funzione inversa.
3
Calcolo
Scambiando x e y e isolando x: x=∛y−2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi f⁻¹(y)=∛y−2.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Scambiando x e y e isolando x: x=∛y−2. Quindi f⁻¹(y)=∛y−2.
Risultato finale. Scambiando x e y e isolando x: x=∛y−2. Quindi f⁻¹(y)=∛y−2.
Esercizio 81

Funzione inversa razionale

Testo. Trovare l’inversa di y=4/(x+2).
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dall’equazione y=f(x)
Scambiamo il ruolo di x e y e isoliamo la nuova variabile dipendente.
2
Controlliamo il dominio dell’inversa
L’immagine della funzione originaria diventa il dominio della funzione inversa.
3
Calcolo
y(x+2)=4 ⇒ x=4/y−2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi f⁻¹(y)=4/y−2, con y≠0.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: y(x+2)=4 ⇒ x=4/y−2. Quindi f⁻¹(y)=4/y−2, con y≠0.
Risultato finale. y(x+2)=4 ⇒ x=4/y−2. Quindi f⁻¹(y)=4/y−2, con y≠0.
Esercizio 82

Composizione di funzioni

Testo. Date f(x)=|x−2| e g(x)=log(x−2), determinare (f∘g)(x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Componiamo nell’ordine corretto
Per f∘g sostituiamo g(x) al posto dell’argomento di f.
2
Determiniamo il dominio della composta
Occorre che x appartenga al dominio di g e che g(x) appartenga al dominio di f.
3
Calcolo
(f∘g)(x)=|log(x−2)−2|.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il dominio è x>2.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: (f∘g)(x)=|log(x−2)−2|. Il dominio è x>2.
Risultato finale. (f∘g)(x)=|log(x−2)−2|. Il dominio è x>2.
Esercizio 83

Limiti elementari

Testo. Calcolare: lim x→−∞ (x³+x); lim x→∞ eˣx²; lim x→0 1/(1+x²); lim x→±∞ 1/(1+x²).
Mostra svolgimento passo passo
1
Riconosciamo la forma del limite
Verifichiamo se il limite è immediato oppure presenta una forma indeterminata.
2
Semplifichiamo l’espressione
Usiamo il metodo più adatto: raccoglimento, termini dominanti, razionalizzazione o confronto di crescita.
3
Calcolo
I risultati sono rispettivamente −∞, +∞, 1, 0.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: I risultati sono rispettivamente −∞, +∞, 1, 0.
Risultato finale. I risultati sono rispettivamente −∞, +∞, 1, 0.
Esercizio 84

Limite con forma 0/0

Testo. Calcolare lim x→0 (3x²−x)/(2x+x⁵).
Mostra svolgimento passo passo
1
Riconosciamo la forma del limite
Verifichiamo se il limite è immediato oppure presenta una forma indeterminata.
2
Semplifichiamo l’espressione
Usiamo il metodo più adatto: raccoglimento, termini dominanti, razionalizzazione o confronto di crescita.
3
Calcolo
Raccogliendo x: (3x−1)/(2+x⁴)→−1/2.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Raccogliendo x: (3x−1)/(2+x⁴)→−1/2.
Risultato finale. Raccogliendo x: (3x−1)/(2+x⁴)→−1/2.
Esercizio 85

Limite con razionalizzazione

Testo. Calcolare lim x→0 [√(x+9)−3]/(4x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Riconosciamo la forma del limite
Verifichiamo se il limite è immediato oppure presenta una forma indeterminata.
2
Semplifichiamo l’espressione
Usiamo il metodo più adatto: raccoglimento, termini dominanti, razionalizzazione o confronto di crescita.
3
Calcolo
Razionalizzando si ottiene 1/[4(√(x+9)+3)]→1/24.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Razionalizzando si ottiene 1/[4(√(x+9)+3)]→1/24.
Risultato finale. Razionalizzando si ottiene 1/[4(√(x+9)+3)]→1/24.
Esercizio 86

Dominio e limiti di x²−x+ln(x−1)

Testo. Studiare dominio e limiti agli estremi del dominio di f(x)=x²−x+ln(x−1).
Mostra svolgimento passo passo
1
Riconosciamo la forma del limite
Verifichiamo se il limite è immediato oppure presenta una forma indeterminata.
2
Semplifichiamo l’espressione
Usiamo il metodo più adatto: raccoglimento, termini dominanti, razionalizzazione o confronto di crescita.
3
Calcolo
D=(1,+∞). lim x→1⁺ f(x)=−∞
4
Proseguiamo il calcolo (2)
lim x→+∞ f(x)=+∞.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D=(1,+∞). lim x→1⁺ f(x)=−∞; lim x→+∞ f(x)=+∞.
Risultato finale. D=(1,+∞). lim x→1⁺ f(x)=−∞; lim x→+∞ f(x)=+∞.
Esercizio 87

Continuità di una funzione a tratti con parametro

Testo. Sia f(x)=x²+x per x<0; √x per 0≤x≤1; ln x+a per x>1. Trovare a affinché f sia continua.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo i punti di raccordo
Una funzione a tratti è continua se valore della funzione, limite sinistro e limite destro coincidono nei punti di cambio formula.
2
Ricaviamo il parametro
Imponiamo l’uguaglianza dei due valori limite e risolviamo l’equazione nel parametro.
3
Calcolo
In x=0 i due tratti coincidono a 0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
In x=1 serve 1=ln1+a=a.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Quindi a=1.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: In x=0 i due tratti coincidono a 0. In x=1 serve 1=ln1+a=a. Quindi a=1.
Risultato finale. In x=0 i due tratti coincidono a 0. In x=1 serve 1=ln1+a=a. Quindi a=1.
Esercizio 88

Esistenza di una radice

Testo. Dimostrare che e^(x−1)−2x=0 ammette almeno una soluzione in [0,1].
Mostra svolgimento passo passo
1
Verifichiamo le ipotesi del teorema degli zeri
Controlliamo che la funzione sia continua sull’intervallo chiuso.
2
Confrontiamo i segni agli estremi
Se i valori agli estremi hanno segno opposto, esiste almeno una radice nell’intervallo.
3
Calcolo
La funzione è continua. f(0)=e⁻¹>0, mentre f(1)=−1<0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per il teorema degli zeri esiste almeno c∈(0,1) con f(c)=0.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: La funzione è continua. f(0)=e⁻¹>0, mentre f(1)=−1<0. Per il teorema degli zeri esiste almeno c∈(0,1) con f(c)=0.
Risultato finale. La funzione è continua. f(0)=e⁻¹>0, mentre f(1)=−1<0. Per il teorema degli zeri esiste almeno c∈(0,1) con f(c)=0.
Esercizio 89

Serie geometrica con parametro

Testo. Studiare Σₙ₌₁^∞ 1/(1+α)ⁿ, α≠−1, e calcolarne la somma.
Mostra svolgimento passo passo
1
Riconosciamo la struttura della serie
Portiamo la serie alla forma geometrica e identifichiamo la ragione q.
2
Imponiamo la convergenza
Una serie geometrica converge se e solo se |q|<1. Risolviamo questa condizione rispetto al parametro o alla variabile.
3
Calcoliamo la somma
Una volta verificata la convergenza, applichiamo la formula della somma geometrica tenendo conto dell’indice iniziale.
4
Calcolo
È geometrica con q=1/(1+α).
5
Proseguiamo il calcolo (2)
Converge se |q|<1, cioè α>0 oppure α<−2.
6
Proseguiamo il calcolo (3)
La somma è q/(1−q)=1/α.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: È geometrica con q=1/(1+α). Converge se |q|<1, cioè α>0 oppure α<−2. La somma è q/(1−q)=1/α.
Risultato finale. È geometrica con q=1/(1+α). Converge se |q|<1, cioè α>0 oppure α<−2. La somma è q/(1−q)=1/α.
Esercizio 90

Serie geometrica dipendente da x

Testo. Per x>0 studiare Σₙ₌₁₀^∞ x^(2n)/(x+4)ⁿ e calcolarne la somma.
Mostra svolgimento passo passo
1
Riconosciamo la struttura della serie
Portiamo la serie alla forma geometrica e identifichiamo la ragione q.
2
Imponiamo la convergenza
Una serie geometrica converge se e solo se |q|<1. Risolviamo questa condizione rispetto al parametro o alla variabile.
3
Calcoliamo la somma
Una volta verificata la convergenza, applichiamo la formula della somma geometrica tenendo conto dell’indice iniziale.
4
Calcolo
È geometrica con q=x²/(x+4).
5
Proseguiamo il calcolo (2)
Con x>0 converge se q<1, cioè 0<x<(1+√17)/2.
6
Proseguiamo il calcolo (3)
La somma è q¹⁰/(1−q).
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: È geometrica con q=x²/(x+4). Con x>0 converge se q<1, cioè 0<x<(1+√17)/2. La somma è q¹⁰/(1−q).
Risultato finale. È geometrica con q=x²/(x+4). Con x>0 converge se q<1, cioè 0<x<(1+√17)/2. La somma è q¹⁰/(1−q).
Esercizio 91

