1. Calcolo elementare delle probabilità

1.1 Definizioni fondamentali e assiomatizzazione della probabilità

Popolazione

La popolazione è un insieme di individui o unità statistiche specificato in un determinato contesto, che può includere sia un ambito spaziale (ad esempio, “residenti in Italia”) sia un intervallo temporale (ad esempio, “nel 2021”).
Non necessariamente la popolazione si riferisce solo a individui umani, ma può riguardare qualunque tipo di entità oggetto di studio (es. stati, aziende, animali).
La popolazione può anche essere di numerosità infinita, ad esempio se si considerano eventi su un periodo temporale illimitato o se si includono generazioni future.

Individui (Unità Statistiche)

Gli individui o unità statistiche sono gli elementi che compongono la popolazione.
Ad esempio, se la popolazione è costituita dagli stati occidentali, gli individui saranno i singoli stati.
Ogni individuo può presentare caratteristiche o valori diversi riguardo ai fenomeni di interesse.

Variabile Statistica

La variabile statistica è il fenomeno d’interesse che si manifesta in modo diverso su ciascuna unità statistica.
Esempi di variabili statistiche possono essere il reddito familiare, l’altezza, il livello di istruzione, ecc.

Campione

Il campione è un sottoinsieme limitato di individui estratti dalla popolazione di interesse.
Gli individui nel campione devono essere scelti in modo casuale e senza un ordine prefissato per garantire rappresentatività.
Un campione non garantisce una conoscenza certa al 100% della popolazione, ma le informazioni ottenute dallo studio del campione vengono utilizzate per stimare o inferire proprietà della popolazione.

Campione Casuale Semplice

Un campione casuale semplice è un campione in cui ogni individuo della popolazione ha la stessa probabilità di essere selezionato rispetto a tutti gli altri.

Descrizione

La descrizione è la rappresentazione o la sintesi dei dati osservati, che possono riguardare il campione o l’intera popolazione.

Generalizzazione e Inferenza Statistica

La generalizzazione consiste nel trarre previsioni o prendere decisioni basate sulle informazioni ottenute dal campione.
Da qui nasce l’inferenza statistica, che permette di fare previsioni su fenomeni più ampi, come ad esempio i risultati di un’elezione, partendo dai dati raccolti in un campione.

Generalizzazione e Inferenza Statistica

La generalizzazione consiste nel fare previsioni o prendere decisioni basate sulle informazioni raccolte da un campione.
Da questa attività nasce l’inferenza statistica, ovvero il processo che permette di estendere le conclusioni ottenute dal campione all’intera popolazione.
Un esempio tipico di inferenza statistica è la previsione di un risultato elettorale sulla base di un sondaggio su un campione di elettori.

Variabili Statistiche

Le variabili statistiche si esprimono in forma numerica o categorica e si dividono in due grandi gruppi:

Variabili Qualitative (o Categoriali)
Rappresentano modalità che indicano l’appartenenza a un gruppo o categoria. Possono essere:

Nominali: variabili che non possono essere ordinate

Esempi: genere, gruppo sanguigno, colore degli occhi

Ordinali: variabili che possono essere ordinate
Esempi: gradimento, classi di grandezza aziendali.

Variabili Quantitative (o Numeriche)
Queste si suddividono ulteriormente in:

Continue: assumono valori su un intervallo continuo, permettendo l’uso di numeri decimali.
Esempi: peso, altezza.

Discrete: assumono solo valori interi (numeri naturali), senza valori intermedi.
Esempi: numero di figli per famiglia, numero di casi COVID in un mese.

Nota: la differenza principale è che le variabili continue possono assumere valori decimali, mentre quelle discrete solo valori interi.

Variabili Qualitative Ordinali e Nominali

• Variabili Qualitative Ordinabili (Ordinali)
  Le modalità possono essere ordinate secondo una relazione di grandezza.
  Esempi: valutazione scolastica (basso, buono, ottimo).
• Variabili Qualitative Non Ordinabili (Nominali o Scommesse)
  Le modalità non sono ordinabili tra loro.
  Esempio: sesso (uomo/donna), colore degli occhi.

Per analizzare variabili qualitative si utilizzano strumenti statistici specifici.

Scale di Misura delle Variabili Quantitative

• Scala di Rapporto
  Ha un’origine e uno zero assoluti e ben definiti, che consentono di fare confronti di rapporto.
  Esempio: peso corporeo — un uomo di 100 kg pesa il doppio di uno di 50 kg; cambiando l’unità di misura (kg, libbre) la proporzione resta invariata.
• Scala Intervallare
  Lo zero non è assoluto, ma arbitrario, quindi i rapporti tra valori non sono sempre significativi.
  Esempio: temperatura in gradi Celsius — 20°C non è il doppio di 10°C; convertendo in Fahrenheit i rapporti cambiano, anche se la differenza resta la stessa.

Ruolo della Statistica e della Teoria delle Probabilità

• La statistica serve a limitare gli errori e l’incertezza derivanti dall’analisi di un campione invece dell’intera popolazione.
• La teoria delle probabilità fornisce criteri e metodi per quantificare il grado di certezza o incertezza legato agli eventi aleatori nei campioni.

Concetti Base della Teoria delle Probabilità

1. Esperimento Casuale
   Un’esperienza il cui esito non è prevedibile con certezza (es. lancio di un dado, estrazione al lotto, lancio di un’impresa).
2. Esito Aleatorio (Evento Elementare)
   Un singolo possibile risultato dell’esperimento casuale. Esempi: il numero uscito nel lancio del dado, il voto ottenuto in un esame.
3. Evento
   Qualsiasi enunciato che può essere vero o falso, basato sugli esiti dell’esperimento.
4. Evento Casuale
   Un evento il cui verificarsi è incerto; cioè non è noto se sia vero o falso prima che l’esperimento si svolga. Esempio: “Passerò l’esame” è un evento casuale.

Esempio di Evento Elementare e Spazio Campionario

Nel lancio di un dado a 6 facce, gli esiti possibili sono:

$$\{ 1,2,3,4,5,6\}$$

Questo insieme si chiama spazio campionario (denotato Ω) e contiene tutti gli eventi elementari.
L’evento certo, cioè quello che si verifica sicuramente, è Ω stesso.

• Un evento è un sottoinsieme di Ω.

Esempio di Evento Aleatorio

Definiamo l’evento

$$A = \{\text{esce un numero pari}\} = \{ 2,4,6\}$$

L’evento A si verifica se il numero uscito dal dado è pari.

Evento Certo nell’Esempio dell’Esame

Se consideriamo il risultato di un esame con voti da 0 a 30 e lode, l’evento certo è:

$$\Omega = \{ 0,1,2,\ldots,30,30\text{L}\}$$

Ovvero, il voto ottenuto sarà sicuramente uno di questi.

Probabilità come misura

La probabilità è una funzione che assegna a ogni evento un numero reale tra 0 e 1. Secondo l’approccio assiomatico di Kolmogorov, una misura di probabilità P deve soddisfare tre assiomi fondamentali:

1. Non negatività: $P(A) \geq 0$ per ogni evento A
2. Normalizzazione: $P(\Omega) = 1$ (la probabilità che si verifichi uno qualunque di tutti gli esiti possibili (spazio campionario) è pari a 1, cioè certezza).

Esempio pratico:

Lancio di un dado:

Spazio campionario: $\Omega = \{ 1,2,3,4,5,6\}$

La probabilità che esca un numero compreso tra 1 e 6 è: $P(\Omega) = P(1 \cup 2 \cup 3 \cup 4 \cup 5 \cup 6) = 1$

Perché qualcosa tra quei sei numeri uscirà sicuramente: l'esperimento ha sempre un risultato.

