Un’azienda agricola vende cassette di arance di produzione propria. Le cassette hanno una tara di grammi 250 e vengono riempite con 25 arance estratte in modo casuale da una grande cassa. Il peso delle arance contenute nella grande cassa è una variabile casuale gaussiana, con valore atteso 150 grammi e scarto quadratico medio 4 grammi. Le cassette hanno un costo unitario di spedizione pari a 2 euro, se il loro peso è inferiore a 4020 grammi, o pari a 2.75 euro altrimenti.
Domande da orale — Statistica
Prova a svolgere ogni passaggio, poi confronta il ragionamento con la soluzione.
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Un’azienda agricola vende cassette di arance di produzione propria. Le cassette hanno una tara di grammi 250 e vengono riempite con 25 arance estratte in modo casuale da una grande cassa. Il peso delle arance contenute nella grande cassa è una variabile casuale gaussiana, con valore atteso 150 grammi e scarto quadratico medio 4 grammi. Le cassette hanno un costo unitario di spedizione pari a 2 euro, se il loro peso è inferiore a 4020 grammi, o pari a 2.75 euro altrimenti.
Dire, giustificando la risposta, qual è la legge di probabilità del peso della cassette preparate per la vendita
Un’azienda agricola vende cassette di arance di produzione propria. Le cassette hanno una tara di grammi 250 e vengono riempite con 25 arance estratte in modo casuale da una grande cassa. Il peso delle arance contenute nella grande cassa è una variabile casuale gaussiana, con valore atteso 150 grammi e scarto quadratico medio 4 grammi. Le cassette hanno un costo unitario di spedizione pari a 2 euro, se il loro peso è inferiore a 4020 grammi, o pari a 2.75 euro altrimenti.
Determinare il costo atteso di spedizione di una cassetta di arance
Nel corso di un’attività di verifica fiscale, la Guardia di Finanza del Veneto ha svolto un controllo su un campione casuale di 1570 società, rilevando la regolarità nella tenuta delle scritture contabili e il tipo di società (di persone o di capitali). I dati sono riportati nella tabella 1.
Verificare, ad un livello di significatività α = 0.05, se vi sia indipendenza tra tipo di società e regolarità nella tenuta delle scritture fiscali
Nel corso di un’attività di verifica fiscale, la Guardia di Finanza del Veneto ha svolto un controllo su un campione casuale di 1570 società, rilevando la regolarità nella tenuta delle scritture contabili e il tipo di società (di persone o di capitali). I dati sono riportati nella tabella 1.
Costruire un intervallo di confidenza, al livello 0.95, per la probabilità che una società di capitali sia in regola con la tenuta delle scritture fiscali.
È previsto che le uova di una particolare categoria debbano avere un peso nominale di 69 grammi. Un’azienda agricola, volendo indagare quale sia il peso effettivo delle uova prodotte, ha selezionato un campione casuale costituito da 7 di tali uova, il cui peso è risultato il seguente: Uova a b c d e f g Peso 67.9 69.1 68.9 68.4 69.2 68.6 69.1 Si assume che il peso di un generico uovo possa essere rappresentato da una variabile casuale normale, con media ignota e varianza σ2 = 1.4884.
Determinare una stima puntuale del peso medio delle uova prodotte dall’azienda agricola ed il corrispondente errore standard.
È previsto che le uova di una particolare categoria debbano avere un peso nominale di 69 grammi. Un’azienda agricola, volendo indagare quale sia il peso effettivo delle uova prodotte, ha selezionato un campione casuale costituito da 7 di tali uova, il cui peso è risultato il seguente: Uova a b c d e f g Peso 67.9 69.1 68.9 68.4 69.2 68.6 69.1 Si assume che il peso di un generico uovo possa essere rappresentato da una variabile casuale normale, con media ignota e varianza σ2 = 1.4884.
Costruire un intervallo di confidenza, al livello di fiducia 0.99, per il peso medio delle uova prodotte.
È previsto che le uova di una particolare categoria debbano avere un peso nominale di 69 grammi. Un’azienda agricola, volendo indagare quale sia il peso effettivo delle uova prodotte, ha selezionato un campione casuale costituito da 7 di tali uova, il cui peso è risultato il seguente: Uova a b c d e f g Peso 67.9 69.1 68.9 68.4 69.2 68.6 69.1 Si assume che il peso di un generico uovo possa essere rappresentato da una variabile casuale normale, con media ignota e varianza σ2 = 1.4884.
Determinare quale dovrebbe essere, a parità di livello di fiducia, la dimensione campionaria nel caso in cui si volesse ottenere un intervallo di confidenza avente ampiezza pari a metà di quella dell’intervallo calcolato nel punto precedente.
Un impianto produttivo è composto da 2 macchinari di tipo A (per l’assemblaggio) e da 4 macchinari di tipo B (per il confezionamento), che funzionano indipendentemente l’uno dall’altro. Ciascuno dei macchinari di tipo A ha probabilità 0.94 di funzionare regolarmente per un intero turno di produzione, mentre tale probabilità per i macchinari di tipo B è 0.85. L’intero impianto si ferma se si guasta almeno uno dei macchinari di tipo A oppure se si guastano tutti i macchinari di tipo B.
Determinare la probabilità che in un turno di produzione si guasti almeno un macchinario di tipo A
Un impianto produttivo è composto da 2 macchinari di tipo A (per l’assemblaggio) e da 4 macchinari di tipo B (per il confezionamento), che funzionano indipendentemente l’uno dall’altro. Ciascuno dei macchinari di tipo A ha probabilità 0.94 di funzionare regolarmente per un intero turno di produzione, mentre tale probabilità per i macchinari di tipo B è 0.85. L’intero impianto si ferma se si guasta almeno uno dei macchinari di tipo A oppure se si guastano tutti i macchinari di tipo B.
Determinare la probabilità che in un turno di produzione si guastino tutti i macchinari di tipo B
Un impianto produttivo è composto da 2 macchinari di tipo A (per l’assemblaggio) e da 4 macchinari di tipo B (per il confezionamento), che funzionano indipendentemente l’uno dall’altro. Ciascuno dei macchinari di tipo A ha probabilità 0.94 di funzionare regolarmente per un intero turno di produzione, mentre tale probabilità per i macchinari di tipo B è 0.85. L’intero impianto si ferma se si guasta almeno uno dei macchinari di tipo A oppure se si guastano tutti i macchinari di tipo B.