Limiti con potenze frazionarie ed esponenziali

Testo. Calcolare lim x→∞ [x^(5/2)−2x√(x+1)]/[2x^(5/2)−1] e lim x→∞ e^(2x)/(x²−2).
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1
Riconosciamo la forma del limite
Verifichiamo se il limite è immediato oppure presenta una forma indeterminata.
2
Semplifichiamo l’espressione
Usiamo il metodo più adatto: raccoglimento, termini dominanti, razionalizzazione o confronto di crescita.
3
Calcolo
Nel primo rapporto domina x^(5/2) al numeratore e 2x^(5/2) al denominatore: limite 1/2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Nel secondo l’esponenziale domina ogni polinomio: +∞.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Nel primo rapporto domina x^(5/2) al numeratore e 2x^(5/2) al denominatore: limite 1/2. Nel secondo l’esponenziale domina ogni polinomio: +∞.
Risultato finale. Nel primo rapporto domina x^(5/2) al numeratore e 2x^(5/2) al denominatore: limite 1/2. Nel secondo l’esponenziale domina ogni polinomio: +∞.
Esercizio 92

Derivate fondamentali — polinomi e prodotti

Testo. Calcolare le derivate di: x³−3x²+2x; (x²−1)³; (1−x)(2−x)(3−x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo la regola di derivazione
Applichiamo linearità, prodotto, quoziente e catena a seconda della struttura della funzione.
2
Deriviamo i fattori interni
Quando è presente una composizione, moltiplichiamo per la derivata della funzione interna e poi semplifichiamo.
3
Calcolo
Le derivate sono: 3x²−6x+2
4
Proseguiamo il calcolo (2)
6x(x²−1)²
5
Proseguiamo il calcolo (3)
−3x²+12x−11.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le derivate sono: 3x²−6x+2; 6x(x²−1)²; −3x²+12x−11.
Risultato finale. Le derivate sono: 3x²−6x+2; 6x(x²−1)²; −3x²+12x−11.
Esercizio 93

Derivate di funzioni razionali

Testo. Calcolare le derivate di (x²+1)/x e (x²+1)²/(x−1)³.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo la regola di derivazione
Applichiamo linearità, prodotto, quoziente e catena a seconda della struttura della funzione.
2
Deriviamo i fattori interni
Quando è presente una composizione, moltiplichiamo per la derivata della funzione interna e poi semplifichiamo.
3
Calcolo
Per la prima: 1−1/x².
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Per la seconda: [(x²+1)(x²−4x−3)]/(x−1)⁴.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Per la prima: 1−1/x². Per la seconda: [(x²+1)(x²−4x−3)]/(x−1)⁴.
Risultato finale. Per la prima: 1−1/x². Per la seconda: [(x²+1)(x²−4x−3)]/(x−1)⁴.
Esercizio 94

Derivata di una radice di rapporto

Testo. Calcolare la derivata di f(x)=√((x+1)/(x−1)).
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo la regola di derivazione
Applichiamo linearità, prodotto, quoziente e catena a seconda della struttura della funzione.
2
Deriviamo i fattori interni
Quando è presente una composizione, moltiplichiamo per la derivata della funzione interna e poi semplifichiamo.
3
Calcolo
f'(x)=−√((x+1)/(x−1))/[(x−1)(x+1)], sul dominio della funzione.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: f'(x)=−√((x+1)/(x−1))/[(x−1)(x+1)], sul dominio della funzione.
Risultato finale. f'(x)=−√((x+1)/(x−1))/[(x−1)(x+1)], sul dominio della funzione.
Esercizio 95

Derivate esponenziali e logaritmiche

Testo. Calcolare le derivate di xeˣ, x²ln(x²), ln((x+1)/(x−1)).
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo la regola di derivazione
Applichiamo linearità, prodotto, quoziente e catena a seconda della struttura della funzione.
2
Deriviamo i fattori interni
Quando è presente una composizione, moltiplichiamo per la derivata della funzione interna e poi semplifichiamo.
3
Calcolo
Le derivate sono eˣ(x+1)
4
Proseguiamo il calcolo (2)
2x[ln(x²)+1] per x≠0
5
Proseguiamo il calcolo (3)
−2/(x²−1).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le derivate sono eˣ(x+1); 2x[ln(x²)+1] per x≠0; −2/(x²−1).
Risultato finale. Le derivate sono eˣ(x+1); 2x[ln(x²)+1] per x≠0; −2/(x²−1).
Esercizio 96

Composizione f∘g e monotonia

Testo. Siano f(x)=(x³−1)/(x²+1), g(x)=eˣ. Trovare h=f∘g, dominio, monotonia e invertibilità.
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
h(x)=(e^(3x)−1)/(e^(2x)+1), D=R. h'(x)=e^(2x)[e^(3x)+3eˣ+2]/(e^(2x)+1)²>0,
5
Proseguiamo il calcolo (2)
h è strettamente crescente e invertibile sulla sua immagine, che è (−1,+∞).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: h(x)=(e^(3x)−1)/(e^(2x)+1), D=R. h'(x)=e^(2x)[e^(3x)+3eˣ+2]/(e^(2x)+1)²>0, quindi h è strettamente crescente e invertibile sulla sua immagine, che è (−1,+∞).
Risultato finale. h(x)=(e^(3x)−1)/(e^(2x)+1), D=R. h'(x)=e^(2x)[e^(3x)+3eˣ+2]/(e^(2x)+1)²>0, quindi h è strettamente crescente e invertibile sulla sua immagine, che è (−1,+∞).
Esercizio 97

Monotonia di x²−x+ln(x−1)

Testo. Per f(x)=x²−x+ln(x−1), determinare intervalli di crescenza/decrescenza.
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
f'(x)=(2x²−3x+2)/(x−1).
5
Proseguiamo il calcolo (2)
Per x>1 il denominatore è positivo e il numeratore è sempre positivo (Δ=−7).
6
Proseguiamo il calcolo (3)
Quindi f è strettamente crescente su (1,+∞).
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: f'(x)=(2x²−3x+2)/(x−1). Per x>1 il denominatore è positivo e il numeratore è sempre positivo (Δ=−7). Quindi f è strettamente crescente su (1,+∞).
Risultato finale. f'(x)=(2x²−3x+2)/(x−1). Per x>1 il denominatore è positivo e il numeratore è sempre positivo (Δ=−7). Quindi f è strettamente crescente su (1,+∞).
Esercizio 98

Estremi di una funzione a tratti

Testo. Studiare gli estremi di f(x)=1−x² per −1≤x<0 e f(x)=xe^(−x) per 0≤x≤2.
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
Minimo globale 0 in x=−1 e x=0.
5
Proseguiamo il calcolo (2)
Nel secondo tratto f'(x)=e^(−x)(1−x), quindi x=1 è massimo locale con valore 1/e.
6
Proseguiamo il calcolo (3)
Non esiste massimo globale: sul primo tratto f(x) tende a 1 per x→0⁻ senza raggiungerlo.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Minimo globale 0 in x=−1 e x=0. Nel secondo tratto f'(x)=e^(−x)(1−x), quindi x=1 è massimo locale con valore 1/e. Non esiste massimo globale: sul primo tratto f(x) tende a 1 per x→0⁻ senza raggiungerlo.
Risultato finale. Minimo globale 0 in x=−1 e x=0. Nel secondo tratto f'(x)=e^(−x)(1−x), quindi x=1 è massimo locale con valore 1/e. Non esiste massimo globale: sul primo tratto f(x) tende a 1 per x→0⁻ senza raggiungerlo.
Esercizio 99

Studio di √(x²−9)

Testo. Determinare dominio, limiti ed estremi di f(x)=√(x²−9).
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
D=(−∞,−3]∪[3,+∞). f→+∞ per x→±∞ e f→0 agli estremi ±3.
5
Proseguiamo il calcolo (2)
È decrescente su (−∞,−3] e crescente su [3,+∞).
6
Proseguiamo il calcolo (3)
Minimi globali f(±3)=0
7
Proseguiamo il calcolo (4)
nessun massimo.
8
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D=(−∞,−3]∪[3,+∞). f→+∞ per x→±∞ e f→0 agli estremi ±3. È decrescente su (−∞,−3] e crescente su [3,+∞). Minimi globali f(±3)=0; nessun massimo.
Risultato finale. D=(−∞,−3]∪[3,+∞). f→+∞ per x→±∞ e f→0 agli estremi ±3. È decrescente su (−∞,−3] e crescente su [3,+∞). Minimi globali f(±3)=0; nessun massimo.
Esercizio 100