3. Additività numerabile (per eventi disgiunti): Se $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ sono disgiunti ($A_{i} \cap A_{j} = \varnothing$), allora

$P\left( \bigcup_{i = 1}^{\infty}A_{i} \right) = \overset{\infty}{\sum_{i = 1}}P(A_{i})$

Traduzione in parole semplici:

Se hai una successione infinita di eventi $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ che non si sovrappongono tra loro (cioè sono mutuamente disgiunti, ovvero: $A_{i} \cap A_{j} = \varnothing$ per ogni $i \neq j$ ), allora la probabilità che si verifichi almeno uno di questi eventi è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi.

Esempio pratico:

Immagina di avere:

• $$A_{1} = \{\text{esce 1 col dado}\},$$
• $$A_{2} = \{\text{esce 2 col dado}\},$$
• …
• $$A_{6} = \{\text{esce 6 col dado}\}$$

Questi eventi sono mutuamente disgiunti: non possono accadere contemporaneamente. Allora:

$$P\left( \bigcup_{i = 1}^{6}A_{i} \right) = \overset{6}{\sum_{i = 1}}P(A_{i}) = \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{6} = 1$$

Stessa cosa vale anche se ci sono infiniti eventi, purché siano disgiunti tra loro.

Proprietà derivate

• $P(\varnothing) = 0$ (se un’evento è impossibile la probabilità assegnata è 0).
• $P(\Omega) = 1$ (evento certo)

• $P(A^{c}) = 1 - P(A)$ (evento complementare)
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Leggi di De Morgan

$$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$$

$$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$$

Probabilità che si verifichi soltanto uno dei due eventi

“Solo uno tra A e B è vero” significa:

$$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$$

Poiché i due eventi sono incompatibili:

$$P(\text{solo uno}) = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B)$$

Equivalentemente:

$$P(\text{solo uno}) = 1 - P(A \cap B) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$$

Tabella dei simboli e significati in probabilità

1.2 Probabilità condizionata

Definizione

La probabilità condizionata di un evento A dato che si è verificato B (con $P(B) > 0$) è:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Proprietà

Moltiplicazione: $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)$

Esempio: Probabilità condizionata

Supponiamo di avere un mazzo di 52 carte standard (senza jolly). Vogliamo calcolare la probabilità di pescare una carta fante (J) sapendo che la carta estratta è di cuori.

Passo 1: Definire gli eventi

• A= evento "la carta estratta è un fante"
• B= evento "la carta estratta è di cuori"

Passo 2: Calcolare le probabilità

• Probabilità di pescare una carta di cuori: $P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ (perché ci sono 13 carte di cuori su 52 totali)
• Probabilità di pescare una carta che sia sia fante e di cuori (cioè il fante di cuori): $P(A \cap B) = \frac{1}{52}$ (c’è una sola carta che è il fante di cuori)

Passo 3: Calcolare la probabilità condizionata

$P(A \mid B)$ cioè la probabilità che la carta sia un fante sapendo che è di cuori:

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{52}}{\frac{13}{52}} = \frac{1}{13} \approx 0.0769$$

Interpretazione

Se sai che la carta estratta è di cuori, allora la probabilità che sia un fante è $\frac{1}{13}$, perché tra le 13 carte di cuori c’è esattamente un fante.

1.3 Indipendenza stocastica

Definizione

Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

In altre parole, la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è il prodotto delle loro probabilità individuali.

Attenzione: indipendenza ≠ disgiunzione!

• Eventi disgiunti (o mutuamente esclusivi) sono quelli che non possono accadere contemporaneamente:

$$A \cap B = \varnothing \Longrightarrow P(A \cap B) = 0$$

• Se due eventi sono disgiunti e hanno probabilità positive, non possono essere indipendenti, perché:

$$P(A \cap B) = 0 \neq P(A) \times P(B) > 0$$

Esempio pratico di indipendenza

Immagina di lanciare due monete diverse, Moneta 1 e Moneta 2.

• Evento A: "Moneta 1 esce testa"
• Evento B: "Moneta 2 esce testa"

Le probabilità sono:

• $$P(A) = \frac{1}{2}$$
• $$P(B) = \frac{1}{2}$$
• $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ (entrambi escono testa)

Verifica:

$$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$$

Quindi A e B sono indipendenti.

Esempio pratico di disgiunzione

Prendi un dado a 6 facce.

• Evento C: "esce un numero pari" = {2, 4, 6}
• Evento D: "esce un numero dispari" = {1, 3, 5}

Questi due eventi non possono verificarsi insieme, quindi sono disgiunti:

$$C \cap D = \varnothing \Longrightarrow P(C \cap D) = 0$$

Inoltre:

$$P(C) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2},P(D) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Se fossero indipendenti, dovremmo avere:

$$P(C \cap D) = P(C) \times P(D) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ma invece:

$$P(C \cap D) = 0 \neq \frac{1}{4}$$

Quindi gli eventi disgiunti non sono indipendenti.

1.4 Teorema di Bayes

Formula

Se gli eventi $B_{1},B_{2},...,B_{n}$ sono una partizione dello spazio Ω (mutuamente disgiunti [nessuna coppia di insiemi ha elementi in comune] e con$\bigcup B_{i} = \Omega$ [Ogni elemento di $\Omega$ appartiene almeno a uno degli insiemi $B_{i}$]), allora:

$$P(B_{i}|A) = \frac{P(A|B_{i}) \cdot P(B_{i})}{\sum_{j = 1}^{n}P(A|B_{j}) \cdot P(B_{j})}$$

Interpretazione

• Serve per invertire le probabilità condizionate, molto usato in statistica bayesiana.
• Tipico esempio: test diagnostici (probabilità di essere malato dato che il test è positivo).

Esercizio sul Teorema di Bayes

Testo:
Un test diagnostico individua una malattia con:

• probabilità di test positivo dato che il paziente è malato: $P( + |M) = 0,95$
• probabilità di test positivo dato che il paziente è sano: $P( + |\overline{M}) = 0,10$
• probabilità di essere malato nella popolazione: $P(M) = 0,01$

Calcola:
a) la probabilità che una persona con test positivo sia davvero malata: $P(M| + )$

Svolgimento:

Applichiamo il Teorema di Bayes:

Formula:

$$P(M| + ) = \frac{P( + |M) \cdot P(M)}{P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M})}$$

Calcolo:

$$P(M| + ) = \frac{0,95 \cdot 0,01}{0,95 \cdot 0,01 + 0,10 \cdot 0,99} = \frac{0,0095}{0,0095 + 0,099} = \frac{0,0095}{0,1085} \approx 0,0876$$

Risultato: $P(M| + ) \approx 8,76\%$

Interpretazione: nonostante il test sia affidabile, la bassa prevalenza della malattia nella popolazione riduce drasticamente la probabilità reale di essere malati in presenza di un test positivo.

Riassunto del capitolo:

La probabilità è una misura definita su uno spazio campionario che rispetta i tre assiomi di Kolmogorov: non negatività, normalizzazione e additività numerabile.

La probabilità condizionata permette di aggiornare le probabilità quando si conosce un evento, mentre l’indipendenza stocastica significa che il verificarsi di un evento non influisce sull’altro.

Il Teorema di Bayes consente di calcolare la probabilità a posteriori di un evento, dato un altro evento osservato, utile soprattutto quando c'è una partizione dello spazio campionario.

ESERCIZI CAPITOLO 1

Esercizio 1 – Probabilità condizionata e indipendenza

Testo:
In una classe, il 60% degli studenti ha superato l’esame di Statistica (evento S), mentre il 40% ha frequentato tutte le lezioni (evento F). Inoltre, il 30% degli studenti ha sia frequentato tutte le lezioni che superato l’esame.
Calcola:

$$P(S|F)$$

Verifica se gli eventi S e F sono indipendenti.