Determinare la probabilità che l’intero impianto si fermi durante un turno di produzione
Un impianto produttivo è composto da 2 macchinari di tipo A (per l’assemblaggio) e da 4 macchinari di tipo B (per il confezionamento), che funzionano indipendentemente l’uno dall’altro. Ciascuno dei macchinari di tipo A ha probabilità 0.94 di funzionare regolarmente per un intero turno di produzione, mentre tale probabilità per i macchinari di tipo B è 0.85. L’intero impianto si ferma se si guasta almeno uno dei macchinari di tipo A oppure se si guastano tutti i macchinari di tipo B.
Determinare il numero atteso di macchinari di tipo B che si guastano in un turno di lavorazione
La compagnia telefonica WXZ ha fissato come obiettivo di qualità quello di avere una percentuale di utenti soddisfatti superiore al 83%. A tale scopo, ha condotto un’indagine campionaria, da cui è risultato che, su 470 utenti scelti casusalmente, 399 si sono dichiarati soddisfatti.
Determinare la stima puntuale della percentuale di utenti soddisfatti della compagnia telefonica ed il corrispondente errore standard
La compagnia telefonica WXZ ha fissato come obiettivo di qualità quello di avere una percentuale di utenti soddisfatti superiore al 83%. A tale scopo, ha condotto un’indagine campionaria, da cui è risultato che, su 470 utenti scelti casusalmente, 399 si sono dichiarati soddisfatti.
Costruire un intervallo di confidenza, a livello 0.9, per la frazione di utenti soddisfatti della compagnia telefonica
La compagnia telefonica WXZ ha fissato come obiettivo di qualità quello di avere una percentuale di utenti soddisfatti superiore al 83%. A tale scopo, ha condotto un’indagine campionaria, da cui è risultato che, su 470 utenti scelti casusalmente, 399 si sono dichiarati soddisfatti.
Verificare con un test statistico se l’obiettivo di qualità sia stato raggiunto, determinando il livello di significatività osservato del suddetto test
Una casa automobilistica sta sviluppando un nuovo tipo di impianto frenante per una autovettura. Volendo testare il rendimento di tale impianto frenante, ha predisposto il seguente esperimento. Si sono predisposte due autovetture, una con l’impianto frenante di serie (di seguito modello X ) ed una con l’impianto frenante in corso di sviluppo (di seguito modello Y ). Ciascuna delle due autovetture è stata sottoposta a 18 prove di frenata in un percorso di test, misurando i metri per arrestarsi da una velocità di 100 km/h. Le varie prove, svolte sotto le medesime condizioni, possono essere ritenute indipendenti. Per l’autovettura modello A, la distanza media di arresto è risultata pari a 41 metri, con uno scarto quadratico medio campionario pari a 0.1 metri. L’autovettura modello B si è arrestata mediamente in 40.7 metri, con uno scarto quadratico medio campionario pari a 0.19 metri. Si ipotizzi che le distanza di arresto, per queste due autovetture, possano essere assunte distribuite come normali indipendenti con varianze uguali. Si indichi con θ la differenza tra la distanza media di arresto dell’autovettura modello A e la distanza media di arresto dell’autovettura modello B.
Specificare il modello statistico da utilizzare per l’inferenza su θ.
Una casa automobilistica sta sviluppando un nuovo tipo di impianto frenante per una autovettura. Volendo testare il rendimento di tale impianto frenante, ha predisposto il seguente esperimento. Si sono predisposte due autovetture, una con l’impianto frenante di serie (di seguito modello X ) ed una con l’impianto frenante in corso di sviluppo (di seguito modello Y ). Ciascuna delle due autovetture è stata sottoposta a 18 prove di frenata in un percorso di test, misurando i metri per arrestarsi da una velocità di 100 km/h. Le varie prove, svolte sotto le medesime condizioni, possono essere ritenute indipendenti. Per l’autovettura modello A, la distanza media di arresto è risultata pari a 41 metri, con uno scarto quadratico medio campionario pari a 0.1 metri. L’autovettura modello B si è arrestata mediamente in 40.7 metri, con uno scarto quadratico medio campionario pari a 0.19 metri. Si ipotizzi che le distanza di arresto, per queste due autovetture, possano essere assunte distribuite come normali indipendenti con varianze uguali. Si indichi con θ la differenza tra la distanza media di arresto dell’autovettura modello A e la distanza media di arresto dell’autovettura modello B.
Determinare una stima puntuale di θ ed il corrispondente errore standard
Una casa automobilistica sta sviluppando un nuovo tipo di impianto frenante per una autovettura. Volendo testare il rendimento di tale impianto frenante, ha predisposto il seguente esperimento. Si sono predisposte due autovetture, una con l’impianto frenante di serie (di seguito modello X ) ed una con l’impianto frenante in corso di sviluppo (di seguito modello Y ). Ciascuna delle due autovetture è stata sottoposta a 18 prove di frenata in un percorso di test, misurando i metri per arrestarsi da una velocità di 100 km/h. Le varie prove, svolte sotto le medesime condizioni, possono essere ritenute indipendenti. Per l’autovettura modello A, la distanza media di arresto è risultata pari a 41 metri, con uno scarto quadratico medio campionario pari a 0.1 metri. L’autovettura modello B si è arrestata mediamente in 40.7 metri, con uno scarto quadratico medio campionario pari a 0.19 metri. Si ipotizzi che le distanza di arresto, per queste due autovetture, possano essere assunte distribuite come normali indipendenti con varianze uguali. Si indichi con θ la differenza tra la distanza media di arresto dell’autovettura modello A e la distanza media di arresto dell’autovettura modello B.
Verificare se, al livello di significatività 0.01, l’impianto frenante in fase di sviluppo migliori la distanza media di arresto
Si sa che una patologia molto grave colpisce il 4.6% della popolazione. Il Servizio Sanitario Nazionale decide di istituire uno screening, proponendo a ciascun cittadino di sottoporsi gratuitamente ad un test. La probabilità che il test risulti negativo, cioè non segnali la presenza della malattia, su un soggetto malato è pari a 0.01; la probabilità che il test risulti positivo, cioè segnali la presenza della malattia, su un soggetto sano è uguale a 0.04.
Qual è la probabilità che il test risulti positivo su un individuo qualsiasi?
Si sa che una patologia molto grave colpisce il 4.6% della popolazione. Il Servizio Sanitario Nazionale decide di istituire uno screening, proponendo a ciascun cittadino di sottoporsi gratuitamente ad un test. La probabilità che il test risulti negativo, cioè non segnali la presenza della malattia, su un soggetto malato è pari a 0.01; la probabilità che il test risulti positivo, cioè segnali la presenza della malattia, su un soggetto sano è uguale a 0.04.
Qual è la probabilità che un individuo risulti positivo al test e sia effettivamente malato?