Retta tangente

Testo. Trovare la tangente a f(x)=x√(x²−3)/√(x³+1) nel punto x₀=2.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il punto della curva
Troviamo f(x₀), cioè l’ordinata del punto di tangenza.
2
Calcoliamo la derivata
La pendenza della tangente è m=f′(x₀).
3
Scriviamo la retta
Usiamo la forma punto-pendenza y−f(x₀)=f′(x₀)(x−x₀).
4
Calcolo
f(2)=2/3 e f'(2)=11/9.
5
Proseguiamo il calcolo (2)
La tangente è y−2/3=(11/9)(x−2), cioè y=(11/9)x−16/9.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: f(2)=2/3 e f'(2)=11/9. La tangente è y−2/3=(11/9)(x−2), cioè y=(11/9)x−16/9.
Risultato finale. f(2)=2/3 e f'(2)=11/9. La tangente è y−2/3=(11/9)(x−2), cioè y=(11/9)x−16/9.
Esercizio 101

Studio di una funzione razionale

Testo. Studiare f(x)=(x²−2x)/(x−1): dominio, limiti, monotonia ed estremi.
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
D=R\{1}.
5
Proseguiamo il calcolo (2)
Si può scrivere f=x−1−1/(x−1). f'(x)=1+1/(x−1)²>0, quindi è crescente su (−∞,1) e (1,+∞).
6
Proseguiamo il calcolo (3)
In x=1 c’è asintoto verticale: limite sinistro +∞ e destro −∞.
7
Proseguiamo il calcolo (4)
Non esistono massimi o minimi assoluti.
8
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D=R\{1}. Si può scrivere f=x−1−1/(x−1). f'(x)=1+1/(x−1)²>0, quindi è crescente su (−∞,1) e (1,+∞). In x=1 c’è asintoto verticale: limite sinistro +∞ e destro −∞. Non esistono massimi o minimi assoluti.
Risultato finale. D=R\{1}. Si può scrivere f=x−1−1/(x−1). f'(x)=1+1/(x−1)²>0, quindi è crescente su (−∞,1) e (1,+∞). In x=1 c’è asintoto verticale: limite sinistro +∞ e destro −∞. Non esistono massimi o minimi assoluti.
Esercizio 102

Studio completo di ln(x)/x

Testo. Studiare f(x)=ln(x)/x: dominio, limiti, monotonia, estremi, flessi e comportamento su [1,e].
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
D=(0,+∞). lim x→0⁺=−∞, lim x→∞=0⁺. f'=(1−lnx)/x²: cresce su (0,e), decresce su (e,∞), massimo globale f(e)=1/e. f''=(2lnx−3)/x³: flesso in x=e^(3/2), concava prima e convessa dopo.
5
Proseguiamo il calcolo (2)
Su [1,e]: minimo 0 in x=1, massimo 1/e in x=e.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D=(0,+∞). lim x→0⁺=−∞, lim x→∞=0⁺. f'=(1−lnx)/x²: cresce su (0,e), decresce su (e,∞), massimo globale f(e)=1/e. f''=(2lnx−3)/x³: flesso in x=e^(3/2), concava prima e convessa dopo. Su [1,e]: minimo 0 in x=1, massimo 1/e in x=e.
Risultato finale. D=(0,+∞). lim x→0⁺=−∞, lim x→∞=0⁺. f'=(1−lnx)/x²: cresce su (0,e), decresce su (e,∞), massimo globale f(e)=1/e. f''=(2lnx−3)/x³: flesso in x=e^(3/2), concava prima e convessa dopo. Su [1,e]: minimo 0 in x=1, massimo 1/e in x=e.
Esercizio 103

Studio di e^(−x²)

Testo. Studiare f(x)=e^(−x²): dominio, limiti, estremi e concavità.
Mostra svolgimento passo passo
1
Partiamo dal dominio e dai limiti
Prima di derivare individuiamo dove la funzione è definita e il comportamento ai bordi del dominio.
2
Studiamo la derivata prima
Calcoliamo f′, troviamo gli eventuali punti critici e costruiamo il segno per stabilire crescenza e decrescenza.
3
Classifichiamo gli estremi
Il cambio di segno della derivata permette di distinguere massimi e minimi; se serve, usiamo anche la derivata seconda.
4
Calcolo
D=R
5
Proseguiamo il calcolo (2)
lim x→±∞=0. f'=−2xe^(−x²), quindi massimo globale f(0)=1 e nessun minimo (infimo 0). f''=2(2x²−1)e^(−x²): concava per |x|<1/√2, convessa per |x|>1/√2, flessi in x=±1/√2.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D=R; lim x→±∞=0. f'=−2xe^(−x²), quindi massimo globale f(0)=1 e nessun minimo (infimo 0). f''=2(2x²−1)e^(−x²): concava per |x|<1/√2, convessa per |x|>1/√2, flessi in x=±1/√2.
Risultato finale. D=R; lim x→±∞=0. f'=−2xe^(−x²), quindi massimo globale f(0)=1 e nessun minimo (infimo 0). f''=2(2x²−1)e^(−x²): concava per |x|<1/√2, convessa per |x|>1/√2, flessi in x=±1/√2.
Esercizio 104

Integrali immediati

Testo. Calcolare ∫(x²+e^(2x)+1)dx e ∫(eˣ+2e^(−x))²dx.
Mostra svolgimento passo passo
1
Semplifichiamo l’integrando
Prima di integrare sviluppiamo prodotti e riscriviamo radici o frazioni come potenze quando questo rende immediate le primitive.
2
Applichiamo le primitive elementari
Integriamo termine per termine e aggiungiamo la costante C negli integrali indefiniti.
3
Calcolo
Risultati: x³/3+e^(2x)/2+x+C
4
Proseguiamo il calcolo (2)
e^(2x)/2+4x−2e^(−2x)+C.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Risultati: x³/3+e^(2x)/2+x+C; e^(2x)/2+4x−2e^(−2x)+C.
Risultato finale. Risultati: x³/3+e^(2x)/2+x+C; e^(2x)/2+4x−2e^(−2x)+C.
Esercizio 105

Integrali con potenze

Testo. Calcolare ∫(x²+x⁻²)(x²−x⁻²)dx e ∫(x²−4√x)dx.
Mostra svolgimento passo passo
1
Semplifichiamo l’integrando
Prima di integrare sviluppiamo prodotti e riscriviamo radici o frazioni come potenze quando questo rende immediate le primitive.
2
Applichiamo le primitive elementari
Integriamo termine per termine e aggiungiamo la costante C negli integrali indefiniti.
3
Calcolo
Il primo integrando è x⁴−x⁻⁴: integrale x⁵/5+1/(3x³)+C.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il secondo dà x³/3−(8/3)x^(3/2)+C.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il primo integrando è x⁴−x⁻⁴: integrale x⁵/5+1/(3x³)+C. Il secondo dà x³/3−(8/3)x^(3/2)+C.
Risultato finale. Il primo integrando è x⁴−x⁻⁴: integrale x⁵/5+1/(3x³)+C. Il secondo dà x³/3−(8/3)x^(3/2)+C.
Esercizio 106

Integrale con sostituzione

Testo. Calcolare ∫ 3x/(x²+1) dx.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo una sostituzione
Cerchiamo una funzione interna la cui derivata compare, almeno a fattore costante, nell’integrando.
2
Trasformiamo l’integrale
Sostituiamo sia l’espressione sia il differenziale, integriamo nella nuova variabile e infine torniamo a x.
3
Calcolo
Con u=x²+1, du=2x dx: il risultato è (3/2)ln(x²+1)+C.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Con u=x²+1, du=2x dx: il risultato è (3/2)ln(x²+1)+C.
Risultato finale. Con u=x²+1, du=2x dx: il risultato è (3/2)ln(x²+1)+C.
Esercizio 107

Area sotto una funzione a tratti

Testo. Calcolare ∫₀² f(x)dx con f=x²+x per 0≤x≤1 e f=x+1 per 1≤x≤2.
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo la regione da misurare
Per un’area tra curve determiniamo quale funzione sta sopra e integriamo la differenza; per una funzione a tratti dividiamo l’integrale negli intervalli corretti.
2
Impostiamo l’integrale definito
Scriviamo gli estremi e, se necessario, separiamo l’integrale in più contributi.
3
Calcolo
∫₀¹(x²+x)dx=5/6 e ∫₁²(x+1)dx=5/2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Totale=10/3.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: ∫₀¹(x²+x)dx=5/6 e ∫₁²(x+1)dx=5/2. Totale=10/3.
Risultato finale. ∫₀¹(x²+x)dx=5/6 e ∫₁²(x+1)dx=5/2. Totale=10/3.
Esercizio 108