Svolgimento:

a) Calcolo della probabilità condizionata

$$P(S|F) = \frac{P(S \cap F)}{P(F)} = \frac{0,30}{0,40} = 0,75$$

Interpretazione: il 75% di chi ha frequentato tutte le lezioni ha superato l’esame.

b) Verifica dell’indipendenza

Due eventi sono indipendenti se:

$$P(S \cap F) = P(S) \cdot P(F)$$

Verifichiamo:

$$P(S) \cdot P(F) = 0,60 \cdot 0,40 = 0,24 \neq 0,30 = P(S \cap F)$$

Conclusione: S e F non sono indipendenti.

Esercizio 2 - Il Test della "Sindrome del Caffeinismo"

In una nota università, si stima che il 4% degli studenti soffra della Sindrome del Caffeinismo Acuto (M), una condizione causata dall'abuso di caffè durante la sessione estiva.

Per identificare gli studenti a rischio, il centro medico universitario ha sviluppato un test salivare rapido. I dati tecnici del test dicono che:

• La probabilità che il test dia esito positivo dato che lo studente è malato è del 90%.
• La probabilità che il test dia esito negativo dato che lo studente è sano è del 85%.

Durante uno screening di massa, uno studente viene estratto a caso e sottoposto al test, che risulta positivo (+).

Le tue domande:

1. Qual è la probabilità complessiva che uno studente scelto a caso risulti positivo al test? (Probabilità totale).
2. [Domanda Bayesiana] Qual è la probabilità reale che lo studente sia effettivamente malato, sapendo che il suo test è risultato positivo?

Dati:

$$P(M) = 0,04$$

$$P(\overline{M}) = 1 - 0,04 = 0,96$$

$$P( + |M) = 0,90 \Longrightarrow P( - |M) = 1 - 0,90 = 0,10$$

$$P( - |\overline{M}) = 0,85 \Longrightarrow P(P|\overline{M}) = 1 - 0,85 = 0,15$$

1. La probabilità che uno studente scelto a caso risulti positivo al test è data da:

$$P( + ) = P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M}) = 0.90 \cdot 0.04 + 0.15 \cdot 0,96 = 0,18 \Longrightarrow 18\%$$

2. La probabilità reale che lo studente sia effettivamente malato, sapendo che il suo test è risultato

positivo:

$$P(M| + ) = \frac{P( + |M) \cdot P(M)}{P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M})} = \frac{0.90 \cdot 0.04}{0.18} = 0,20 \Longrightarrow 20\%$$

Anche se il test sembra molto preciso (90% di sensibilità), la probabilità reale di essere malati dopo un test positivo è solo del 20%. Questo succede perché la malattia è molto rara (4%) e il numero assoluto di sani che risultano positivi per errore (14,4%) è molto più grande dei malati veri scoperti dal test (3,6%).

Esercizio 3 - Patologia grave

Si sa che una patologia molto grave colpisce il 4,6% della popolazione. Il Servizio Sanitario Nazionale decide di istituire uno screening, proponendo a ciascun cittadino di sottoporsi gratuitamente ad un test. I dati tecnici del test sono i seguenti:

• La probabilità che il test risulti negativo su un soggetto malato è pari a 0,01.
• La probabilità che il test risulti positivo su un soggetto sano è uguale a 0,04.

Domande:

1. Qual è la probabilità che il test risulti positivo su un individuo scelto a caso?
2. Qual è la probabilità che un individuo risulti positivo al test e sia effettivamente malato?
3. Qual è la probabilità che un individuo risultato positivo al test sia effettivamente malato?
4. Supponendo che ciascun individuo risultato positivo al test sia sottoposto ad un trattamento il cui costo ammonta a 9.600 euro, qual è il costo atteso per ciascun individuo che si sottopone allo screening?

Dati:

• $M$: l'individuo è malato $\rightarrow P(M) = 0,046$ (Prevalenza).
• $\overline{M}$: l'individuo è sano $\rightarrow P(\overline{M}) = 1 - 0,046 = 0,954$.
• +/-: l'esito del test (Positivo o Negativo).

Dalle specifiche del test ricaviamo:

• $P( - |M) = 0,01$ (Falsi negativi) $\rightarrow P( + |M) = 0,99$(Sensibilità).
• $P( + |\overline{M}) = 0,04$ (Falsi positivi) $\rightarrow P( - |\overline{M}) = 0,96$ (Specificità).

1. Utilizziamo la Formula delle Probabilità Totali per sommare i "veri positivi" e i "falsi positivi":

$$P( + ) = P( + |M) \cdot P(M) + P( + |\overline{M}) \cdot P(\overline{M})$$

$$P( + ) = (0,99 \cdot 0,046) + (0,04 \cdot 0,954) = 0,04554 + 0,03816 = \mathbf{0},\mathbf{0837}$$

2. Questa è la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi contemporaneamente:

Dato che: $P( + |M) = \frac{P( + \cap M)}{P(M)}$

Allora:

$P( + \cap M) = P( + |M) \cdot P(M) = 0,99 \cdot 0,046 = \mathbf{0},\mathbf{0455}$

3. Usiamo il Teorema di Bayes per sapere quanto è affidabile un esito positivo:

$$P(M| + ) = \frac{P( + \cap M)}{P( + )} = \frac{0,04554}{0,0837} \approx \mathbf{0},\mathbf{5436}$$

Intuizione: Nonostante la sensibilità del 99%, se risulti positivo hai solo il 54,36% di probabilità di essere davvero malato a causa della rarità della malattia (Prevalenza bassa) e del numero di falsi positivi generati dalla massa di persone sane.

4. Sia X la variabile casuale "Costo del trattamento". L'individuo genera un costo solo se risulta positivo al test.

• Se il test è positivo: X = 9.600 con probabilità P(+) = 0,0837.
• Se il test è negativo: X = 0 con probabilità P(-) = 0,9163.

Il valore atteso (media teorica della spesa per individuo) è:

$$E\lbrack X\rbrack = 9.600 \cdot P( + ) + 0 \cdot P( - )$$

$$E\lbrack X\rbrack = 9.600 \cdot 0,0837 = \mathbf{803},\mathbf{52}\text{euro}$$

Questo significa che, mediamente, lo Stato deve accantonare circa 803,50 euro per ogni cittadino che decide di aderire alla campagna di screening.

Esercizio 4 - Trasferimento tra urne e Teorema di Bayes

L'urna A contiene 3 palline bianche e 2 nere; l’urna B contiene 3 bianche e 6 nere. Si pesca una pallina dall’urna A e, senza guardarla, la si mette nell’urna B; si pesca poi una pallina dall’urna B.

1. Definire gli eventi coinvolti.

5. Calcolare la probabilità che la pallina pescata dall’urna B sia nera.
6. Motivare il calcolo della probabilità che la pallina trasferita da A fosse nera, sapendo che la pallina estratta da B è risultata nera.

1. Siano $T_{B}eT_{N}$ gli eventi "trasferimento di una pallina bianca" e "nera" da A a B.

Sia $E_{N}$ l'evento "estrazione di una pallina nera da B".

Probabilità a priori (da A): $P(T_{B}) = \frac{3}{5}eP(T_{N}) = \frac{2}{5}$.

Probabilità condizionate (in B):

Se viene trasferita una bianca, l'urna B passa a 4B e 6N (totale 10): $P(E_{N}|T_{B}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Se viene trasferita una nera, l'urna B passa a 3B e 7N (totale 10): $P(E_{N}|T_{N}) = \frac{7}{10}$.