Si sa che una patologia molto grave colpisce il 4.6% della popolazione. Il Servizio Sanitario Nazionale decide di istituire uno screening, proponendo a ciascun cittadino di sottoporsi gratuitamente ad un test. La probabilità che il test risulti negativo, cioè non segnali la presenza della malattia, su un soggetto malato è pari a 0.01; la probabilità che il test risulti positivo, cioè segnali la presenza della malattia, su un soggetto sano è uguale a 0.04.
Qual è la probabilità che un individuo risultato positivo al test sia effettivamente malato?
Si sa che una patologia molto grave colpisce il 4.6% della popolazione. Il Servizio Sanitario Nazionale decide di istituire uno screening, proponendo a ciascun cittadino di sottoporsi gratuitamente ad un test. La probabilità che il test risulti negativo, cioè non segnali la presenza della malattia, su un soggetto malato è pari a 0.01; la probabilità che il test risulti positivo, cioè segnali la presenza della malattia, su un soggetto sano è uguale a 0.04.
Supponendo che ciascun individuo risultato positivo al test sia sottoposto ad un trattamento il cui costo ammonta a 9600 euro, qual è il costo atteso per ciascun individuo che si sottopone al test?
Il 22% dei laureati tedeschi nel 2014 è risultato occupato nel 2015. Su un campione di 352 italiani laureatisi nel 2014, 53 sono risultati occupati nel 2015. Sia θ la probabilità che un italiano laureatosi nel 2014 risulti occupato nel 2015.
Costruire un intervallo di confidenza bilaterale, al livello di fiducia 0.95, per θ.
Il 22% dei laureati tedeschi nel 2014 è risultato occupato nel 2015. Su un campione di 352 italiani laureatisi nel 2014, 53 sono risultati occupati nel 2015. Sia θ la probabilità che un italiano laureatosi nel 2014 risulti occupato nel 2015.
Verificare, ad un livello di significatività 0.05, se per un laureato italiano nel 2014 sia stato piú probabile trovare un impiego entro il 2015, rispetto ad un tedesco laureatosi nel medesimo anno.
Il 22% dei laureati tedeschi nel 2014 è risultato occupato nel 2015. Su un campione di 352 italiani laureatisi nel 2014, 53 sono risultati occupati nel 2015. Sia θ la probabilità che un italiano laureatosi nel 2014 risulti occupato nel 2015.
Costruire un intervallo di confidenza, al livello di fiducia 0.95, per ψ = θ − 0.22
La distribuzione di probabilità congiunta di due variabili casuali, X e Y, è rappresentata nella tabella 1.
Determinare il valore della costante c che compare nella tabella 1.
La distribuzione di probabilità congiunta di due variabili casuali, X e Y, è rappresentata nella tabella 1.
Dire se X e Y siano stocasticamente indipendenti.
La distribuzione di probabilità congiunta di due variabili casuali, X e Y, è rappresentata nella tabella 1.
Determinare la distribuzione di probabilità di X, condizionata a Y = 5.
La distribuzione di probabilità congiunta di due variabili casuali, X e Y, è rappresentata nella tabella 1.
Calcolare P(Y > 0|X ≤ 0)
La tabella 2 si riferisce alla distribuzione di un campione di 667 laureati, classificati secondo lo stato occupazionale al 31/12/2015 (in riga) e il paese in cui hanno conseguito il titolo nel 2014 (in colonna).
Verificare, ad un livello di significatività α = 0.025, se vi sia indipendenza tra il paese in cui è stata conseguita la laurea e lo stato occupazionale dei laureati
La tabella 2 si riferisce alla distribuzione di un campione di 667 laureati, classificati secondo lo stato occupazionale al 31/12/2015 (in riga) e il paese in cui hanno conseguito il titolo nel 2014 (in colonna).
Verificare, ad un livello di significatività 0.025 se la probabilità di essere occupati nel 2015 sia uguale per i laureati nei due paesi nell’anno 2014.
La tabella 2 si riferisce alla distribuzione di un campione di 667 laureati, classificati secondo lo stato occupazionale al 31/12/2015 (in riga) e il paese in cui hanno conseguito il titolo nel 2014 (in colonna).
Spiegare, giustificando la risposta, se i sistemi di ipotesi considerati nei due punti precedenti siano equivalenti.
La soglia di povertà assoluta per una famiglia composta da due coniugi e un figlio adolescente e residente nell’Italia centrale è pari a 16000 euro annui. Si riportano i redditi rilevati su un campione di dimensione 12 di famiglie residenti a Pietralata e conformi ai requisiti sopra esposti: 10300 13800 11300 23500 11000 17800 14800 7100 16200 19100 20300 15100. Assumendo che il reddito annuo di queste famiglie si distribuisca come una normale con valore atteso θ1 e varianza θ2, entrambe ignote.
Costruire un intervallo di confidenza bilaterale, di livello 0.99 per il reddito medio delle famiglie di Pietralata composte da due coniugi e un figlio adolescente.
La soglia di povertà assoluta per una famiglia composta da due coniugi e un figlio adolescente e residente nell’Italia centrale è pari a 16000 euro annui. Si riportano i redditi rilevati su un campione di dimensione 12 di famiglie residenti a Pietralata e conformi ai requisiti sopra esposti: 10300 13800 11300 23500 11000 17800 14800 7100 16200 19100 20300 15100. Assumendo che il reddito annuo di queste famiglie si distribuisca come una normale con valore atteso θ1 e varianza θ2, entrambe ignote.
Verificare, al livello di significatività 0.1, se il reddito medio sia maggiore di 16000 euro.
Un portafoglio si compone di 10 titoli. Su ciascun titolo sono stati investiti Ci = 1000 euro, i = 1, …, 10. I rendimenti annui dei diversi titoli, Ri, sono indipendenti e identicamente distribuiti: Ri ∼ N(0, 0.0025). Ciascun investimento, fra un anno, avrà un valore pari a Mi = Ci (1 + Ri ) e il valore totale del portafoglio sarà M = 10 P i=1 Mi.
Per un generico i, calcolare P(Mi > 1080).
Un portafoglio si compone di 10 titoli. Su ciascun titolo sono stati investiti Ci = 1000 euro, i = 1, …, 10. I rendimenti annui dei diversi titoli, Ri, sono indipendenti e identicamente distribuiti: Ri ∼ N(0, 0.0025). Ciascun investimento, fra un anno, avrà un valore pari a Mi = Ci (1 + Ri ) e il valore totale del portafoglio sarà M = 10 P i=1 Mi.
Calcolare la probabilità che fra un anno almeno 5 dei 10 titoli abbiano un valore maggiore di 1080.