Area tra due grafici

Testo. Calcolare l’area tra f(x)=xe^(x²) e g(x)=−x su [0,1].
Mostra svolgimento passo passo
1
Individuiamo la regione da misurare
Per un’area tra curve determiniamo quale funzione sta sopra e integriamo la differenza; per una funzione a tratti dividiamo l’integrale negli intervalli corretti.
2
Impostiamo l’integrale definito
Scriviamo gli estremi e, se necessario, separiamo l’integrale in più contributi.
3
Calcolo
Su [0,1], f−g=x e^(x²)+x≥0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
L’area è ∫₀¹[x e^(x²)+x]dx=(e−1)/2+1/2=e/2.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Su [0,1], f−g=x e^(x²)+x≥0. L’area è ∫₀¹[x e^(x²)+x]dx=(e−1)/2+1/2=e/2.
Risultato finale. Su [0,1], f−g=x e^(x²)+x≥0. L’area è ∫₀¹[x e^(x²)+x]dx=(e−1)/2+1/2=e/2.
Esercizio 109

Integrale di (ln x)²

Testo. Calcolare ∫(ln x)² dx.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo l’integrazione per parti
Usiamo ∫u dv=uv−∫v du scegliendo come u il fattore che si semplifica derivando.
2
Ripetiamo il procedimento se necessario
Se rimane ancora un prodotto dello stesso tipo, integriamo per parti una seconda volta.
3
Calcolo
Per parti: ∫(lnx)²dx=x[(lnx)²−2lnx+2]+C.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Per parti: ∫(lnx)²dx=x[(lnx)²−2lnx+2]+C.
Risultato finale. Per parti: ∫(lnx)²dx=x[(lnx)²−2lnx+2]+C.
Esercizio 110

Integrale di x²eˣ

Testo. Calcolare ∫x²eˣ dx.
Mostra svolgimento passo passo
1
Scegliamo l’integrazione per parti
Usiamo ∫u dv=uv−∫v du scegliendo come u il fattore che si semplifica derivando.
2
Ripetiamo il procedimento se necessario
Se rimane ancora un prodotto dello stesso tipo, integriamo per parti una seconda volta.
3
Calcolo
Due integrazioni per parti portano a eˣ(x²−2x+2)+C.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Due integrazioni per parti portano a eˣ(x²−2x+2)+C.
Risultato finale. Due integrazioni per parti portano a eˣ(x²−2x+2)+C.
Esercizio 111

Integrali logaritmici

Testo. Calcolare ∫(lnx)/x dx e ∫[(lnx)²+1]/[x lnx] dx.
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1
Semplifichiamo l’integrando
Prima di integrare sviluppiamo prodotti e riscriviamo radici o frazioni come potenze quando questo rende immediate le primitive.
2
Applichiamo le primitive elementari
Integriamo termine per termine e aggiungiamo la costante C negli integrali indefiniti.
3
Calcolo
Il primo è (lnx)²/2+C.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Nel secondo, con u=lnx: ∫(u+1/u)du=u²/2+ln|u|+C=(lnx)²/2+ln|lnx|+C.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il primo è (lnx)²/2+C. Nel secondo, con u=lnx: ∫(u+1/u)du=u²/2+ln|u|+C=(lnx)²/2+ln|lnx|+C.
Risultato finale. Il primo è (lnx)²/2+C. Nel secondo, con u=lnx: ∫(u+1/u)du=u²/2+ln|u|+C=(lnx)²/2+ln|lnx|+C.
Esercizio 112

Integrale con √x

Testo. Calcolare ∫ dx/(1+√x).
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1
Scegliamo una sostituzione
Cerchiamo una funzione interna la cui derivata compare, almeno a fattore costante, nell’integrando.
2
Trasformiamo l’integrale
Sostituiamo sia l’espressione sia il differenziale, integriamo nella nuova variabile e infine torniamo a x.
3
Calcolo
Ponendo t=√x, x=t² e dx=2t dt: ∫2t/(1+t)dt=2t−2ln(1+t)+C.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi 2√x−2ln(1+√x)+C.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Ponendo t=√x, x=t² e dx=2t dt: ∫2t/(1+t)dt=2t−2ln(1+t)+C. Quindi 2√x−2ln(1+√x)+C.
Risultato finale. Ponendo t=√x, x=t² e dx=2t dt: ∫2t/(1+t)dt=2t−2ln(1+t)+C. Quindi 2√x−2ln(1+√x)+C.
Esercizio 113

Piano tangente a una superficie

Testo. Per f(x,y)=x³+2x+y²+1 trovare il piano tangente nel punto (1,2).
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1
Calcoliamo valore e gradiente nel punto
Servono f(x₀,y₀), fₓ(x₀,y₀) e fᵧ(x₀,y₀).
2
Scriviamo il piano tangente
Usiamo z=f(x₀,y₀)+fₓ(x₀,y₀)(x−x₀)+fᵧ(x₀,y₀)(y−y₀).
3
Calcolo
f(1,2)=8, fₓ=3x²+2 e fᵧ=2y, quindi fₓ(1,2)=5 e fᵧ(1,2)=4.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il piano è z=8+5(x−1)+4(y−2)=5x+4y−5.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: f(1,2)=8, fₓ=3x²+2 e fᵧ=2y, quindi fₓ(1,2)=5 e fᵧ(1,2)=4. Il piano è z=8+5(x−1)+4(y−2)=5x+4y−5.
Risultato finale. f(1,2)=8, fₓ=3x²+2 e fᵧ=2y, quindi fₓ(1,2)=5 e fᵧ(1,2)=4. Il piano è z=8+5(x−1)+4(y−2)=5x+4y−5.
Esercizio 114

Definitezza di forme quadratiche

Testo. Classificare A=[21112], B=[120211013], C=[-1212−6010−6].
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1
Usiamo un criterio di definitezza
Per matrici simmetriche possiamo usare autovalori o criterio di Sylvester sui minori principali.
2
Calcolo
A è semidefinita positiva: autovalori 5/2 e 0.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
B è indefinita (ad esempio i minori principali non soddisfano i criteri di definitezza e det B=−10).
4
Proseguiamo il calcolo (3)
C è definita negativa: i minori principali alternano segno e tutti gli autovalori sono negativi.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: A è semidefinita positiva: autovalori 5/2 e 0. B è indefinita (ad esempio i minori principali non soddisfano i criteri di definitezza e det B=−10). C è definita negativa: i minori principali alternano segno e tutti gli autovalori sono negativi.
Risultato finale. A è semidefinita positiva: autovalori 5/2 e 0. B è indefinita (ad esempio i minori principali non soddisfano i criteri di definitezza e det B=−10). C è definita negativa: i minori principali alternano segno e tutti gli autovalori sono negativi.
Esercizio 115

Dominio e punti stazionari di ln(x²−y²)

Testo. Studiare dominio e punti stazionari di f(x,y)=ln(x²−y²).
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1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
4
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
5
Calcolo
D={(x,y):x²−y²>0}={|x|>|y|}.
6
Proseguiamo il calcolo (2)
È aperto, illimitato e non chiuso. ∇f=(2x/(x²−y²),−2y/(x²−y²))
7
Proseguiamo il calcolo (3)
l’unico possibile annullamento sarebbe (0,0), che non appartiene al dominio.
8
Proseguiamo il calcolo (4)
Quindi non esistono punti stazionari.
9
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D={(x,y):x²−y²>0}={|x|>|y|}. È aperto, illimitato e non chiuso. ∇f=(2x/(x²−y²),−2y/(x²−y²)); l’unico possibile annullamento sarebbe (0,0), che non appartiene al dominio. Quindi non esistono punti stazionari.
Risultato finale. D={(x,y):x²−y²>0}={|x|>|y|}. È aperto, illimitato e non chiuso. ∇f=(2x/(x²−y²),−2y/(x²−y²)); l’unico possibile annullamento sarebbe (0,0), che non appartiene al dominio. Quindi non esistono punti stazionari.
Esercizio 116

Punti stazionari e Hessiana

Testo. Per f(x,y)=x³+2xy−y²+5 trovare e classificare i punti stazionari.
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1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
∇f=(3x²+2y,2x−2y).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Dalla seconda y=x
5
Proseguiamo il calcolo (3)
quindi x(3x+2)=0.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Punti: (0,0) e (−2/3,−2/3).
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: ∇f=(3x²+2y,2x−2y). Dalla seconda y=x; quindi x(3x+2)=0. Punti: (0,0) e (−2/3,−2/3). Hessiana H=[6x22−2]. In (0,0), det H=−4<0: sella. In (−2/3,−2/3), det H=4>0 e fₓₓ<0: massimo locale.
Risultato finale. ∇f=(3x²+2y,2x−2y). Dalla seconda y=x; quindi x(3x+2)=0. Punti: (0,0) e (−2/3,−2/3). Hessiana H=[6x22−2]. In (0,0), det H=−4<0: sella. In (−2/3,−2/3), det H=4>0 e fₓₓ<0: massimo locale.
Esercizio 117