2. Probabilità Totale: $P(E_{N}) = P(T_{B}) \cdot P(E_{N}|T_{B}) + P(T_{N}) \cdot P(E_{N}|T_{N})$

$$P(E_{N}) = (3/5 \cdot 3/5) + (2/5 \cdot 7/10) = 9/25 + 7/25 = \mathbf{16}/\mathbf{25} \approx \mathbf{0}.\mathbf{64}.$$

3. Bayes : Per trovare $P(T_{N}|E_{N})$ usiamo la formula di Bayes:

$$P(T_{N}|E_{N}) = \frac{P(E_{N}|T_{N})P(T_{N})}{P(E_{N})} = \frac{7/10 \cdot 2/5}{\frac{16}{25}} = \frac{\frac{7}{25}}{\frac{16}{25}} = \mathbf{7}/\mathbf{16} \approx \mathbf{0}.\mathbf{4375}\$\$$$

Esercizio 5 - Doppia estrazione senza reinserimento e Urne Multiple

In questo caso la motivazione è più complessa perché bisogna considerare la dipendenza tra la prima e la seconda estrazione nell'urna di destinazione.

Testo: L'urna I contiene 9 palline bianche e 6 nere. L'urna II contiene 9 palline bianche e 7 nere. Si pesca una pallina dall'urna I e la si inserisce nell'urna II. Si estraggono quindi, senza reinserimento, due palline dall'urna II.

1. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta dall'urna II sia nera?
2. Giustificare il procedimento per trovare la probabilità che la pallina trasferita dall'urna I fosse bianca, sapendo che sono state estratte due nere dall'urna II.

1. Per prima cosa, dobbiamo definire gli eventi legati al trasferimento dall'urna I (la "causa"):

• $T_{B}$: viene trasferita una pallina bianca da I a II.
• $T_{N}$: viene trasferita una pallina nera da I a II.

Calcoliamo le probabilità basandoci sulla composizione dell'urna I (9B, 6N; totale 15):

• $$P(T_{B}) = \frac{9}{15} = \mathbf{0}.\mathbf{6}$$
• $$P(T_{N}) = \frac{6}{15} = \mathbf{0}.\mathbf{4}$$

In un'estrazione senza reinserimento da una popolazione finita, se l'esito della prima estrazione è ignoto, la probabilità che la seconda pallina sia di un certo colore è uguale alla probabilità che lo sia la prima $P(N_{2}) = P(N_{1})$. Applichiamo quindi la Formula delle Probabilità Totali:

$$P(N_{2}) = P(N_{2}|T_{B}) \cdot P(T_{B}) + P(N_{2}|T_{N}) \cdot P(T_{N})$$

• Se è stata trasferita una Bianca ($T_{B}$), l'urna II passa da (9B, 7N) a (10B, 7N; totale 17): $P(N_{2}|T_{B}) = \frac{7}{17}$

• Se è stata trasferita una Nera ($T_{N}$), l'urna II passa da (9B, 7N) a (9B, 8N; totale 17):$P(N_{2}|T_{N}) = \frac{8}{17}$

$$P(N_{2}) = \left( \frac{7}{17} \cdot 0.6 \right) + \left( \frac{8}{17} \cdot 0.4 \right) = \frac{4.2 + 3.2}{17} = \frac{7.4}{17} \approx \mathbf{0}.\mathbf{435}$$

2. Dobbiamo calcolare la probabilità di una "causa" ($T_{B}$) dato un "effetto" osservato (l'evento $E_{2N}$: "estrazione di due nere"). Utilizziamo il Teorema di Bayes:

$$P(T_{B}|E_{2N}) = \frac{P(E_{2N}|T_{B}) \cdot P(T_{B})}{P(E_{2N})}$$

Passaggio 1: Calcolo delle verosimiglianze (Likelihood) Usiamo il calcolo combinatorio per l'estrazione in blocco (senza reinserimento):

$$P(E_{2N}|T_{B}) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{21}{136} \approx 0.1544$$

$$P(E_{2N}|T_{N}) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{17}{2}} = \frac{28}{136} \approx 0.2059$$

Passaggio 2: Calcolo della probabilità totale dell'evento osservato $P(E_{2N}) = (0.1544 \cdot 0.6) + (0.2059 \cdot 0.4) = 0.09264 + 0.08236 = \mathbf{0}.\mathbf{175}$

Passaggio 3: Applicazione di Bayes

$$P(T_{B}|E_{2N}) = \frac{0.09264}{0.175} \approx \mathbf{0}.\mathbf{529}$$

2. VARIABILI ALEATORIE

2.1 Variabili aleatorie semplici

Una variabile aleatoria (v.a.) è una funzione che associa a ogni esito di un esperimento casuale un numero reale.

Es:

• Lanciando un dado: la variabile aleatoria può essere il numero uscito:

$$X(\omega) = \text{numero uscita} \in \{ 1,2,3,4,5,6\}$$

Variabili aleatorie discrete e continue

La variabile aleatoria discreta assume un numero finito o numerabile di valori.

Esempio: numero di figli in una famiglia, numero di chiamate al call center.

• Si descrive con una funzione di probabilità (p.m.f.):

$$P(X = x_{i}) = p_{i}\text{con}\sum p_{i} = 1$$

La variabile aleatoria continua assume un numero infinito non numerabile di valori (in un intervallo).

Esempio: altezza, peso, tempo.

• Si descrive con una funzione di densità (p.d.f.) f(x) tale che:

$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b}f(x)dx,\text{con}\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x)dx = 1$$

Funzione di ripartizione F(x)

Definizione:
Per una variabile aleatoria X, la funzione di ripartizione è: $F_{X}(x) = P(X \leq x)$

Cioè: la probabilità che la variabile assuma un valore minore o uguale a x.

Proprietà fondamentali (devono esserti chiare all'esame)

1. F(x) è crescente (mai decresce).
2. Limiti: $F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$
3. È continue per v.a. continue, a gradini per v.a. discrete.
4. Ti permette di calcolare qualunque probabilità.

Come si leggono le probabilità da F(x)

Se X è discreta: $P(X = x_{0}) = F(x_{0}) - F(x_{0}^{-})$

cioè salto nel grafico.

Se X è continua: $P(X = x_{0}) = 0$
$P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)$

Funzione di densità f(x)

Definizione (solo per variabili continue)

È una funzione non negativa tale che: $F(x) = \int_{- \infty}^{x}f(t),dt.$

Significato intuitivo

La densità non è una probabilità, ma è “quanto la variabile si concentra” intorno a x.
Probabilità su un punto singolo vale sempre 0, ma su un intervallo:

$$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b}f(x),dx.$$

Proprietà fondamentali

1. Sempre $f(x) \geq 0$.

5. L’area totale sotto la curva è 1: $\int_{- \infty}^{\infty}f(x),dx = 1.$
6. Puoi ricavare F(x) integrando f(x).
7. Puoi ricavare f(x) derivando F(x): $f(x) = F^{\prime}(x)$ se F è derivabile.

Quando serve all’esame?

• Calcolo probabilità tramite integrali.
• Calcolo quantili ($F(q_{\alpha}) = \alpha$).
• Costruzione di densità da condizioni (continuità, normalizzazione).
• Riconoscere outlier, IQR, boxplot…

Differenze rapide tra i tre concetti

Mini “formula sheet” come piace ai prof

Variabile discreta

$F(x) = \sum_{t \leq x}P(X = t)$ → $P(X = x_{0}) = F(x_{0}) - F(x_{0}^{-})$

Variabile continua

$F(x) = \int_{- \infty}^{x}f(t)dt$ → $P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx$ → $f(x) = F^{\prime}(x)$

Quantile (importantissimo all’esame)

$$q_{\alpha}:F(q_{\alpha}) = \alpha$$

Valore atteso e momenti

Valore atteso $\mathbb{E}(X)$

• Discreta: $\mathbb{E}(X) = \sum x_{i} \cdot P(X = x_{i})$
• Continua: $\mathbb{E}(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}x \cdot f(x)dx$

Interpretazione: media teorica dei valori di X.