Un portafoglio si compone di 10 titoli. Su ciascun titolo sono stati investiti Ci = 1000 euro, i = 1, …, 10. I rendimenti annui dei diversi titoli, Ri, sono indipendenti e identicamente distribuiti: Ri ∼ N(0, 0.0025). Ciascun investimento, fra un anno, avrà un valore pari a Mi = Ci (1 + Ri ) e il valore totale del portafoglio sarà M = 10 P i=1 Mi.
Determinare la distribuzione di probabilità di M.
Un portafoglio si compone di 10 titoli. Su ciascun titolo sono stati investiti Ci = 1000 euro, i = 1, …, 10. I rendimenti annui dei diversi titoli, Ri, sono indipendenti e identicamente distribuiti: Ri ∼ N(0, 0.0025). Ciascun investimento, fra un anno, avrà un valore pari a Mi = Ci (1 + Ri ) e il valore totale del portafoglio sarà M = 10 P i=1 Mi.
Determinare quel valore m∗ tale che P(M > m∗ ) = 0.25.
Un istituto di credito è interessato a capire se la probabilità di insolvenza tra i liberi professionisti (popolazione X) sia pù grande che tra i commercianti (popolazione Y ). A tale scopo commissiona un’indagine, attraverso la quale si osservano, nel corso di un anno, 4742 liberi professionisti e 3918 commercianti. Tra i primi si rilevano 1726 insolvenze, mentre tra i secondi se ne riscontrano 1250. Si indichino con θX e θY le probabilità di insolvenza nelle due popolazioni.
Costruire un intervallo di confidenza bilaterale, al livello di fiducia 0.999, per θX − θY.
Un istituto di credito è interessato a capire se la probabilità di insolvenza tra i liberi professionisti (popolazione X) sia pù grande che tra i commercianti (popolazione Y ). A tale scopo commissiona un’indagine, attraverso la quale si osservano, nel corso di un anno, 4742 liberi professionisti e 3918 commercianti. Tra i primi si rilevano 1726 insolvenze, mentre tra i secondi se ne riscontrano 1250. Si indichino con θX e θY le probabilità di insolvenza nelle due popolazioni.
Verificare, ad un livello di significatività 0.001, se la probabilità di insolvenza tra i liberi professionisti sia più grande che tra i commercianti.
Un istituto di credito è interessato a capire se la probabilità di insolvenza tra i liberi professionisti (popolazione X) sia pù grande che tra i commercianti (popolazione Y ). A tale scopo commissiona un’indagine, attraverso la quale si osservano, nel corso di un anno, 4742 liberi professionisti e 3918 commercianti. Tra i primi si rilevano 1726 insolvenze, mentre tra i secondi se ne riscontrano 1250. Si indichino con θX e θY le probabilità di insolvenza nelle due popolazioni.
Si calcoli inoltre il livello di significatività osservato del test.
Su due campioni costituiti rispettivamente da 1173 famiglie italiane (X) e da 1399 famiglie francesi (Y ) si è rilevato il numero di figli per famiglia. Una sintesi dei dati è riportata nella Tabella 1
Verificare, ad un livello di significatività 0.025, se le due variabili, X e Y, possano essere rappresentate da due variabili casuali identicamente distribuite.
Su due campioni costituiti rispettivamente da 1173 famiglie italiane (X) e da 1399 famiglie francesi (Y ) si è rilevato il numero di figli per famiglia. Una sintesi dei dati è riportata nella Tabella 1
Alla luce della risposta data nel punto precedente, è plausibile concludere che il numero medio di figli per famiglia in Italia e in Francia sia lo stesso?
Sia X una variabile casuale tale che P(X = 2) = 0.1 e P(X = 3) = 0.9. Sia, inoltre, Y una variabile casuale tale che: pY |X=x (y) = xy 0.1y 0.9x−y se y = 0, 1, …, x e pY |X=x (y) = 0 altrimenti.
Determinare la distribuzione di probabilità congiunta di X e Y.
Sia X una variabile casuale tale che P(X = 2) = 0.1 e P(X = 3) = 0.9. Sia, inoltre, Y una variabile casuale tale che: pY |X=x (y) = xy 0.1y 0.9x−y se y = 0, 1, …, x e pY |X=x (y) = 0 altrimenti.
Calcolare E(X) e V(X).
Sia X una variabile casuale tale che P(X = 2) = 0.1 e P(X = 3) = 0.9. Sia, inoltre, Y una variabile casuale tale che: pY |X=x (y) = xy 0.1y 0.9x−y se y = 0, 1, …, x e pY |X=x (y) = 0 altrimenti.
Calcolare E(X|Y = 1) e V(X|Y = 1).
È stato rilevato il fatturato giornaliero, misurato in migliaia di euro, di 1223 negozi di abbigliamento. La media e la varianza campionarie sono rispettivamente: x̄1223 = 5.96 e s21223 = 1.0201. La distribuzione di frequenza dei dati, raggruppati in quattro classi, è riportata nella tabella 2. ≤ 5.24 (5.24, 5.95] (5.95, 6.64] > 6.64 307 305 312 299 Tabella 2: Distribuzione di frequenza del fatturato dei negozi di abbigliamento
Costruire un intervallo di confidenza per il fatturato medio giornaliero, al livello di fiducia 0.95.
È stato rilevato il fatturato giornaliero, misurato in migliaia di euro, di 1223 negozi di abbigliamento. La media e la varianza campionarie sono rispettivamente: x̄1223 = 5.96 e s21223 = 1.0201. La distribuzione di frequenza dei dati, raggruppati in quattro classi, è riportata nella tabella 2. ≤ 5.24 (5.24, 5.95] (5.95, 6.64] > 6.64 307 305 312 299 Tabella 2: Distribuzione di frequenza del fatturato dei negozi di abbigliamento
Verificare, ad un livello di significatività 0.05, se i dati possano essere stati generati da una variabile casuale normale.
Si vuole comparare i voti dati dal docente A con quelli dati dal docente B. Su un campione casuale di 148 studenti di A si sono registrati un voto medio pari a 24.41 e uno scarto quadratico medio di 0.98. Su un campione indipendente di 131 studenti di B, si sono invece registrati un voto medio pari a 24.51 e uno scarto quadratico medio uguale a 0.97. Si ipotizzi che le due variabili considerate, che chiamiamo rispettivamente X e Y, si distribuiscano come normali indipendenti con varianze uguali. ≤ 5.24 (5.24, 5.95] (5.95, 6.64] > 6.64 293.520 317.980 305.750 305.750 Tabella 3: Stime delle frequenze attese delle diverse classi.
Verificare se, al livello di significatività 0.05, si possa ritenere che µX < µY.