Estremi globali su un insieme compatto

Testo. Per f(x,y)=(x−1)²+(y−1)² e S={(x,y):x≥0,y≥0,x+y≤2}, trovare massimi e minimi globali.
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1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Calcolo
S è compatto e f è continua, quindi gli estremi esistono.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il minimo globale è 0 in (1,1), che appartiene al bordo x+y=2.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Il massimo globale è 2 e si raggiunge nei tre vertici (0,0), (2,0), (0,2).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Il minimo globale in S coincide con quello in R².
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: S è compatto e f è continua, quindi gli estremi esistono. Il minimo globale è 0 in (1,1), che appartiene al bordo x+y=2. Il massimo globale è 2 e si raggiunge nei tre vertici (0,0), (2,0), (0,2). Il minimo globale in S coincide con quello in R².
Risultato finale. S è compatto e f è continua, quindi gli estremi esistono. Il minimo globale è 0 in (1,1), che appartiene al bordo x+y=2. Il massimo globale è 2 e si raggiunge nei tre vertici (0,0), (2,0), (0,2). Il minimo globale in S coincide con quello in R².
Esercizio 118

Punti stazionari di una funzione esponenziale

Testo. Studiare f(x,y)=e^(x²−y²−1)−x²−y²: punti stazionari e presenza di estremi globali.
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1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
I punti stazionari sono (0,0), (1,0), (−1,0). (0,0) è un massimo locale
4
Proseguiamo il calcolo (2)
(±1,0) sono punti di sella.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Inoltre f(x,0)→+∞ per x→∞ e f(0,y)→−∞ per y→∞: la funzione non ha né massimo né minimo globale.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: I punti stazionari sono (0,0), (1,0), (−1,0). (0,0) è un massimo locale; (±1,0) sono punti di sella. Inoltre f(x,0)→+∞ per x→∞ e f(0,y)→−∞ per y→∞: la funzione non ha né massimo né minimo globale.
Risultato finale. I punti stazionari sono (0,0), (1,0), (−1,0). (0,0) è un massimo locale; (±1,0) sono punti di sella. Inoltre f(x,0)→+∞ per x→∞ e f(0,y)→−∞ per y→∞: la funzione non ha né massimo né minimo globale.
Esercizio 119

Dominio, punti stazionari e sella di x ln(y²)

Testo. Per f(x,y)=x ln(y²), determinare il dominio, rappresentarlo, trovare i punti stazionari e classificarli.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
4
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
5
Calcolo
Il logaritmo richiede y²>0, quindi D={(x,y)∈R²:y≠0}.
6
Proseguiamo il calcolo (2)
Le derivate sono fₓ=ln(y²) e fᵧ=2x/y.
7
Proseguiamo il calcolo (3)
Il gradiente si annulla quando x=0 e y²=1, cioè nei punti (0,1) e (0,−1).
8
Proseguiamo il calcolo (4)
L’Hessiana ha determinante −4 in entrambi i punti, quindi entrambi sono punti di sella.
9
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il logaritmo richiede y²>0, quindi D={(x,y)∈R²:y≠0}. Le derivate sono fₓ=ln(y²) e fᵧ=2x/y. Il gradiente si annulla quando x=0 e y²=1, cioè nei punti (0,1) e (0,−1). L’Hessiana ha determinante −4 in entrambi i punti, quindi entrambi sono punti di sella.
Risultato finale. Il logaritmo richiede y²>0, quindi D={(x,y)∈R²:y≠0}. Le derivate sono fₓ=ln(y²) e fᵧ=2x/y. Il gradiente si annulla quando x=0 e y²=1, cioè nei punti (0,1) e (0,−1). L’Hessiana ha determinante −4 in entrambi i punti, quindi entrambi sono punti di sella.
Esercizio 120

Semisfera: dominio, stazionarietà ed estremi

Testo. Per f(x,y)=√(4−x²−y²), determinare dominio, punti stazionari ed estremi assoluti e relativi.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
4
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
5
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
6
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
7
Calcolo
Il dominio è il disco chiuso D={(x,y):x²+y²≤4}.
8
Proseguiamo il calcolo (2)
Nell’interno, fₓ=−x/√(4−x²−y²) e fᵧ=−y/√(4−x²−y²), quindi l’unico punto stazionario è (0,0).
9
Proseguiamo il calcolo (3)
Qui f=2: è massimo relativo e massimo assoluto.
10
Proseguiamo il calcolo (4)
Sulla circonferenza x²+y²=4 si ha f=0, quindi tutti i punti della circonferenza sono minimi assoluti.
11
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il dominio è il disco chiuso D={(x,y):x²+y²≤4}. Nell’interno, fₓ=−x/√(4−x²−y²) e fᵧ=−y/√(4−x²−y²), quindi l’unico punto stazionario è (0,0). Qui f=2: è massimo relativo e massimo assoluto. Sulla circonferenza x²+y²=4 si ha f=0, quindi tutti i punti della circonferenza sono minimi assoluti.
Risultato finale. Il dominio è il disco chiuso D={(x,y):x²+y²≤4}. Nell’interno, fₓ=−x/√(4−x²−y²) e fᵧ=−y/√(4−x²−y²), quindi l’unico punto stazionario è (0,0). Qui f=2: è massimo relativo e massimo assoluto. Sulla circonferenza x²+y²=4 si ha f=0, quindi tutti i punti della circonferenza sono minimi assoluti.
Esercizio 121

Curve di livello ed estremi vincolati

Testo. Per f(x,y)=(x+1)²+y²: (a) descrivere le curve di livello; (b) trovare massimo e minimo assoluti nella regione delimitata da x=0, x+y=1 e x−y=1.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Poniamo f(x,y)=c
Fissiamo un valore costante c e riscriviamo l’equazione per riconoscere geometricamente la famiglia delle curve di livello.
4
Calcolo
Le curve di livello f=c sono circonferenze (x+1)²+y²=c, con centro (−1,0) e raggio √c, per c≥0.
5
Proseguiamo il calcolo (2)
La regione vincolata è il triangolo con vertici (0,1), (0,−1), (1,0).
6
Proseguiamo il calcolo (3)
Il punto più vicino a (−1,0) è (0,0), dove f=1: minimo assoluto.
7
Proseguiamo il calcolo (4)
Il punto più lontano è (1,0), dove f=4: massimo assoluto.
8
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le curve di livello f=c sono circonferenze (x+1)²+y²=c, con centro (−1,0) e raggio √c, per c≥0. La regione vincolata è il triangolo con vertici (0,1), (0,−1), (1,0). Il punto più vicino a (−1,0) è (0,0), dove f=1: minimo assoluto. Il punto più lontano è (1,0), dove f=4: massimo assoluto.
Risultato finale. Le curve di livello f=c sono circonferenze (x+1)²+y²=c, con centro (−1,0) e raggio √c, per c≥0. La regione vincolata è il triangolo con vertici (0,1), (0,−1), (1,0). Il punto più vicino a (−1,0) è (0,0), dove f=1: minimo assoluto. Il punto più lontano è (1,0), dove f=4: massimo assoluto.
Esercizio 122

Punto stazionario di una funzione quadratica indefinita

Testo. Trovare e classificare i punti stazionari di f(x,y)=x²−y²+2x+2y.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
fₓ=2x+2 e fᵧ=−2y+2.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il punto stazionario è (−1,1).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
L’Hessiana è diag(2,−2), ha determinante negativo, quindi (−1,1) è un punto di sella.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: fₓ=2x+2 e fᵧ=−2y+2. Il punto stazionario è (−1,1). L’Hessiana è diag(2,−2), ha determinante negativo, quindi (−1,1) è un punto di sella.
Risultato finale. fₓ=2x+2 e fᵧ=−2y+2. Il punto stazionario è (−1,1). L’Hessiana è diag(2,−2), ha determinante negativo, quindi (−1,1) è un punto di sella.
Esercizio 123

Dominio di una radice di rapporto e confronto con un logaritmo

Testo. Sia f(x,y)=√((y−x²−2)/(y−2x)). Determinare e rappresentare il dominio; stabilire se è aperto, chiuso o limitato. Confrontarlo con il dominio di g(x,y)=√(y−x²−2)/ln(y−2x).
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcolo
Poiché x²+2>2x per ogni x, il rapporto è non negativo esattamente quando y≥x²+2 oppure y<2x.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi D_f={y≥x²+2}∪{y<2x}.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
È illimitato, non è aperto (contiene la parabola) e non è chiuso (la retta y=2x è esclusa ma può essere approssimata dal basso).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Per g serve y≥x²+2 e ln(y−2x)≠0.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Poiché x²+2>2x per ogni x, il rapporto è non negativo esattamente quando y≥x²+2 oppure y<2x. Quindi D_f={y≥x²+2}∪{y<2x}. È illimitato, non è aperto (contiene la parabola) e non è chiuso (la retta y=2x è esclusa ma può essere approssimata dal basso). Per g serve y≥x²+2 e ln(y−2x)≠0. Nella regione y≥x²+2 si ha y−2x≥1, con uguaglianza solo in (1,3); pertanto D_g={y≥x²+2}\{(1,3)}. I due domini sono quindi diversi.
Risultato finale. Poiché x²+2>2x per ogni x, il rapporto è non negativo esattamente quando y≥x²+2 oppure y<2x. Quindi D_f={y≥x²+2}∪{y<2x}. È illimitato, non è aperto (contiene la parabola) e non è chiuso (la retta y=2x è esclusa ma può essere approssimata dal basso). Per g serve y≥x²+2 e ln(y−2x)≠0. Nella regione y≥x²+2 si ha y−2x≥1, con uguaglianza solo in (1,3); pertanto D_g={y≥x²+2}\{(1,3)}. I due domini sono quindi diversi.
Esercizio 124