Varianza

$$\text{Var}(X) = \mathbb{E}\lbrack(X - \mathbb{E}(X))^{2}\rbrack = \mathbb{E}(X^{2}) - \lbrack\mathbb{E}(X)\rbrack^{2}$$

Momenti

• n-esimo momento: $\mathbb{E}(X^{n})$
• Momenti centrati: $\mathbb{E}\lbrack(X - \mathbb{E}(X))^{n}\rbrack$

  • 2° momento centrato = varianza

  • 3° → asimmetria; 4° → curtosi

Quantili

Un quantile è un valore che divide la distribuzione in frazioni.

• Quantile $q_{\alpha}$:

$$q_{\alpha} = \inf\{ x \in \mathbb{R}|F(x) \geq \alpha\}$$

Il quantile $q_{\alpha}$ è il valore più piccolo di x per cui la funzione di ripartizione F(x) raggiunge almeno α.

Cioè cerchi il primo punto in cui F(x) “tocca” o “supera” α.

Perché si usa “inf”?

Perché la definizione deve funzionare anche in casi in cui F(x):

• non è continua
• ha salti
• ha tratti piatti

L’inf significa “il minimo valore che soddisfa la condizione”.
È come dire: “dammi il primo x in cui F(x) arriva ad α”.

Se esistesse proprio il minimo, sarebbe un “min”; ma in matematica generale la forma corretta è “inf”.

Cosa significa il simbolo “F(x) ≥ α”?

Stiamo cercando i punti in cui la ripartizione raggiunge almeno α.

Poiché F(x) è crescente:

• prima di quel punto F(x) < α
• da quel punto in poi F(x) ≥ α.

E il quantile è esattamente quel punto di svolta.

Esempio intuitivo

Supponi di voler trovare $q_{0.8}$ (l’80° percentile).

Disegni F(x) e immagini una linea orizzontale a livelli 0.8.

Poi guardi: qual è il primo punto x in cui F(x) arriva a 0.8? Quello è il quantile.

Esempio concreto (distribuzione con salti)

Supponi:

$$F(x) = \{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ 0.3 & 0 \leq x < 1 \\ 0.6 & 1 \leq x < 2 \\ 1 & x \geq 2 \end{matrix}$$

Troviamo $q_{0.5}$ :

• Per x<0: F=0 < 0.5
• Per 0 ≤ x<1: F=0.3 < 0.5
• Per 1 ≤ x<2: F=0.6 ≥ 0.5 (qui per la prima volta superiamo α)

Dunque:

$q_{0.5} = 1$.

Infatti 1 è il più piccolo x che soddisfa $F(x) \geq 0.5$.

Perché non si usa semplicemente “F($q_{\alpha}$) = α"?

Per variabili continue, sì: $F(q_{\alpha}) = \alpha$.

Ma per variabili discrete o miste, può succedere che:

• F salta direttamente sopra α
• F sia piatta per un po'
• F non sia mai esattamente = α

Ecco un esempio:

$F(x) = \{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ 0.7 & 0 \leq x < 1 \\ 1 & x \geq 1 \end{matrix}$

Chiedi $q_{0.5}$:

F non è mai esattamente = 0.5, però:

• a x=0: F=0.7 ≥ 0.5 → quindi $q_{0.5} = 0$.

Con la definizione $F(q_{\alpha}) = \alpha$ non potresti risolvere.
Con la definizione con “inf”, invece sì.

Esempi comuni:

• Mediana = $q_{0.5}$
• Primo quartile $Q_{1} = q_{0.25}$
• Terzo quartile $Q_{3} = q_{0.75}$
• Scarto interquartile: $Q_{3} - Q_{1}$

Trasformazioni di variabili aleatorie

Data Y = g(X), dove X è una v.a.:

• Se X è discreta:

  • Calcola Y = g(X)

  • Trova i possibili valori di Y
  • Usa la legge di probabilità di X per ottenere quella di Y
• Se X è continua:

  • Se g è monotona e derivabile, usa la formula del cambio di variabile:

$$f_{Y}(y) = f_{X}(g^{- 1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy}g^{- 1}(y) \right|$$

Cosa sono le distribuzioni di probabilità?

Quando studiamo una variabile aleatoria (cioè qualcosa che può assumere diversi valori in modo casuale, come il numero che esce lanciando un dado), vogliamo sapere quanto è probabile ogni possibile valore.

A seconda del tipo di variabile (discreta o continua) useremo modelli diversi, detti distribuzioni.

Distribuzioni discrete

(→ usate per conteggi, cioè quando i valori possibili sono interi e numerabili: 0, 1, 2, 3, ...)

1. Distribuzione di Bernoulli – $\text{Bernoulli}(p)$

Quando si usa:
Se hai un solo esperimento che può avere solo due risultati:

• Successo (es. testa)
• Insuccesso (es. croce)

Esempi:

• Lancio di una moneta (testa = 1, croce = 0)
• Riuscita o fallimento di una prova

Definizione:
La variabile può assumere solo due valori:

$$X = \{\begin{array}{r} 1\text{(con probabilità}p\text{)} \\ 0\text{(con probabilità}1 - p\text{)} \end{array}$$

Media (valore atteso):

$$\mathbb{E}(X) = p$$

Varianza (dispersione):

$$\text{Var}(X) = p(1 - p)$$

2. Distribuzione Binomiale – $\text{Bin}(n,p)$

Quando si usa:
Quando fai n prove indipendenti di tipo Bernoulli (cioè con due esiti) e vuoi sapere quanti successi ottieni.

Esempio:

10 lanci di una moneta → quanti testa?

20 clienti → quanti comprano il prodotto?

Definizione:

$$P(X = k) = \binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$$

dove:

• n = numero di prove
• p = probabilità di successo
• k = numero di successi

Media:

$$\mathbb{E}(X) = np$$

Varianza:

$$\text{Var}(X) = np(1 - p)$$

3. Distribuzione geometrica - $Geom(p)$

Quando si usa:

Si utilizza quando si ripetono prove indipendenti con probabilità di successo costante p e si vuole individuare il numero del tentativo nel quale si verifica il primo successo.

Formula

$$P(X = k) = (1 - p)^{k - 1}pk = 1,2,3,\ldots$$

Probabilità cumulate utili

$$P(X > k) = (1 - p)^{k}$$

Media e varianza

$$E(X) = \frac{1}{p}$$

$$Var(X) = \frac{1 - p}{p^{2}}$$

Esempio

Se ogni chiave ha probabilità p di essere quella corretta, la probabilità di trovare la chiave giusta esattamente al quarto tentativo è:

$$P(X = 4) = (1 - p)^{3}p$$

4. Distribuzione di Poisson – $\text{Poisson}(\lambda)$

Quando si usa:
Per contare eventi rari in un certo intervallo di tempo o spazio.