Si vuole comparare i voti dati dal docente A con quelli dati dal docente B. Su un campione casuale di 148 studenti di A si sono registrati un voto medio pari a 24.41 e uno scarto quadratico medio di 0.98. Su un campione indipendente di 131 studenti di B, si sono invece registrati un voto medio pari a 24.51 e uno scarto quadratico medio uguale a 0.97. Si ipotizzi che le due variabili considerate, che chiamiamo rispettivamente X e Y, si distribuiscano come normali indipendenti con varianze uguali. ≤ 5.24 (5.24, 5.95] (5.95, 6.64] > 6.64 293.520 317.980 305.750 305.750 Tabella 3: Stime delle frequenze attese delle diverse classi.
Costruire un intervallo di confidenza per µX − µY al livello di fiducia 0.95.
Un’azienda deve valutare due progetti per la costruzione di una discarica. L’amministratore delegato ritiene che il primo progetto violi la normativa vigente con probabilità 0.43 e che il secondo violi la medesima normativa con probabilità 0.39. Egli ritiene, inoltre, che i due eventi che sta considerando siano incompatibili.
Qual è la probabilità che almeno uno dei due progetti violi la normativa vigente?
Un’azienda deve valutare due progetti per la costruzione di una discarica. L’amministratore delegato ritiene che il primo progetto violi la normativa vigente con probabilità 0.43 e che il secondo violi la medesima normativa con probabilità 0.39. Egli ritiene, inoltre, che i due eventi che sta considerando siano incompatibili.
L’amministratore verifica la corrispondenza del primo progetto alla normativa vigente. Qual è la probabilità che il secondo progetto non rispetti la legge?
Un’azienda deve valutare due progetti per la costruzione di una discarica. L’amministratore delegato ritiene che il primo progetto violi la normativa vigente con probabilità 0.43 e che il secondo violi la medesima normativa con probabilità 0.39. Egli ritiene, inoltre, che i due eventi che sta considerando siano incompatibili.
In realtà i due eventi sono indipendenti e l’amministratore ha confuso i concetti di indipendenza e di incompatibilità. Spiegare come devono cambiare le risposte alle domande precedenti.
Un produttore di detersivi per lavatrice ha lanciato una campagna pubblicitaria per un nuovo prodotto. I consumatori raggiunti dalla campagna pubblicitaria sono classificati come Informati. Su un campione di dimensione n = 241, si rilevano lo stato di informazione del consumatore e la sua decisione relativamente all’acquisto del nuovo prodotto. I dati sono rappresentati nella seguente tabella di contingenza: Non acquista Acquista Non informati 84 37 Informati 49 71 Definiamo i due eventi seguenti: A = {Un consumatore scelto a caso ha acquistato il nuovo prodotto} e B = {Un consumatore scelto a caso è stato raggiunto dalla campagna pubblicitaria}.
Stimare P(A ∩ B).
Un produttore di detersivi per lavatrice ha lanciato una campagna pubblicitaria per un nuovo prodotto. I consumatori raggiunti dalla campagna pubblicitaria sono classificati come Informati. Su un campione di dimensione n = 241, si rilevano lo stato di informazione del consumatore e la sua decisione relativamente all’acquisto del nuovo prodotto. I dati sono rappresentati nella seguente tabella di contingenza: Non acquista Acquista Non informati 84 37 Informati 49 71 Definiamo i due eventi seguenti: A = {Un consumatore scelto a caso ha acquistato il nuovo prodotto} e B = {Un consumatore scelto a caso è stato raggiunto dalla campagna pubblicitaria}.
Stimare P(A|B).
Un produttore di detersivi per lavatrice ha lanciato una campagna pubblicitaria per un nuovo prodotto. I consumatori raggiunti dalla campagna pubblicitaria sono classificati come Informati. Su un campione di dimensione n = 241, si rilevano lo stato di informazione del consumatore e la sua decisione relativamente all’acquisto del nuovo prodotto. I dati sono rappresentati nella seguente tabella di contingenza: Non acquista Acquista Non informati 84 37 Informati 49 71 Definiamo i due eventi seguenti: A = {Un consumatore scelto a caso ha acquistato il nuovo prodotto} e B = {Un consumatore scelto a caso è stato raggiunto dalla campagna pubblicitaria}.
Ponendo il livello di significatività pari a 0.01, verificare se A e B siano due eventi indipendenti. Giustificare la risposta.
La tabella 1 riporta i rendimenti annui osservati di 5 titoli quotati alla borsa di Topolinia. Si assume che tali rendimenti siano interpretabili come generati da variabili casuali normali, indipendenti e identicamente distribuite.
Costruire un intervallo di confidenza per il rendimento medio dei titoli al livello di fiducia 0.95.
La tabella 1 riporta i rendimenti annui osservati di 5 titoli quotati alla borsa di Topolinia. Si assume che tali rendimenti siano interpretabili come generati da variabili casuali normali, indipendenti e identicamente distribuite.
Costruire un intervallo di confidenza per la varianza del rendimento dei titoli al livello di fiducia 0.95.
In un determinato paese vige la pena di morte. Si è calcolato che la probabilità che un colpevole sia condannato a morte sia pari a 0.933, mentre la probabilità che un innocente sia condannato è pari a 0.038. Si sa, inoltre, che la probabiltà che un imputato sia effettivamente colpevole è pari a 0.761.
Qual è la probabilità che un condannato a morte sia colpevole?
In un determinato paese vige la pena di morte. Si è calcolato che la probabilità che un colpevole sia condannato a morte sia pari a 0.933, mentre la probabilità che un innocente sia condannato è pari a 0.038. Si sa, inoltre, che la probabiltà che un imputato sia effettivamente colpevole è pari a 0.761.
Negli ultimi 10 anni sono state eseguite 12 sentenze capitali. Qual è la probabilità che i giustiziati fossero tutti colpevoli?
In un determinato paese vige la pena di morte. Si è calcolato che la probabilità che un colpevole sia condannato a morte sia pari a 0.933, mentre la probabilità che un innocente sia condannato è pari a 0.038. Si sa, inoltre, che la probabiltà che un imputato sia effettivamente colpevole è pari a 0.761.
Qual è la probabilità che almeno uno tra i 12 giustiziati fosse innocente?
In un determinato paese vige la pena di morte. Si è calcolato che la probabilità che un colpevole sia condannato a morte sia pari a 0.933, mentre la probabilità che un innocente sia condannato è pari a 0.038. Si sa, inoltre, che la probabiltà che un imputato sia effettivamente colpevole è pari a 0.761.
Qual è il numero atteso di innocenti tra i 12 giustiziati?
In un gioco viene usata una moneta a due facce, che si sospetta essere truccata. In particolare, si ipotizza che la probabilità (ignota) p che esca testa sia maggiore di 0.5. Si vuole dunque saggiare il sistema di ipotesi: H0: p = 0.5 H1: p > 0.5. A tale scopo, si effettuano 40 lanci indipendenti della moneta e si decide di rifiutare H0 se il numero osservato di teste è maggiore di 26.