Dominio logaritmico e derivate parziali

Testo. Per f(x,y)=ln(4−x²−y²)−xy−ln(x+y), determinare il dominio, classificarlo e calcolare fₓ, fᵧ e fᵧₓ(1,0).
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcolo
Il dominio è D={(x,y):x²+y²<4, x+y>0}: l’intersezione fra il disco aperto di raggio 2 e il semipiano x+y>0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
È aperto, limitato e non chiuso.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Con Δ=4−x²−y² e s=x+y: fₓ=−2x/Δ−y−1/s
6
Proseguiamo il calcolo (4)
fᵧ=−2y/Δ−x−1/s.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il dominio è D={(x,y):x²+y²<4, x+y>0}: l’intersezione fra il disco aperto di raggio 2 e il semipiano x+y>0. È aperto, limitato e non chiuso. Con Δ=4−x²−y² e s=x+y: fₓ=−2x/Δ−y−1/s; fᵧ=−2y/Δ−x−1/s. Inoltre fᵧₓ=−4xy/Δ²−1+1/s², quindi fᵧₓ(1,0)=0.
Risultato finale. Il dominio è D={(x,y):x²+y²<4, x+y>0}: l’intersezione fra il disco aperto di raggio 2 e il semipiano x+y>0. È aperto, limitato e non chiuso. Con Δ=4−x²−y² e s=x+y: fₓ=−2x/Δ−y−1/s; fᵧ=−2y/Δ−x−1/s. Inoltre fᵧₓ=−4xy/Δ²−1+1/s², quindi fᵧₓ(1,0)=0.
Esercizio 125

Dominio, segno e derivata parziale di una funzione con radice

Testo. Per f(x,y)=√(y−x²−3x)/(x²+y²−4): disegnare il dominio, dire se è aperto/chiuso/limitato, individuare dove f>0 e calcolare fᵧ.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcolo
Serve N=y−x²−3x≥0 e D=x²+y²−4≠0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Quindi il dominio è la regione sopra la parabola y=x²+3x, privata dei punti che appartengono alla circonferenza x²+y²=4.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
È illimitato, né aperto né chiuso.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Si ha f>0 quando N>0 e D>0, cioè y>x²+3x e x²+y²>4.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Serve N=y−x²−3x≥0 e D=x²+y²−4≠0. Quindi il dominio è la regione sopra la parabola y=x²+3x, privata dei punti che appartengono alla circonferenza x²+y²=4. È illimitato, né aperto né chiuso. Si ha f>0 quando N>0 e D>0, cioè y>x²+3x e x²+y²>4. Per N>0: fᵧ=[D−4yN]/[2√N·D²].
Risultato finale. Serve N=y−x²−3x≥0 e D=x²+y²−4≠0. Quindi il dominio è la regione sopra la parabola y=x²+3x, privata dei punti che appartengono alla circonferenza x²+y²=4. È illimitato, né aperto né chiuso. Si ha f>0 quando N>0 e D>0, cioè y>x²+3x e x²+y²>4. Per N>0: fᵧ=[D−4yN]/[2√N·D²].
Esercizio 126

Curva di livello di una funzione razionale

Testo. Per f(x,y)=xy/(x²y²−1), mostrare che xy=2 è una curva di livello e spiegare perché due curve di livello distinte non possono intersecarsi.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema in due variabili
Scriviamo in modo esplicito dominio, derivate parziali e vincoli geometrici richiesti.
2
Calcolo
Se xy=2, allora x²y²=4 e f=2/(4−1)=2/3: tutta la curva xy=2 appartiene al livello 2/3.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Due curve di livello associate a valori diversi non possono intersecarsi perché in uno stesso punto una funzione può assumere un solo valore.
4
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Se xy=2, allora x²y²=4 e f=2/(4−1)=2/3: tutta la curva xy=2 appartiene al livello 2/3. Due curve di livello associate a valori diversi non possono intersecarsi perché in uno stesso punto una funzione può assumere un solo valore.
Risultato finale. Se xy=2, allora x²y²=4 e f=2/(4−1)=2/3: tutta la curva xy=2 appartiene al livello 2/3. Due curve di livello associate a valori diversi non possono intersecarsi perché in uno stesso punto una funzione può assumere un solo valore.
Esercizio 127

Topologia di un triangolo chiuso

Testo. Sia D={(x,y)∈R²:x≥0, y≥0, x+y≤3}. Stabilire se D è aperto, chiuso e compatto.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema in due variabili
Scriviamo in modo esplicito dominio, derivate parziali e vincoli geometrici richiesti.
2
Calcolo
D è l’intersezione di tre semipiani chiusi, quindi è chiuso.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
È limitato: è il triangolo con vertici (0,0), (3,0), (0,3).
4
Proseguiamo il calcolo (3)
In R², chiuso e limitato implica compatto.
5
Proseguiamo il calcolo (4)
Non è aperto perché contiene la propria frontiera.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D è l’intersezione di tre semipiani chiusi, quindi è chiuso. È limitato: è il triangolo con vertici (0,0), (3,0), (0,3). In R², chiuso e limitato implica compatto. Non è aperto perché contiene la propria frontiera.
Risultato finale. D è l’intersezione di tre semipiani chiusi, quindi è chiuso. È limitato: è il triangolo con vertici (0,0), (3,0), (0,3). In R², chiuso e limitato implica compatto. Non è aperto perché contiene la propria frontiera.
Esercizio 128

Dominio di ln(x²−1)e^(y²)

Testo. Per f(x,y)=ln(x²−1)e^(y²), determinare il dominio e dire se è aperto, chiuso, limitato e compatto.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcolo
L’esponenziale è definito per ogni y
4
Proseguiamo il calcolo (2)
il logaritmo richiede x²−1>0.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Quindi D={x<−1}∪{x>1}, con y arbitrario.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
È aperto e illimitato, non è chiuso e quindi non è compatto.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: L’esponenziale è definito per ogni y; il logaritmo richiede x²−1>0. Quindi D={x<−1}∪{x>1}, con y arbitrario. È aperto e illimitato, non è chiuso e quindi non è compatto.
Risultato finale. L’esponenziale è definito per ogni y; il logaritmo richiede x²−1>0. Quindi D={x<−1}∪{x>1}, con y arbitrario. È aperto e illimitato, non è chiuso e quindi non è compatto.
Esercizio 129

Dominio di una radice di rapporto in due variabili

Testo. Per f(x,y)=√((x+1)/(x²+y−1)), determinare il dominio e stabilire se è aperto, chiuso, limitato o compatto.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcolo
Ponendo A=x+1 e B=x²+y−1, serve A/B≥0 con B≠0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il dominio è {x>−1, y>1−x²} ∪ {x<−1, y<1−x²} ∪ {x=−1, y≠0}.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
È illimitato, non è aperto e non è chiuso
6
Proseguiamo il calcolo (4)
di conseguenza non è compatto.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Ponendo A=x+1 e B=x²+y−1, serve A/B≥0 con B≠0. Il dominio è {x>−1, y>1−x²} ∪ {x<−1, y<1−x²} ∪ {x=−1, y≠0}. È illimitato, non è aperto e non è chiuso; di conseguenza non è compatto.
Risultato finale. Ponendo A=x+1 e B=x²+y−1, serve A/B≥0 con B≠0. Il dominio è {x>−1, y>1−x²} ∪ {x<−1, y<1−x²} ∪ {x=−1, y≠0}. È illimitato, non è aperto e non è chiuso; di conseguenza non è compatto.
Esercizio 130

Estremi di x²+y² su un settore di disco

Testo. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x,y)=x²+y² nella regione x²+(y+1)²≤4, x≥0, y≥0.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Calcolo
Dalla disequazione del disco si ricava x²+y²≤3−2y≤3.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il minimo è 0 in (0,0).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Il massimo è 3 e si raggiunge quando y=0 e x=√3, cioè nel punto (√3,0).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Dalla disequazione del disco si ricava x²+y²≤3−2y≤3. Il minimo è 0 in (0,0). Il massimo è 3 e si raggiunge quando y=0 e x=√3, cioè nel punto (√3,0).
Risultato finale. Dalla disequazione del disco si ricava x²+y²≤3−2y≤3. Il minimo è 0 in (0,0). Il massimo è 3 e si raggiunge quando y=0 e x=√3, cioè nel punto (√3,0).
Esercizio 131