Esempi:

• Quanti clienti entrano in un negozio in un’ora
• Quanti incidenti stradali accadono in un giorno

Definizione:

$$P(X = k) = \frac{\lambda^{k}e^{- \lambda}}{k!},k = 0,1,2,...$$

• λ = media attesa di eventi in un intervallo

Media e varianza:

$$\mathbb{E}(X) = \lambda\text{e}\text{Var}(X) = \lambda$$

Esercizio ricorrente: Poisson seguita da binomiale

Supponiamo che il numero giornaliero di clienti sia:

$$X \sim Poisson(\lambda)$$

La probabilità che in un singolo giorno non arrivi alcun cliente è:

$$p = P(X = 0) = e^{- \lambda}$$

Se osserviamo n giornate e definiamo Y come il numero di giorni senza clienti, allora:

$$Y \sim Binomiale(n,p)$$

Per calcolare la probabilità che non arrivino clienti in più di due giornate:

$$P(Y > 2) = 1 - P(Y \leq 2)$$

$$P(Y > 2) = 1 - \overset{2}{\sum_{k = 0}}\binom{n}{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$$

Distribuzioni continue

(→ usate per variabili che assumono infiniti valori in un intervallo, come altezza, peso, tempo)

1. Distribuzione Uniforme – $\text{Unif}(a,b)$

Quando si usa:
Quando tutti i valori in un intervallo sono ugualmente probabili.

Esempio:

L’orario in cui arrivi a lezione tra le 9:00 e le 9:10 (ogni minuto è ugualmente probabile)

Definizione:

$$f(x) = \frac{1}{b - a},\text{per}x \in \lbrack a,b\rbrack$$

Media:

$$\mathbb{E}(X) = \frac{a + b}{2}$$

Varianza:

$$\text{Var}(X) = \frac{(b - a)^{2}}{12}$$

2. Distribuzione Normale – $\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2})$

Quando si usa:
È la distribuzione più importante: molti fenomeni naturali la seguono (altezza, pressione, errori di misura).

Ha la classica forma a campana, simmetrica.

Definizione:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{- \frac{(x - \mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$

• $\mu$ = media (centro della campana)
• $\sigma^{2}$ = varianza (larghezza della campana)

Normale standardizzata: $\mathcal{N}(0,1)$, cioè con media 0 e varianza 1

Media e varianza:

$$\mathbb{E}(X) = \mu\text{e}\text{Var}(X) = \sigma^{2}$$

3. Distribuzione Esponenziale – $Exp(\lambda)$

Quando si usa:
Per modellare il tempo di attesa tra due eventi (es: tempo tra due clienti, tempo tra due guasti).

$$f(x) = \lambda e^{- \lambda x},\text{per}x \geq 0$$

• $\lambda$ = parametro > 0

Media:

$$\mathbb{E}(X) = \frac{1}{\lambda}$$

Varianza:

$$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^{2}}$$

Caratteristica speciale:
Ha la proprietà di memoria nulla:

$$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$$

→ il tempo già passato non influenza il tempo rimanente (come nel caso dei guasti meccanici imprevedibili)

2.2 VARIABILI ALEATORIE CONGIUNTE

Variabili doppie discrete (bivariate)

Due variabili aleatorie discrete X e Y definite sullo stesso spazio di probabilità si dicono congiunte quando si considerano insieme, cioè si analizza la probabilità di coppie $(x_{i},y_{j})$.

• Si descrivono con una funzione di probabilità congiunta: $P(X = x_{i},Y = y_{j}) = p_{ij}\text{con}\sum_{i}\sum_{j}p_{ij} = 1$

Marginali:

• $$P(X = x_{i}) = \sum_{j}p_{ij}$$
• $P(Y = y_{j}) = \sum_{i}p_{ij}$

Condizionate:

• $P(Y = y_{j} \mid X = x_{i}) = \frac{p_{ij}}{P(X = x_{i})}$
  (solo se $P(X = x_{i}) > 0$)

Valore atteso congiunto

Quando abbiamo due variabili aleatorie discrete X e Y, definite insieme tramite la distribuzione congiunta p(x, y), possiamo calcolare il valore atteso di qualunque funzione g(X, Y).

Definizione

$$E\lbrack g(X,Y)\rbrack = \sum_{x}\sum_{y}g(x,y),p(x,y)$$

Cosa significa?

Stiamo facendo la media pesata dei valori g(x,y) usando come pesi le probabilità congiunte (p(x,y)).
Ogni coppia (x,y) contribuisce proporzionalmente a quanto è probabile.

Casi particolari

1. Per ricavare il valore atteso di (X): $E\lbrack X\rbrack = \sum_{x}\sum_{y}x,p(x,y)$

8. Per (Y): $E\lbrack Y\rbrack = \sum_{x}\sum_{y}y,p(x,y)$

Perché ha senso questa formula?

Perché quando le variabili sono congiunte, la probabilità che “X prenda x e Y prenda y” è distribuita su una tabella (x,y). Il valore atteso deve tener conto di tutte le combinazioni possibili.

Valore atteso condizionato

Quando vogliamo sapere “qual è il valore medio di X sapendo che Y = y”, usiamo il valore atteso condizionato.

Definizione

$$E\lbrack X \mid Y = y\rbrack = \sum_{x}x,P(X = x \mid Y = y)$$

Interpretazione chiara

• Non stiamo più usando la distribuzione congiunta.
• Non stiamo più usando la marginale di X.
• Stiamo usando la distribuzione condizionata di X dato Y = y.

Stiamo cioè calcolando la media di X solo tra i casi in cui Y vale y.

Perché la formula è così?

Per definizione di valore atteso discreto:

$$E\lbrack X\rbrack = \sum_{x}x \cdot P(X = x)$$

Se però non guardiamo l’intera popolazione, ma solo quella parte in cui Y = y, allora dobbiamo sostituire P(X = x) con la probabilità condizionata: $P(X = x \mid Y = y)$

Da cui nasce la formula.

Da dove arriva $P(X = x \mid Y = y)$?

Dalla definizione:

$$P(X = x \mid Y = y) = \frac{p(x,y)}{P(Y = y)}$$

Quindi il valore atteso condizionato è:

$$E\lbrack X \mid Y = y\rbrack = \sum_{x}x,\frac{p(x,y)}{P(Y = y)}$$

Proprietà fondamentali del valore atteso condizionato

Linearità

$$E\lbrack aX + bY \mid Z\rbrack = aE\lbrack X \mid Z\rbrack + bE\lbrack Y \mid Z\rbrack$$

Significato: il valore atteso condizionato si comporta come quello normale: le costanti escono, le somme si separano.

Legge della speranza totale

$$E\lbrack X\rbrack = \sum_{y}E\lbrack X \mid Y = y\rbrack,P(Y = y)$$

Significato intuitivo

Il valore atteso totale di X è la media dei valori attesi condizionati pesi dalle probabilità di Y.

È una decomposizione:

• dividi la popolazione in gruppi (fissando Y = y)
• calcoli il valore atteso in ogni gruppo
• fai una media pesata dei gruppi

Varianza condizionata

La varianza condizionata misura la variabilità di X sapendo che Y=y$Var(X \mid Y = y) = E(X^{2} \mid Y = y) - \lbrack E(X \mid Y = y)\rbrack^{2}$

Dove:

$$E(X^{2} \mid Y = y) = \sum_{x}x^{2}P(X = x \mid Y = y)$$

Equivalentemente:

$$Var(X \mid Y = y) = \sum_{x}\lbrack x - E(X \mid Y = y)\rbrack^{2}P(X = x \mid Y = y)$$

Covarianza condizionata (prossimo paragrafo spiego la covarianza)

$$Cov(X,Y \mid Z) = E\lbrack XY \mid Z\rbrack - E\lbrack X \mid Z\rbrack \cdot E\lbrack Y \mid Z\rbrack$$

Significa: la covarianza tra X e Y, quando sappiamo Z, si calcola esattamente come la covarianza normale ma usando i valori attesi condizionati.

Non sempre richiesta, ma compare in qualche esercizio teorico.

Indipendenza e valore atteso condizionato

Se X e Y sono indipendenti: $E\lbrack X \mid Y = y\rbrack = E\lbrack X\rbrack\text{per ogni}y$

Perché la distribuzione di X non cambia quando fissiamo Y.