Qual è in questo caso la probabilità di errore del primo tipo?
In un gioco viene usata una moneta a due facce, che si sospetta essere truccata. In particolare, si ipotizza che la probabilità (ignota) p che esca testa sia maggiore di 0.5. Si vuole dunque saggiare il sistema di ipotesi: H0: p = 0.5 H1: p > 0.5. A tale scopo, si effettuano 40 lanci indipendenti della moneta e si decide di rifiutare H0 se il numero osservato di teste è maggiore di 26.
Quale sarebbe la probabilità di errore del secondo tipo, qualora il valore vero di p fosse 0.7?
Su un campione costituito da 2551 famiglie sono stati rilevati la nazionalità (italiana, I, e francese, F ) e il numero di figli per famiglia. Una sintesi dei dati è riportata nella Tabella 1.
Ad un livello di significatività 0.01, si può affermare che le due variabili siano indipendenti?
Su un campione costituito da 2551 famiglie sono stati rilevati la nazionalità (italiana, I, e francese, F ) e il numero di figli per famiglia. Una sintesi dei dati è riportata nella Tabella 1.
Ad un livello di significatività 0.01, si può affermare che per le famiglie italiane e per le famiglie francesi le probabilità di avere almeno un figlio siano diverse?
Si consideri il seguente gioco, per partecipare al quale si paga una quota di 16 euro. Il banco genera un valore dalla variabile casuale continua X ∼ Uni(0, 1), con funzione di ripartizione: 0 x < 0 FX (x) = x 0≤x≤1. 1 x > 1 Se il numero generato è più grande di 0.2, il giocatore vince 20 euro. Si supponga di partecipare a 10 repliche indipendenti di tale gioco e si denoti con W10 il numero aleatorio di vittorie (sulle 10 repliche) e con Y10 la variabile casuale che rappresenta il guadagno totale del giocatore, ovvero la differenza tra la vincita totale e la somma delle quote versate.
Determinare la distribuzione di probabilità di W10.
Si consideri il seguente gioco, per partecipare al quale si paga una quota di 16 euro. Il banco genera un valore dalla variabile casuale continua X ∼ Uni(0, 1), con funzione di ripartizione: 0 x < 0 FX (x) = x 0≤x≤1. 1 x > 1 Se il numero generato è più grande di 0.2, il giocatore vince 20 euro. Si supponga di partecipare a 10 repliche indipendenti di tale gioco e si denoti con W10 il numero aleatorio di vittorie (sulle 10 repliche) e con Y10 la variabile casuale che rappresenta il guadagno totale del giocatore, ovvero la differenza tra la vincita totale e la somma delle quote versate.
Determinare il valore atteso di Y10
Si consideri il seguente gioco, per partecipare al quale si paga una quota di 16 euro. Il banco genera un valore dalla variabile casuale continua X ∼ Uni(0, 1), con funzione di ripartizione: 0 x < 0 FX (x) = x 0≤x≤1. 1 x > 1 Se il numero generato è più grande di 0.2, il giocatore vince 20 euro. Si supponga di partecipare a 10 repliche indipendenti di tale gioco e si denoti con W10 il numero aleatorio di vittorie (sulle 10 repliche) e con Y10 la variabile casuale che rappresenta il guadagno totale del giocatore, ovvero la differenza tra la vincita totale e la somma delle quote versate.
Determinare la varianza di Y10.
Si consideri il seguente gioco, per partecipare al quale si paga una quota di 16 euro. Il banco genera un valore dalla variabile casuale continua X ∼ Uni(0, 1), con funzione di ripartizione: 0 x < 0 FX (x) = x 0≤x≤1. 1 x > 1 Se il numero generato è più grande di 0.2, il giocatore vince 20 euro. Si supponga di partecipare a 10 repliche indipendenti di tale gioco e si denoti con W10 il numero aleatorio di vittorie (sulle 10 repliche) e con Y10 la variabile casuale che rappresenta il guadagno totale del giocatore, ovvero la differenza tra la vincita totale e la somma delle quote versate.
Determinare la distribuzione di probabilità di Y10.
Su un campione di 1000 famiglie si è rilevato il numero di figli per famiglia. I dati campionari sono riassunti nella seguente tabella: Si assume che le osservazioni provengano da variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, con valore atteso θ1 e varianza θ2.
Stimare θ1
Su un campione di 1000 famiglie si è rilevato il numero di figli per famiglia. I dati campionari sono riassunti nella seguente tabella: Si assume che le osservazioni provengano da variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, con valore atteso θ1 e varianza θ2.
Stimare θ2.
Su un campione di 1000 famiglie si è rilevato il numero di figli per famiglia. I dati campionari sono riassunti nella seguente tabella: Si assume che le osservazioni provengano da variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite, con valore atteso θ1 e varianza θ2.
Costruire un intervallo di confidenza per θ1 al livello di fiducia 0.9.
Su un campione di 544 famiglie residenti in Italia, si rilevano: la nazionalità secondo le modalità Famiglia italiana e Famiglia immigrata; il numero di auto di proprietà per famiglia secondo le modalità 0, 1, più di un’auto (indicata nella tabella con > 1). I dati sono rappresentati nella seguente tabella di contingenza: 0 1 >1 Famiglia immigrata 24 65 64 Famiglia italiana 212 139 40
Verificare, ad un livello di significatività α = 0.05, se vi sia indipendenza tra la nazionalità delle famiglie ed il numero di auto di proprietà delle medesime.
Su un campione di 544 famiglie residenti in Italia, si rilevano: la nazionalità secondo le modalità Famiglia italiana e Famiglia immigrata; il numero di auto di proprietà per famiglia secondo le modalità 0, 1, più di un’auto (indicata nella tabella con > 1). I dati sono rappresentati nella seguente tabella di contingenza: 0 1 >1 Famiglia immigrata 24 65 64 Famiglia italiana 212 139 40
Stimare la frequenza relativa delle famiglie residenti in italia che possiedono meno di due auto, dopo avere proposto un modello statistico e uno stimatore adeguati.
Sia X una variabile casuale tale che P(X = 0.2) = 0.3, P(X = 0.4) = 0.3 e P(X = 0.8) = 0.4. Sia, inoltre, Y una variabile casuale tale che: pY |X=x (0) = 1 − x e pY |X=x (1) = x.
Calcolare E(Y ) e V(Y ).