Punto di sella con termine xy

Testo. Trovare e classificare i punti stazionari di f(x,y)=x²−y²+2x+xy.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
fₓ=2x+2+y e fᵧ=x−2y.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Si ottiene (x,y)=(−4/5,−2/5).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
L’Hessiana [211−2] ha determinante −5<0: il punto è di sella.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: fₓ=2x+2+y e fᵧ=x−2y. Si ottiene (x,y)=(−4/5,−2/5). L’Hessiana [211−2] ha determinante −5<0: il punto è di sella.
Risultato finale. fₓ=2x+2+y e fᵧ=x−2y. Si ottiene (x,y)=(−4/5,−2/5). L’Hessiana [211−2] ha determinante −5<0: il punto è di sella.
Esercizio 132

Estremi su un triangolo nel primo quadrante

Testo. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x,y)=x²+y² su S={(x,y):x+y≤1, x≥0, y≥0}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Calcolo
S è il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (0,1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il minimo assoluto è 0 in (0,0).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Il massimo assoluto è 1 e si raggiunge in (1,0) e (0,1).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: S è il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (0,1). Il minimo assoluto è 0 in (0,0). Il massimo assoluto è 1 e si raggiunge in (1,0) e (0,1).
Risultato finale. S è il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (0,1). Il minimo assoluto è 0 in (0,0). Il massimo assoluto è 1 e si raggiunge in (1,0) e (0,1).
Esercizio 133

Secondo punto di sella con termine xy

Testo. Trovare e classificare i punti stazionari di f(x,y)=x²−y²−2x−xy.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
fₓ=2x−2−y e fᵧ=−2y−x.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il punto stazionario è (4/5,−2/5).
5
Proseguiamo il calcolo (3)
L’Hessiana [2−1−1−2] ha determinante −5<0: è un punto di sella.
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: fₓ=2x−2−y e fᵧ=−2y−x. Il punto stazionario è (4/5,−2/5). L’Hessiana [2−1−1−2] ha determinante −5<0: è un punto di sella.
Risultato finale. fₓ=2x−2−y e fᵧ=−2y−x. Il punto stazionario è (4/5,−2/5). L’Hessiana [2−1−1−2] ha determinante −5<0: è un punto di sella.
Esercizio 134

Estremi su un triangolo nel quarto quadrante

Testo. Determinare massimo e minimo assoluti di f(x,y)=x²+y² su S={(x,y):x−y≤1, x≥0, y≤0}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Calcolo
Poiché x≥0 e −y≥0, il vincolo x−y≤1 equivale a x+(−y)≤1: S è il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (0,−1).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il minimo è 0 in (0,0)
5
Proseguiamo il calcolo (3)
il massimo è 1 in (1,0) e (0,−1).
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Poiché x≥0 e −y≥0, il vincolo x−y≤1 equivale a x+(−y)≤1: S è il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (0,−1). Il minimo è 0 in (0,0); il massimo è 1 in (1,0) e (0,−1).
Risultato finale. Poiché x≥0 e −y≥0, il vincolo x−y≤1 equivale a x+(−y)≤1: S è il triangolo con vertici (0,0), (1,0), (0,−1). Il minimo è 0 in (0,0); il massimo è 1 in (1,0) e (0,−1).
Esercizio 135

Quartica: punti critici, minimi e derivata lungo una curva

Testo. Per f(x,y)=x⁴+2y²−2xy: trovare e classificare i punti critici. Poi porre x=1−t, y=t²−t e calcolare la derivata della funzione composta.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
Le condizioni 4x³−2y=0 e 4y−2x=0 danno (0,0), (1/2,1/4), (−1/2,−1/4).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
In (0,0) il determinante dell’Hessiana è negativo: sella.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Negli altri due punti è positivo con fₓₓ>0: sono minimi locali, in realtà globali, con valore −1/16.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Sostituendo x=1−t e y=t²−t si ottiene F(t)=3t⁴−6t³+4t²−2t+1 e F'(t)=12t³−18t²+8t−2.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Le condizioni 4x³−2y=0 e 4y−2x=0 danno (0,0), (1/2,1/4), (−1/2,−1/4). In (0,0) il determinante dell’Hessiana è negativo: sella. Negli altri due punti è positivo con fₓₓ>0: sono minimi locali, in realtà globali, con valore −1/16. Sostituendo x=1−t e y=t²−t si ottiene F(t)=3t⁴−6t³+4t²−2t+1 e F'(t)=12t³−18t²+8t−2.
Risultato finale. Le condizioni 4x³−2y=0 e 4y−2x=0 danno (0,0), (1/2,1/4), (−1/2,−1/4). In (0,0) il determinante dell’Hessiana è negativo: sella. Negli altri due punti è positivo con fₓₓ>0: sono minimi locali, in realtà globali, con valore −1/16. Sostituendo x=1−t e y=t²−t si ottiene F(t)=3t⁴−6t³+4t²−2t+1 e F'(t)=12t³−18t²+8t−2.
Esercizio 136

Funzione quadratica su un quadrato

Testo. Per f(x,y)=x²+y²+xy: trovare e classificare il punto critico; poi trovare massimo e minimo sul quadrato [1,2]×[1,2].
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema in due variabili
Scriviamo in modo esplicito dominio, derivate parziali e vincoli geometrici richiesti.
2
Calcolo
Il gradiente si annulla solo in (0,0).
3
Proseguiamo il calcolo (2)
L’Hessiana [2112] è definita positiva, quindi (0,0) è il minimo globale non vincolato.
4
Proseguiamo il calcolo (3)
Sul quadrato le derivate parziali 2x+y e x+2y sono positive: il minimo è f(1,1)=3, il massimo è f(2,2)=12.
5
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il gradiente si annulla solo in (0,0). L’Hessiana [2112] è definita positiva, quindi (0,0) è il minimo globale non vincolato. Sul quadrato le derivate parziali 2x+y e x+2y sono positive: il minimo è f(1,1)=3, il massimo è f(2,2)=12.
Risultato finale. Il gradiente si annulla solo in (0,0). L’Hessiana [2112] è definita positiva, quindi (0,0) è il minimo globale non vincolato. Sul quadrato le derivate parziali 2x+y e x+2y sono positive: il minimo è f(1,1)=3, il massimo è f(2,2)=12.
Esercizio 137

Dominio e sella con logaritmo

Testo. Per f(x,y)=x²y+x−y+ln(x), determinare dominio, punti stazionari e loro natura.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
4
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
5
Calcolo
Il dominio è x>0.
6
Proseguiamo il calcolo (2)
Le equazioni fₓ=2xy+1+1/x=0 e fᵧ=x²−1=0 impongono x=1 e y=−1.
7
Proseguiamo il calcolo (3)
L’Hessiana in (1,−1) ha determinante −4<0, quindi (1,−1) è un punto di sella.
8
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il dominio è x>0. Le equazioni fₓ=2xy+1+1/x=0 e fᵧ=x²−1=0 impongono x=1 e y=−1. L’Hessiana in (1,−1) ha determinante −4<0, quindi (1,−1) è un punto di sella.
Risultato finale. Il dominio è x>0. Le equazioni fₓ=2xy+1+1/x=0 e fᵧ=x²−1=0 impongono x=1 e y=−1. L’Hessiana in (1,−1) ha determinante −4<0, quindi (1,−1) è un punto di sella.
Esercizio 138

Cubicità, Hessiana ed estremi su un triangolo

Testo. Per f(x,y)=2x³+3y²−6xy−1: trovare i punti stazionari e determinare massimo e minimo assoluti su D={(x,y):y≥−2, x≥−1, x+y≤4}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
4
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
5
Calcolo
I punti stazionari sono (0,0), punto di sella, e (1,1), minimo locale.
6
Proseguiamo il calcolo (2)
D è il triangolo con vertici (−1,−2), (−1,5), (6,−2), quindi è compatto.
7
Proseguiamo il calcolo (3)
Analizzando i tre lati e i punti interni, il minimo assoluto è f(−1,−1)=−6
8
Proseguiamo il calcolo (4)
il massimo assoluto è f(6,−2)=515.
9
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: I punti stazionari sono (0,0), punto di sella, e (1,1), minimo locale. D è il triangolo con vertici (−1,−2), (−1,5), (6,−2), quindi è compatto. Analizzando i tre lati e i punti interni, il minimo assoluto è f(−1,−1)=−6; il massimo assoluto è f(6,−2)=515.
Risultato finale. I punti stazionari sono (0,0), punto di sella, e (1,1), minimo locale. D è il triangolo con vertici (−1,−2), (−1,5), (6,−2), quindi è compatto. Analizzando i tre lati e i punti interni, il minimo assoluto è f(−1,−1)=−6; il massimo assoluto è f(6,−2)=515.
Esercizio 139