Proprietà delle variabili aleatorie multivariate

Quando hai più di una v.a. insieme (es. X, Y), devi conoscere:

- Indipendenza

• X e Y sono indipendenti $\Longleftrightarrow P(X = x_{i},Y = y_{j}) = P(X = x_{i}) \cdot P(Y = y_{j})$
• Oppure: $f_{XY}(x,y) = f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y)$

- Valore atteso di somma

• $$\mathbb{E}(X + Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)$$
• Vale anche se non indipendenti

- Varianza di somma

• Generale: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2 \cdot \text{Cov}(X,Y)$
• Se indipendenti: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

Covarianza e correlazione

Covarianza $\text{Cov}(X,Y)$

Misura la dipendenza lineare tra due v.a.:

$$\text{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}\lbrack(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))\rbrack = \mathbb{E}(XY) - \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y)$$

> 0: relazione diretta

< 0: relazione inversa

= 0: nessuna correlazione lineare, ma non implica indipendenza!

Proprietà fondamentali

a) Covarianza con costanti

$Cov(X,c) = 0$
b) Covarianza con costanti moltiplicate

$Cov(aX,bY) = ab \cdot Cov(X,Y)$

Importantissima quando fai la varianza di combinazioni lineari.

c) Covarianza di somme

c.1) Covarianza tra somma e variabile

$$Cov(X + Y,Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z)$$

Lineare in ogni argomento.

c.2) Covarianza di combinazioni lineari

Se $U = a_{1}X_{1} + a_{2}X_{2} + \ldots + a_{n}X_{n},V = b_{1}X_{1} + b_{2}X_{2} + \ldots + b_{n}X_{n},$

allora $Cov(U,V) = \sum_{i}\sum_{j}a_{i}b_{j}Cov(X_{i},X_{j})$
(soprattutto utile negli esercizi avanzati con medie campionarie).

Formula della varianza di combinazioni lineari

Questa è una delle più importanti in assoluto:

$$Var(aX + bY) = a^{2}Var(X) + b^{2}Var(Y) + 2abCov(X,Y)$$

È quella che usi sempre negli esercizi con Z = aX + bY.

Caso speciale: indipendenza

Se X e Y sono indipendenti: $Cov(X,Y) = 0$.
Attenzione: Indipendenza implica covarianza zero, ma covarianza zero non implica indipendenza.

Perché indipendenza implica covarianza zero, ma non il contrario?

1. Se X e Y sono indipendenti → la loro covarianza è zero

Se due variabili sono indipendenti, conoscere X non dà alcuna informazione su Y.

Per variabili indipendenti vale sempre:

E[XY] = E[X] · E[Y]

Allora la covarianza diventa:

Cov(X, Y) = E[XY] − E[X]E[Y] = E[X]E[Y] − E[X]E[Y] = 0

Quindi indipendenza implica sempre covarianza zero.

2. Se covarianza è zero → NON necessariamente sono indipendenti

Covarianza zero significa solo che non c’è una relazione lineare tra X e Y.

Ma potrebbero esserci relazioni non lineari.

Esempio classico (fondamentale da ricordare)

Sia X una variabile che vale -1, 0, +1 con uguale probabilità:

$$P(X = - 1) = P(X = 0) = P(X = 1) = \frac{1}{3}$$

Definiamo:

$$Y = X^{2}$$

Allora Y dipende chiaramente da X, perché conoscendo X conosciamo esattamente Y.

Ma calcoliamo la covarianza:

Calcoliamo:

$$E(X) = \frac{- 1 + 0 + 1}{3} = 0$$

$$E(XY) = E(X^{3}) = \frac{- 1 + 0 + 1}{3} = 0$$

Quindi:

$$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0$$

ma X e Y non sono indipendenti.

La covarianza misura soltanto la dipendenza lineare e non rileva necessariamente relazioni non lineari.

Covarianza in campionamento (per le medie campionarie)

Se hai un campione i.i.d. di dimensione (n):

$$Cov(\overline{X},X_{i}) = \frac{\sigma^{2}}{n}$$

La covarianza tra la media campionaria $\overline{X}$ e una singola osservazione $X_{i}$ è $\frac{\sigma^{2}}{n}$ perché la media include $X_{i}$ con peso 1/n. Gli altri elementi del campione sono indipendenti da $X_{i}$, quindi non contribuiscono alla covarianza.

E in generale: $Var(\overline{X}) = \frac{\sigma^{2}}{n}.$

Covarianza tra variabili identiche

$$Cov(X,X) = Var(X)$$

Semplicissima ma fondamentale.

Relazione con il coefficiente di correlazione

Correlazione $\rho_{XY}$

Normalizza la covarianza:

$$\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_{X} \cdot \sigma_{Y}}\text{con} - 1 \leq \rho_{XY} \leq 1$$

• $\rho = 1$: perfetta positiva
• $\rho = 0$: nessuna correlazione lineare
• $\rho = - 1$: perfetta negativa

Equazione che ti permette di passare da covarianza a correlazione e viceversa.

Covarianza di X con funzione lineare di X

$$Cov(X,aX + b) = a,Var(X)$$

Molto utile quando negli esercizi appare una cosa tipo Z = 2X + 5.

Correlazione nelle trasformazioni lineari

Se: $Y = a + bX$ allora X e Y sono perfettamente correlate:

$$Corr(X,Y) = \{\begin{matrix} + 1 & \text{se}b > 0 \\ - 1 & \text{se}b < 0 \end{matrix}$$

La costante a non influenza la correlazione.

Esempio:

$$Y = 1 - X$$

Poiché il coefficiente di X è negativo:

$$Corr(X,Y) = - 1$$

2.3 SUCCESSIONI DI VARIABILI ALEATORIE

Successione:

$$X_{1},X_{2},\ldots,X_{n}$$

Una successione di v.a. è un insieme di variabili casuali (di solito i.i.d. = identicamente distribuite e indipendenti).

Obiettivo: studiare il comportamento della media campionaria

$${\overline{X}}_{n} = \frac{1}{n}\overset{n}{\sum_{i = 1}}X_{i}$$

Legge dei Grandi Numeri (LGN)

La media campionaria tende alla media vera al crescere di n

Versione debole (di Chebyshev):

Se $X_{i}$ sono i.i.d. con media $\mu$ e varianza finita:

$${\overline{X}}_{n}\overset{p}{\rightarrow}\mu\text{(convergenza in probabilità)}$$

Significato intuitivo: con tanti dati, la media osservata si avvicina a quella teorica.

Teorema Centrale del Limite (TCL)

La somma (o media) di molte v.a. indipendenti tende a una distribuzione normale

Se $X_{i}$ sono i.i.d. con media $\mu$ e varianza $\sigma^{2}$, allora:

$Z_{n} = \frac{{\overline{X}}_{n} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\overset{d}{\rightarrow}\mathcal{N}(0,1)$

Significato: anche se X non è normale, la media lo diventa per n grande (es. $n \geq 30$)

È la base per gli intervalli di confidenza e i test statistici

3. Statistica descrittiva

1. Introduzione alla statistica descrittiva
2. Classificazione e rilevazione dei dati
3. Distribuzioni di frequenza
4. Distribuzioni di frequenza in classi
5. Rappresentazioni grafiche
6. Funzione di ripartizione empirica
7. Indici di posizione
8. Indici di variabilità
9. Boxplot e valori anomali
10. Forma della distribuzione
11. Trasformazioni lineari dei dati
12. Standardizzazione
13. Calcoli con dati raggruppati in classi
14. Procedura per gli esercizi con dati grezzi
15. Procedura per gli esercizi con dati raggruppati in classi

Obiettivo della statistica descrittiva

La statistica descrittiva comprende gli strumenti utilizzati per organizzare, sintetizzare e rappresentare i dati osservati.