È previsto che le uova di una particolare categoria debbano avere un peso nominale di 68 grammi. Un’azienda agricola, volendo indagare quale sia il peso effettivo delle uova prodotte, ha selezionato un campione casuale costituito da 7 di tali uova, i cui pesi sono riportati nella tabella seguente: Si assume che il peso di un generico uovo possa essere rappresentato da una variabile casuale normale, con media θ1 e varianza θ2 ignote.
Saggiare, ad un livello di significatività 0.05 il sistema di ipotesi H0: θ1 ≥ 68 H1: θ1 < 68
Si vuole comparare i voti dati dal docente A con quelli dati dal docente B. Su un campione casuale di 148 studenti di A si sono registrati un voto medio pari a 23.54 e una varianza campionaria corretta pari a 1.03. Su un campione indipendente di 144 studenti di B, si sono invece registrati un voto medio pari a 22.19 e una varianza campionaria corretta uguale a 1.13. Si ipotizzi che le due variabili considerate, che chiamiamo rispettivamente X e Y, si distribuiscano come normali indipendenti con varianze uguali. X \Y 0 1 0.2 0.24 0.06 0.4 0.18 0.12 0.8 0.08 0.32 Tabella 1: Distribuzione di probabilita congiunta di X e Y. Uova a b c d e f g Peso 69.3 69.6 68.2 69.5 68.2 67.9 67.7
Se vi venisse riferito che il livello di significatività osservato è pari a 0.025, riterreste questa informazione coerente con quanto ottenuto nel punto precedente?
Si lanciano consecutivamente due dadi non truccati, l’uno indipendentemente dall’altro.
Qual è la probabilità che si siano osservati due numeri pari, condizionatamente al fatto che sul primo dado si è osservato un numero più grande di 5?
Si lanciano consecutivamente due dadi non truccati, l’uno indipendentemente dall’altro.
Qual è la probabilità che sul primo dei due dadi si sia osservato il numero 6, condizionatamente al fatto che la somma dei numeri osservati è un numero pari?
Allo scopo di evitare che gli automobilisti circolino con veicoli non coperti dall’assicurazione sulla responsabilità civile, il governo ha introdotto una forte sanzione pecuniaria contro tale illecito. Un’indagine svolta prima dell’introduzione della sanzione, ha evidenziato come, su un campione casuale di 212 automobili transitate, 51 non fossero assicurate. In seguito all’introduzione della nuova norma, è stata condotta una nuova indagine, su un campione casuale di 207 automobili, da cui è risultato che 36 auto risultavano non assicurate. Si indichino con θA e θB le probabilità che un’autovettura non fosse coperta da assicurazione, rispettivamente prima e dopo l’introduzione della nuova norma.
Costruire un intervallo di confidenza bilaterale, al livello di fiducia 0.9, per θA − θB.
Allo scopo di evitare che gli automobilisti circolino con veicoli non coperti dall’assicurazione sulla responsabilità civile, il governo ha introdotto una forte sanzione pecuniaria contro tale illecito. Un’indagine svolta prima dell’introduzione della sanzione, ha evidenziato come, su un campione casuale di 212 automobili transitate, 51 non fossero assicurate. In seguito all’introduzione della nuova norma, è stata condotta una nuova indagine, su un campione casuale di 207 automobili, da cui è risultato che 36 auto risultavano non assicurate. Si indichino con θA e θB le probabilità che un’autovettura non fosse coperta da assicurazione, rispettivamente prima e dopo l’introduzione della nuova norma.
Verificare, ad un livello di significatività 0.1, se l’introduzione della nuova norma abbia ridotto la frequenza relativa, nella popolazione, dei veicoli non assicurati.
La tabella 1 riporta la distribuzione di frequenza dei rendimenti annui osservati di 500 titoli quotati in borsa, opportunamente raggruppati in classi. Si assume che tali rendimenti siano interpretabili come generati da variabili casuali normali, indipendenti e identicamente distribuite. Media campionaria e varianza campionaria corretta sono rispettivamente pari a 0.1597 e 0.0521 ≤0 (0, 0.16] (0.16, 0.31] > 0.31 121 131 120 128 Tabella 1: Rendimenti dei 500 titoli.
Verificare se, ad un livello di significatività 0.025, il modello gaussiano possa essere ritenuto adeguato ai dati di cui si dispone.
Un’urna contiene un numero imprecisato di palline nere e blu. La frazione di palline blu è 0.75. Si pensi di estrarre, con reinserimento, tre palline da tale urna, e si considerino le variabili aleatorie: X = numero di palline blu tra le prime due estratte, Y = numero di palline blu tra le tre estratte.
Determinare la distribuzione di probabilità di Y.
L’Agenzia delle Entrate ha comunicato che nell’ultimo anno, sulla base di controlli effettuati su 131 aziende agricole selezionate casualmente, ha rilevato che 46 di queste aziende presentavano almeno una irregolarità contabile. Il presidente dell’Associazione Agricoltori, sulla base di tale notizia, ha dichiarato di ritenere che, nella popolazione delle aziende agricole, la percentuale di aziende con irregolarità sia inferiore al 33%.
Si determini un intervallo di confidenza bilaterale, a livello 98%, per la percentuale di aziende con irregolarità nella popolazione.
L’Agenzia delle Entrate ha comunicato che nell’ultimo anno, sulla base di controlli effettuati su 131 aziende agricole selezionate casualmente, ha rilevato che 46 di queste aziende presentavano almeno una irregolarità contabile. Il presidente dell’Associazione Agricoltori, sulla base di tale notizia, ha dichiarato di ritenere che, nella popolazione delle aziende agricole, la percentuale di aziende con irregolarità sia inferiore al 33%.
Si motivi se l’affermazione del presidente dell’Associazione Agricoltori possa essere accettata, sulla base di una procedura di verifica di ipotesi sui dati dell’Agenzia delle Entrate, specificando il p-value risultante dal test.
Abbiamo due urne, l’urna I contiene 9 palline bianche e 6 palline nere, l’urna II contiene 9 palline bianche e 7 palline nere. Si pesca una pallina dall’urna I e, senza guardarla, la si mette nell’urna II. Si estraggono quindi, senza reinserimento, due palline dall’urna II.
Calcolare la probabilità che la seconda pallina estratta dall’urna II sia nera.
Abbiamo due urne, l’urna I contiene 9 palline bianche e 6 palline nere, l’urna II contiene 9 palline bianche e 7 palline nere. Si pesca una pallina dall’urna I e, senza guardarla, la si mette nell’urna II. Si estraggono quindi, senza reinserimento, due palline dall’urna II.
Avendo estratto due palline nere dall’urna II, calcolare la probabilità che la pallina trasferita dall’urna I all’urna II fosse bianca.