Esponenziale di una funzione bilineare

Testo. Per f(x,y)=e^(2x−y+3xy): trovare e classificare i punti stazionari e determinare massimo e minimo assoluti su D={(x,y):y≥−1, x≥−1, x+y≤0}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Impostiamo il problema in due variabili
Scriviamo in modo esplicito dominio, derivate parziali e vincoli geometrici richiesti.
2
Calcolo
Il punto stazionario è (1/3,−2/3) ed è di sella.
3
Proseguiamo il calcolo (2)
Poiché l’esponenziale è crescente, basta ottimizzare h=2x−y+3xy sul triangolo D.
4
Proseguiamo il calcolo (3)
Il minimo di h è −6 in (−1,1), quindi min f=e^(−6).
5
Proseguiamo il calcolo (4)
Il massimo di h è 2 in (−1,−1), quindi max f=e².
6
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il punto stazionario è (1/3,−2/3) ed è di sella. Poiché l’esponenziale è crescente, basta ottimizzare h=2x−y+3xy sul triangolo D. Il minimo di h è −6 in (−1,1), quindi min f=e^(−6). Il massimo di h è 2 in (−1,−1), quindi max f=e².
Risultato finale. Il punto stazionario è (1/3,−2/3) ed è di sella. Poiché l’esponenziale è crescente, basta ottimizzare h=2x−y+3xy sul triangolo D. Il minimo di h è −6 in (−1,1), quindi min f=e^(−6). Il massimo di h è 2 in (−1,−1), quindi max f=e².
Esercizio 140

Quartica con minimi globali e quadrato della funzione

Testo. Per f(x,y)=x⁴+(1/2)y²−2xy: trovare e classificare i punti stazionari e discutere l’esistenza di minimi globali per [f(x,y)]².
Mostra svolgimento passo passo
1
Calcoliamo il gradiente
Troviamo fₓ e fᵧ e risolviamo il sistema ∇f=0 per ottenere i punti stazionari.
2
Costruiamo l’Hessiana
Calcoliamo le derivate seconde e usiamo il determinante dell’Hessiana e il segno di fₓₓ per classificare i punti.
3
Calcolo
I punti stazionari sono (0,0), (1,2), (−1,−2).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Il primo è una sella
5
Proseguiamo il calcolo (3)
gli altri due sono minimi globali di f con valore −1.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Infatti f=(1/2)(y−2x)²+(x²−1)²−1≥−1.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: I punti stazionari sono (0,0), (1,2), (−1,−2). Il primo è una sella; gli altri due sono minimi globali di f con valore −1. Infatti f=(1/2)(y−2x)²+(x²−1)²−1≥−1. Per f² il minimo globale è 0, perché f si annulla: ad esempio f(0,0)=0. In generale i minimi di f² sono tutti i punti della curva f(x,y)=0.
Risultato finale. I punti stazionari sono (0,0), (1,2), (−1,−2). Il primo è una sella; gli altri due sono minimi globali di f con valore −1. Infatti f=(1/2)(y−2x)²+(x²−1)²−1≥−1. Per f² il minimo globale è 0, perché f si annulla: ad esempio f(0,0)=0. In generale i minimi di f² sono tutti i punti della curva f(x,y)=0.
Esercizio 141

Estremi globali su un triangolo compatto

Testo. Per f(x,y)=x²−6x+y²−6y+xy, determinare massimo e minimo globali su D={(x,y):x≥0, y≥0, x+y≤2}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Calcolo
D è il triangolo con vertici (0,0), (2,0), (0,2).
4
Proseguiamo il calcolo (2)
L’unico punto critico non vincolato è (2,2), esterno a D.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
Sui bordi il valore minimo si ottiene sul lato x+y=2 in (1,1): f(1,1)=−9.
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Il massimo globale è f(0,0)=0.
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: D è il triangolo con vertici (0,0), (2,0), (0,2). L’unico punto critico non vincolato è (2,2), esterno a D. Sui bordi il valore minimo si ottiene sul lato x+y=2 in (1,1): f(1,1)=−9. Il massimo globale è f(0,0)=0.
Risultato finale. D è il triangolo con vertici (0,0), (2,0), (0,2). L’unico punto critico non vincolato è (2,2), esterno a D. Sui bordi il valore minimo si ottiene sul lato x+y=2 in (1,1): f(1,1)=−9. Il massimo globale è f(0,0)=0.
Esercizio 142

Funzione razionale: estremi su un triangolo

Testo. Per f(x,y)=(x²+y²+xy−x+y)/y: determinare e classificare eventuali punti stazionari e trovare massimo e minimo assoluti su S={(x,y):x≥3, y≥1, x+y≤8}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
2
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
3
Calcolo
Il dominio richiede y≠0.
4
Proseguiamo il calcolo (2)
Le equazioni di stazionarietà portano a 3x²−3x+1=0, che non ha soluzioni reali: non esistono punti stazionari.
5
Proseguiamo il calcolo (3)
S è il triangolo con vertici (3,1), (3,5), (7,1).
6
Proseguiamo il calcolo (4)
Sui lati, il minimo assoluto è 4+2√6 nel punto (3,√6)
7
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Il dominio richiede y≠0. Le equazioni di stazionarietà portano a 3x²−3x+1=0, che non ha soluzioni reali: non esistono punti stazionari. S è il triangolo con vertici (3,1), (3,5), (7,1). Sui lati, il minimo assoluto è 4+2√6 nel punto (3,√6); il massimo assoluto è 51 nel punto (7,1).
Risultato finale. Il dominio richiede y≠0. Le equazioni di stazionarietà portano a 3x²−3x+1=0, che non ha soluzioni reali: non esistono punti stazionari. S è il triangolo con vertici (3,1), (3,5), (7,1). Sui lati, il minimo assoluto è 4+2√6 nel punto (3,√6); il massimo assoluto è 51 nel punto (7,1).
Esercizio 143

Radice di rapporto: dominio, derivata ed esistenza degli estremi

Testo. Per f(x,y)=√((x²+y−2x)/(x²+y²−1)): rappresentare il dominio, dire se è aperto/chiuso/limitato, calcolare fₓ e stabilire se ammette massimo e minimo assoluti su S={(x,y):x²+y²≤9, x+y≥3}.
Mostra svolgimento passo passo
1
Traduciamo ogni vincolo analitico
Per logaritmi, radici e denominatori imponiamo le rispettive condizioni di esistenza nel piano (x,y).
2
Descriviamo geometricamente il dominio
Interpretiamo le disequazioni come regioni del piano e controlliamo se la frontiera è inclusa o esclusa.
3
Controlliamo l’esistenza degli estremi
Se il vincolo è compatto e la funzione è continua, il teorema di Weierstrass garantisce massimo e minimo assoluti.
4
Studiamo interno e frontiera
Confrontiamo i punti stazionari interni con i valori ottenuti sui lati, sulle curve di frontiera e nei vertici.
5
Calcolo
Ponendo N=x²+y−2x e D=x²+y²−1, il dominio è {N≥0,D>0}∪{N≤0,D<0}
6
Proseguiamo il calcolo (2)
è illimitato e in generale né aperto né chiuso.
7
Proseguiamo il calcolo (3)
Dove N/D>0, fₓ=[(2x−2)D−2xN]/[2D²√(N/D)].
8
Proseguiamo il calcolo (4)
Nell’insieme S si ha D>0 perché x²+y²≥(x+y)²/2≥9/2, e N≥x²−3x+3>0.
9
Conclusione e controllo
Raccogliamo il risultato ottenuto e verifichiamo che rispetti tutte le condizioni dell’esercizio. Risultato: Ponendo N=x²+y−2x e D=x²+y²−1, il dominio è {N≥0,D>0}∪{N≤0,D<0}; è illimitato e in generale né aperto né chiuso. Dove N/D>0, fₓ=[(2x−2)D−2xN]/[2D²√(N/D)]. Nell’insieme S si ha D>0 perché x²+y²≥(x+y)²/2≥9/2, e N≥x²−3x+3>0. Quindi S è contenuto nel dominio; essendo S compatto e f continua su S, f ammette sia massimo sia minimo assoluti.
Risultato finale. Ponendo N=x²+y−2x e D=x²+y²−1, il dominio è {N≥0,D>0}∪{N≤0,D<0}; è illimitato e in generale né aperto né chiuso. Dove N/D>0, fₓ=[(2x−2)D−2xN]/[2D²√(N/D)]. Nell’insieme S si ha D>0 perché x²+y²≥(x+y)²/2≥9/2, e N≥x²−3x+3>0. Quindi S è contenuto nel dominio; essendo S compatto e f continua su S, f ammette sia massimo sia minimo assoluti.