Non permette, da sola, di generalizzare i risultati alla popolazione da cui proviene il campione. Questo passaggio appartiene alla statistica inferenziale.

1. Ripasso Terminologia fondamentale

• Popolazione: insieme completo delle unità statistiche oggetto di studio.
• Campione: sottoinsieme della popolazione effettivamente osservato.
• Unità statistica: singolo elemento sul quale vengono raccolte le informazioni.
• Variabile o carattere: proprietà rilevata su ciascuna unità statistica.
• Modalità: possibili valori o categorie assunti dalla variabile.
• Numerosità campionaria: numero complessivo di osservazioni, indicato con (n).

Esempio: se si osserva l’età di 20 studenti universitari:

• la popolazione potrebbe essere costituita da tutti gli studenti di Ca’ Foscari;
• il campione è formato dai 20 studenti selezionati;
• ogni studente è un’unità statistica;
• l’età è la variabile;
• 19, 20, 21 anni sono alcune possibili modalità.

Classificazione delle variabili

La tipologia della variabile determina quali rappresentazioni grafiche e quali indici possono essere utilizzati.

1) Variabili qualitative

Descrivono una qualità o una categoria.

Variabili qualitative nominali

Le modalità non possiedono un ordine naturale.

Esempi:

• colore degli occhi;
• città di nascita;
• facoltà universitaria;
• metodo di pagamento utilizzato.

È possibile calcolare:

• frequenze assolute, relative e percentuali;
• moda;
• diagrammi a barre;
• diagrammi a torta.

Non ha senso calcolare media, mediana o frequenze cumulate.

Variabili qualitative ordinali

Le modalità possono essere ordinate logicamente, ma la distanza tra categorie non è necessariamente misurabile.

Esempi:

• livello di soddisfazione: insufficiente, sufficiente, buono, ottimo;
• titolo di studio;
• giudizio: basso, medio, alto.

È possibile calcolare:

• frequenze semplici e cumulate;
• moda;
• mediana;
• quantili;
• diagrammi a barre ordinati.

Non è normalmente corretto calcolare la media aritmetica, perché non conosciamo la distanza numerica tra le categorie.

2) Variabili quantitative

Assumono valori numerici.

Variabili quantitative discrete

Derivano generalmente da un conteggio e assumono valori isolati, spesso interi.

Esempi: numero di figli; numero di esami sostenuti; numero di automobili possedute; numero di accessi a un sito.

Variabili quantitative continue

Possono assumere qualsiasi valore all’interno di un intervallo.

Esempi: altezza; peso; tempo di attesa; reddito; temperatura.

Nella pratica, anche una variabile continua viene spesso rilevata con un numero limitato di decimali. Rimane comunque concettualmente continua.

Schema riassuntivo

2. Distribuzioni di frequenza

Una distribuzione di frequenza permette di sintetizzare i dati grezzi.

Supponiamo di osservare una variabile X che assume le modalità: $x_{1},x_{2},\ldots,x_{k}$

Frequenza assoluta

La frequenza assoluta $n_{j}$ indica quante volte compare la modalità $x_{j}$.

$$n_{j} = \text{numero di osservazioni uguali a}x_{j}$$

La somma delle frequenze assolute è pari alla numerosità totale:

$\overset{k}{\sum_{j = 1}}n_{j} = n$

Frequenza relativa

La frequenza relativa $f_{j}$ rappresenta la quota di osservazioni corrispondenti alla modalità (x_j):

$$f_{j} = \frac{n_{j}}{n}$$

La somma delle frequenze relative è pari a 1: $\overset{k}{\sum_{j = 1}}f_{j} = 1$

Frequenza percentuale

La frequenza percentuale si ottiene moltiplicando la frequenza relativa per 100:

$$p_{j} = f_{j} \cdot 100$$

La somma delle frequenze percentuali è pari al 100%.

Frequenze cumulate

Le frequenze cumulate indicano quante osservazioni presentano un valore minore o uguale a una determinata modalità.

Frequenza assoluta cumulata

$$N_{j} = \overset{j}{\sum_{i = 1}}n_{i}$$

Frequenza relativa cumulata

$$F_{j} = \overset{j}{\sum_{i = 1}}f_{i}$$

L’ultima frequenza assoluta cumulata è sempre n, mentre l’ultima frequenza relativa cumulata è sempre 1.

Le frequenze cumulate hanno senso solamente quando le modalità sono ordinabili:

• variabili qualitative ordinali;
• variabili quantitative discrete;
• variabili quantitative continue.

Non ha senso calcolare la frequenza cumulata dei colori degli occhi o delle città di nascita, perché non esiste un ordine naturale univoco.

3. Distribuzioni in classi

Quando una variabile quantitativa assume molti valori differenti, è conveniente raggruppare i dati in classi.

Esempio: $\lbrack 10,20),\lbrack 20,30),\lbrack 30,50)$

È necessario leggere attentamente gli estremi:

• [10,20) include 10 ma esclude 20;
• (10,20] esclude 10 ma include 20;
• [10,20] include entrambi gli estremi.

3.1 Ampiezza della classe

L’ampiezza della classe j è: $\delta_{j} = b_{j} - a_{j}$ dove $a_{j}$ è l’estremo inferiore e $b_{j}$ è l’estremo superiore.

Esempio: $\lbrack 30,50) \Rightarrow \delta = 50 - 30 = 20$

3.2 Centro della classe

Il centro della classe è: $c_{j} = \frac{a_{j} + b_{j}}{2}$

Esempio: $\lbrack 30,50) \Rightarrow c = \frac{30 + 50}{2} = 40$

Il centro della classe viene utilizzato per ottenere valori approssimati di media e varianza quando non sono disponibili i dati grezzi.

3.3 Densità di frequenza

La densità relativa di frequenza è: $h_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}}$

Con:

• $f_{j}$ frequenza relativa
• $\delta_{j}$ ampiezza della classe

In alternativa, si può utilizzare la densità assoluta: $h_{j}^{(a)} = \frac{n_{j}}{\delta_{j}}$

Con:

• $n_{j}$ frequenza assoluta
• $\delta_{j}$ ampiezza della classe

La scelta dipende da come viene impostato l’esercizio. L’importante è comprendere il principio: la densità corregge la frequenza tenendo conto dell’ampiezza della classe.

Perché la densità è necessaria?

Se le classi hanno ampiezze differenti, confrontare solamente le frequenze può essere fuorviante.

Esempio:

La seconda classe contiene più osservazioni, ma è anche più ampia. Nell’istogramma avrà un rettangolo più largo e più basso.

3.4 Area dei rettangoli dell’istogramma

In un istogramma, la frequenza di una classe non è rappresentata necessariamente dall’altezza del

Formula

Per ogni classe j:

$$\text{area della barra}_{j} = \text{altezza} \times \text{base}$$

Nell’istogramma:

• la base è l’ampiezza della classe: $\delta_{j}$

• l’altezza è la densità relativa di frequenza: $h_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}}$

Quindi: $\text{area della barra}_{j} = h_{j} \cdot \delta_{j}$

Sostituendo la formula della densità:

$$\text{area della barra}_{j} = \frac{f_{j}}{\delta_{j}} \cdot \delta_{j} = f_{j}$$

L’ampiezza della classe si semplifica. Rimane la frequenza relativa.

Esempio semplice

Supponiamo di avere la classe: [0,10) con frequenza relativa: $f_{1} = 0,30$

L’ampiezza della classe è: $\delta_{1} = 10 - 0 = 10$