Su due campioni costituiti rispettivamente da 1015 famiglie del paese A (X) e da 1767 famiglie del paese B (Y ) si è rilevato il reddito annuo (in migliaia di euro). Una sintesi dei dati è riportata nella Tabella [11,24] (24,27] (27,31] (31,43] X 274 221 271 249 Y 492 381 500 394 Tabella 1: Reddito delle famiglie dei paesi A e B oggetto dell’indagine campionaria
Si supponga di estrarre, con reinserimento, due delle 2782 famiglie considerate. Qual è la probabilità che la classe di reddito delle due famiglie estratte sia la stessa?
Le bottiglie di vino vendute da un’azienda vinicola hanno un contenuto nominale di 750 ml. Volendo indagare quale sia il contenuto reale, è stato estratto un campione casuale costituito da 6 di tali bottiglie, il cui contenuto è risultato il seguente: Si assume che il contenuto reale di una generica bottiglia possa essere ben rappresentato da una variabile casuale normale, con media ignota e varianza 49.
Esplicitare il modello statistico.
Le bottiglie di vino vendute da un’azienda vinicola hanno un contenuto nominale di 750 ml. Volendo indagare quale sia il contenuto reale, è stato estratto un campione casuale costituito da 6 di tali bottiglie, il cui contenuto è risultato il seguente: Si assume che il contenuto reale di una generica bottiglia possa essere ben rappresentato da una variabile casuale normale, con media ignota e varianza 49.
Costruire un intervallo di confidenza, al livello di fiducia 0.95, per il contenuto medio delle bottiglie prodotte.
Le bottiglie di vino vendute da un’azienda vinicola hanno un contenuto nominale di 750 ml. Volendo indagare quale sia il contenuto reale, è stato estratto un campione casuale costituito da 6 di tali bottiglie, il cui contenuto è risultato il seguente: Si assume che il contenuto reale di una generica bottiglia possa essere ben rappresentato da una variabile casuale normale, con media ignota e varianza 49.
Determinare quale dovrebbe essere, a parità di livello di fiducia, la dimensione campionaria nel caso in cui si volesse ottenere un intervallo di confidenza avente ampiezza pari al 75% di quella dell’intervallo calcolato nel punto precedente.
Si consideri il seguente esperimento: si lancia consecutivamente un dado regolare a 6 facce, fino a che compare per la prima volta una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5. Si considerino gli eventi Ei =al lancio i compare una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5, i = 1, 2, ….
Si definisca lo spazio campionario associato all’esperimento.
Si consideri il seguente esperimento: si lancia consecutivamente un dado regolare a 6 facce, fino a che compare per la prima volta una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5. Si considerino gli eventi Ei =al lancio i compare una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5, i = 1, 2, ….
Si calcoli la probabilità che l’esperimento termini esattamente al quarto lancio.
Si consideri il seguente esperimento: si lancia consecutivamente un dado regolare a 6 facce, fino a che compare per la prima volta una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5. Si considerino gli eventi Ei =al lancio i compare una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5, i = 1, 2, ….
Si calcoli la probabilità che l’esperimento termini entro il quarto lancio.
Si consideri il seguente esperimento: si lancia consecutivamente un dado regolare a 6 facce, fino a che compare per la prima volta una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5. Si considerino gli eventi Ei =al lancio i compare una faccia con punteggio maggiore o uguale a 5, i = 1, 2, ….
Si supponga che l’esperimento non sia terminato entro il quarto lancio. Si calcoli la probabilità che l’esperimento termini al successivo (quinto) lancio.
Si consideri la variabile aleatoria: X ∼ Uniforme[−3.5, 4.7], con funzione di densità di probabilità: 1 −3.5 ≤ x ≤ 4.7 fX(x) = 8.2. 0 altrove Siano inoltre: Y = 3 · X e Z = Y 2. Si calcolino:
E[Y ]
Si consideri la variabile aleatoria: X ∼ Uniforme[−3.5, 4.7], con funzione di densità di probabilità: 1 −3.5 ≤ x ≤ 4.7 fX(x) = 8.2. 0 altrove Siano inoltre: Y = 3 · X e Z = Y 2. Si calcolino:
V[Y ].
Si consideri la variabile aleatoria: X ∼ Uniforme[−3.5, 4.7], con funzione di densità di probabilità: 1 −3.5 ≤ x ≤ 4.7 fX(x) = 8.2. 0 altrove Siano inoltre: Y = 3 · X e Z = Y 2. Si calcolino:
P(Y > 5.2).
Si consideri la variabile aleatoria: X ∼ Uniforme[−3.5, 4.7], con funzione di densità di probabilità: 1 −3.5 ≤ x ≤ 4.7 fX(x) = 8.2. 0 altrove Siano inoltre: Y = 3 · X e Z = Y 2. Si calcolino:
E[Z].
Si consideri la variabile aleatoria: X ∼ Uniforme[−3.5, 4.7], con funzione di densità di probabilità: 1 −3.5 ≤ x ≤ 4.7 fX(x) = 8.2. 0 altrove Siano inoltre: Y = 3 · X e Z = Y 2. Si calcolino:
P(Z ≤ 1).
L’azienda di trasporto urbano vuole valutare il livello di soddisfazione degli utenti delle due linee più frequentate, la A e la B. In particolare, l’azienda vuole verificare se la frequenza relativa degli utenti soddisfatti del servizio sia meno elevata tra coloro che utilizzano la linea A che tra coloro che viaggiano sulla linea B. A tal fine l’azienda commissiona un sondaggio: si estrae un campione da ciascuna popolazione e ad ogni individuo si chiede se sia soddisfatto del servizio sulla linea che utilizza.
Specificare un modello statistico adeguato.
L’azienda di trasporto urbano vuole valutare il livello di soddisfazione degli utenti delle due linee più frequentate, la A e la B. In particolare, l’azienda vuole verificare se la frequenza relativa degli utenti soddisfatti del servizio sia meno elevata tra coloro che utilizzano la linea A che tra coloro che viaggiano sulla linea B. A tal fine l’azienda commissiona un sondaggio: si estrae un campione da ciascuna popolazione e ad ogni individuo si chiede se sia soddisfatto del servizio sulla linea che utilizza.
Specificare un sistema di ipotesi coerente con gli obiettivi dell’azienda.
L’azienda di trasporto urbano vuole valutare il livello di soddisfazione degli utenti delle due linee più frequentate, la A e la B. In particolare, l’azienda vuole verificare se la frequenza relativa degli utenti soddisfatti del servizio sia meno elevata tra coloro che utilizzano la linea A che tra coloro che viaggiano sulla linea B. A tal fine l’azienda commissiona un sondaggio: si estrae un campione da ciascuna popolazione e ad ogni individuo si chiede se sia soddisfatto del servizio sulla linea che utilizza.